方差分析與回歸分析報告

1、第九章 回歸分析教學要求1一元線性回歸及線性相關(guān)顯著性的檢驗法， 利用線性回歸方程進行預測。2可線性化的非線性回歸問題及簡單的多元線性回歸。本章重點 ：理解線性模型，回歸模型的概念，掌握線性模型中參數(shù)估計的 最小二乘法估計法。教學手段 ：講練結(jié)合課時分配： 6 課時§ 9.1 一元線性回歸 回歸分析是研究變量之間相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計推斷法。 例如，人的血壓 y 與年齡 x 有關(guān)，這里 x 是一個普通變量， y 是隨機變量。Y 與 x 之間的相依關(guān)系 f(x) 受隨機誤差 的干擾使之不能完全確定，故可設有： y f (x)(9.1 )式中 f(x) 稱作回歸函數(shù)， 為隨機誤差或隨機干擾，

2、 它是一個分布與 x 無關(guān) 的隨機變量，我們常假定它是均值為 0 的正態(tài)變量。為估計未知的回歸函數(shù) f(x) ， 我們通過n次獨立觀測，得x與y的n對實測數(shù)據(jù)(xi)i=1, ,n，對f(x)作估計。實際中常遇到的是多個自變量的情形。例如 在考察某化學反應時，發(fā)現(xiàn)反應速度 y 與催化劑用量 x1, 反應溫度 x2, 所加壓力X3等等多種因素有關(guān)。這里xi,x2,都是可控制的普通變量，y是隨 機變量， y 與諸 xi 間的依存關(guān)系受隨機干擾和隨機誤差的影響， 使之不能完全確 定，故可假設有：y f (x1,x2, ,xk)(9.2)這里 是不可觀察的隨機誤差，它是分布與 xi,Xk無關(guān)的隨機變量

3、，一 般設其均值為0,這里的多元函數(shù)f(x 1,x0稱為回歸函數(shù)，為了估計未知的 回歸函數(shù)，同樣可作n次獨立觀察，基于觀測值去估計f(x i,x0。以下的討論中我們總稱自變量xi,x 2,x k為控制變量，y為響應變量，不難想象，如對回歸函數(shù)f(x i,Xk)的形式不作任何假設，問題過于一般，將 難以處理，所以本章將主要討論 y和控制變量xi,x 2,Xk呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系 的情形，即假定f(x i,x k)=bo+bixi+bkXk。并稱由它確定的模型 (9.i) (k=i) 及(9.2) 為線性回歸模型 ，對于線性回歸 模型，估計回歸函數(shù)f(x 1,x k)就轉(zhuǎn)化為估計系數(shù)bo、bi(i=1

4、,k)。當線性回歸模型只有一個控制變量時， 稱為一元線性回歸模型， 有多個控制 變量時稱為多元線性回歸模型， 本著由淺入深的原則， 我們重點討論一元的， 在 此基礎(chǔ)上簡單介紹多元的。§9.i.i一、一元線性回歸一元線性回歸的數(shù)學模型前面我們曾提到，在一元線性回歸中，有兩個變量，其中 x是可觀測、可控 制的普通變量，常稱它為自變量或控制變量，y為隨機變量，常稱其為因變量或 響應變量。通過散點圖或計算相關(guān)系數(shù)判定 y與x之間存在著顯著的線性相關(guān)關(guān) 系，即 y 與 x 之間存在如下關(guān)系：y=a+bx+(9.3)通常認為N(0, c2)且假設c 2與x無關(guān)。將觀測數(shù)據(jù)(xi,y i)(i=1

5、 ，n)代入(9.3)再注意樣本為簡單隨機樣本得:r yi a bxii (i 1, ,n)(9 4)I 1 , n獨立同分布N (0, 2).稱(9.3)或(9.4)(又稱為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式)所確定的模型為一元(正態(tài))線性回歸 模型。對其進行統(tǒng)計分析稱為一元線性回歸分析。不難理解 模型(9.4)中EY=a+bx若記y=E(Y),則y=a+bx,就是所謂的一元 線性回歸方程，其圖象就是回歸直線，b為回歸系數(shù)，a稱為回歸常數(shù)，有時也 通稱a、b為回歸系數(shù)。我們對一元線性回歸模型主要討論如下的三項問題：(1) 對參數(shù)a，b和c2進行點估計，估計量a>,R稱為樣本回歸系數(shù)或經(jīng)驗回 歸系數(shù)，而? ?

6、bx稱為經(jīng)驗回歸直線方程，其圖形相應地稱為經(jīng)驗回歸直線。(2) 在模型(9.3)下檢驗y與x之間是否線性相關(guān)。(3) 利用求得的經(jīng)驗回歸直線，通過 x對y進行預測或控制。二、a、b的最小二乘估計、經(jīng)驗公式現(xiàn)討論如何根據(jù)觀測值(Xi,yJ，i=1,2,n估計模型(9.2 )中回歸函數(shù) f(x)=a+bx中的回歸系數(shù)。米用最小二乘法，記平方和n2Q(a,b)(yt a bxt)(9.5)t 1找使Q(a.b)達到最小的a、b作為其估計，即n2 yt a bxt0t 1Q(a,b) min Q(a, b)a.b2Q2a為此，令2Q2bn2 (yt a bxt) xt 0t 1化簡得如教材所示的方程組

7、(稱為模型的正規(guī)方程)Lxy解得Lxx(9.6)(9.6)Lxxa所示的分別稱為,丄(n i 1nL xynxi 1n(Xii 1一 2 n2 2xXii 1x)( y y)a、nb的最小二乘估計，式中xj2xiYi-(i 1nXi)(nYi)1稱？ a bx為經(jīng)驗回歸(直線方程)，或經(jīng)驗公式。例1某種合成纖維的強度與其拉伸倍數(shù)有關(guān)。下表是24個纖維樣品的強度與相應的拉伸倍數(shù)的實測記錄。試求這兩個變量間的經(jīng)驗公式。編 O 2345 678910 1112拉伸倍數(shù)X1.92.02.12.52.72.73.53.54.04.04.54.6強度y(Mpa)1.41.31.82.52.82.53.02

8、.74.03.54.23.5編 號131415161718192021222324拉伸倍數(shù)X5.05.26.06.36.57.18.08.08.99.09.510.0強度y(Mpa)5.55.05.56.46.05.36.57.08.58.08.18.1將觀察值(Xi, yi) , i=1,24在平面直角坐標系下用點標出，所得的圖 稱為散點圖。從本例的散點圖看出，強度y與拉伸倍數(shù)x之間大致呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，一元線性回歸模型是適用y與x的?，F(xiàn)用公式(9.6)求 a,f,這里n=24Xi127.5,yi113.12Xi829.61,£ 650.93,x yi731.6LXX829.611

9、24127.52152.266Lxy731.6124127.5 113.1 130.756Lyy650.93124113.12117.946 bLxy0.859a勺?X0.15號y與拉伸倍數(shù)x之間的經(jīng)驗公式為? 0.15 0.859Xb的最小二乘估計a,i?滿足:定理9.1一元線性回歸模型(9.4)中，a、(1)ER a,El? b1D (召)(-2:)2,D(b)1 2nLXXLXXcov(?肉X2LXX證：(1)注意到對任意i=1,2,n有XX由此得強度三、最小二乘估計a,i?的基本性質(zhì)Ey a bxi,Ey a bx.DyiE(%y)EyiEyb(Xix)2于是Et?1Lxxx)(yiy

10、)nb (Xi x)i 1bLxx利用E召Eyn(Xii 1一 QxEb?a bxbxx)將？、!?表示為:nb丄Lxx i 11 n a? yin i 1(9.8) 由于y1,y 2, D+(Xi x)(yixa,yn(XiLxx i 1n 1D(a) i 1 n 1 n(-ny)n_, (Xi x)yiLxx i 11(Xi X)XnLxx yi相互獨立，有2X)22(XiLxxn(XiX)X2Lxx2x)2x2(9.7)12XXc ? n (xi x)r 1 (xi x)x_cov(?,b)722i1LxxnLxxn(XiX)2XX2 2i 1L2xLxx定理9.1表明，a、b的最小二乘

11、估計a、b是無偏的，從(9.7) , (9.8)還知 道它們又是線性的，因此(9.5)所示的最小二乘估計？ R分別是a、b的線性無 偏估計。§ 建立回歸方程后進一步的統(tǒng)計分析一、/的無偏估計由于/是誤差(i=1,n)的方差，如果能觀測，自然想到用-i2n i 來估計(T ,然而£ i是觀測不到的，能觀測的是 yi.。由Eyi a b?<i ?(即Ey的 估計)，就應用殘差yi ?來估計i ，因此，想到用1 n1 n1(yi ?)2 (yi a bX2 Q(a£)來估計c我們希望得到n i 1n i 1n無偏估計，為此需求殘差平方和 Q(a,b的數(shù)學期望，由定

12、理9.2可推出EQ(a,b?) (n 2) 2(學員自驗)于是得?2 里£® 丄° ?)2為/的無偏估計，例如§ 9.1例1中 n 2 n 2 i i? 0.2545 即有?定理 9.2 令?2Q(?,b),則 E ?22。n 2我們稱？：2魚目為標準誤差，它反映回歸直線擬合的程度。Y n 2L2具體計算時可用 Q(a，b) Lyy t?2LxX Lyy(l ) L yy ( 1 )。Lxx L yy二、預測與控制1、預測問題y a bx對于一元線性回歸模型(9.9 )N(0, 2)我們根據(jù)觀測數(shù)據(jù)(Xi,y i),i=1,n，得到經(jīng)驗回歸方程？ a b

13、X,當控制變量 x取值X0 (X0豐Xi,i=1,n ),如何估計或預測相應的 y呢？這就是所謂的預測 問題，自然我們想到用經(jīng)驗公式，取 y0 <? |?(0來估計實際的y0 a bx00，并稱?為y點估計或點預測。在實際應用中，若響應變量 y比較難觀測，而控 制變量x卻比較容易觀察或測量，那么根據(jù)觀測資料得到經(jīng)驗公式后，只要觀測 x就能求得y的估計和預測值，這是回歸分析最重要的應用之一，例如在§9.1例1中，拉伸倍數(shù)x°=7.5，則可預測強度?0 0.15 0.859 7.5 6.59但是，上面這樣的估計用來預測y究竟好不好呢？它的精度如何？我們希望 知道誤差，于是

14、就有考慮給出一個類似于置信區(qū)間的預測區(qū)間的想法。定理9.3對于一元(正態(tài))線性模型yi1,a b i (i 1, , n),2獨立同分布N (0,2)(9.10)有(1)(?, b服從二兀正態(tài)分布。(2)Q(a,b) , c、?22/2(n 2) x (n 2)2y b? ?是相互獨立的隨機變量。證明:略又，我們知道y。是r.v,且與y1,y 2,y n相互獨立，由定理9.3及定理9.2知, y0? t?(0N(.,.)且 Ey0Es? x0Eb? a bx0,D?0 D(a)x2d(I?) 2x0cov(j?,I?)1 (X0 x) 2n Lxx2由于yo與?o相互獨立(?o只與yi,-1(

15、Xo x) 2,y有關(guān))，且yoN(a+bxo,(T二 yo ?o N(0,10 2)nL xx?2 由定理9.3知，y。與(n 2)-獨立,?21T=(yo(9.11 )?211 唁)1?o tnLxx這就是yo的置信度為1-的預測區(qū)間，它是以？o為中心，長度為2t2(?0 t ?1L xx(x)的區(qū)間,2)1風3t(n nLxx對于給定的置信水平1-,查自由度為n-2的T分布表可得滿足P(T t ) 1的臨界值t ta根據(jù)不等式的恒等變形可得yo的置信度為1-的置信區(qū)間為：(記(X). ?21 1 (X° X)，區(qū)間的中點？o ? bx。隨xo而線性變化，它 nLxx的長度在xo

16、 x處最短，xo越遠離x，預測區(qū)間的長度就越長。預則區(qū)間的上限 與下限落在關(guān)于經(jīng)驗回歸直線對稱的兩條曲線上，并是喇叭形。當n較大，Lxx充分大時，1 1做心1n Lxx可得yo的近似預測區(qū)間：(y° t ?,?o t ?)(9.12)上式說明預測區(qū)間的長度，即預測的精度主要由？確定，因此在預測中，？是一 個基本而重要的量。2、控制問題在實際應用中往往還需要考慮預測的反問題，即要以不小于1-的概率將yo控制在(y 1,y 2)內(nèi)，也就是使P(y1 yo y2) 1相應的xo應控制在什么范圍內(nèi)。這類問題稱為 控制問題。根據(jù)前一段的討論， 若xo滿足(?o t (x)，?o t (x)(y

17、y2)(9.13)則可有 P(y1 yo y2)1因此控制問題一般是找滿足(9.13)的xo的范圍。但求解很麻煩。一種近似的處 理法是：由 yo N(a bxo，2)將a，b，/分別用其無偏估計召，b?, ?2代，近似y ?近似有 yo N(a? b?<o, ?2) N(% ?2),從而 N(0.1)根據(jù)p(也 u ) 1 查N(O.1)分布表確定u，于是yo的置信度1-的預測區(qū)間可近似認為是(？o Ua?O ua?)要解決前述問題可以從滿足:(?ou ?,y?ou ?)(yi ,y2)的xo去尋找xo的控制范圍。顯然，當2u ? y2 yi時，問題無解，否則方程組y1 ?依u y a

18、bX'' u有解X , X由此得xo的控制范圍是(min( x , x ),max( x , x )三、線性相關(guān)的檢驗前面的討論都是在假定y與x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系的前提下進行的，若這個假 定不成立，則我們建立的經(jīng)驗回歸直線方程也失去意義， 為此必須對y與x之間 的線性相關(guān)關(guān)系作檢驗，為解決這個問題，先作手：1、偏差平方和分解記L (yi y)2，稱它為總偏差平方和，它反映數(shù)據(jù)yi的總波動，易得L有i 1nnn如下分解式：L(yi yi y y)2(y :?)2(? y)2 Qe Ui 1i 1i 1其中Qe Q(a,b)就是前面提到的殘差平方和，u N係yr稱為回歸平方和，上I

19、1n式右邊的交叉項：2 (yi ?)(£ )i 1n2 yi (?欣)?欣 yi 1n2 (yi y) b(x x)b(Xi 】)i 1nn2b (yi y)(xi x) b (x x)2i 1i 12也 bLxx) 0由上可知，U越大，Qe就越小，x與y間線性關(guān)系就越顯著；反之，x與y 之間的線性關(guān)系越不顯著。于是，自然地考慮到檢驗回歸方程是否有顯著意義是 考察U/Q的大小，其比值大，則L中U占的比重大，回歸方程有顯著意義，反之， 無顯著意義。2、線性相關(guān)的F檢驗根據(jù)上段的思想來構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量，先看下面的定理。定理9.4當H):b=O成立時U/(T22(1),且Q與U相互獨立。2證

20、：當 H)成立時，由 Th2.1-1 及 Th2.2-2 知，t? N(0,)Lxx巳丄竺N(0.1) 于是企昨產(chǎn) 2(1)由定理9.4，我們還知(n 2)jQe22(n 2)，且Q與t?相互獨立，從而Q與U=?2Lxx獨立，由上面的定理及F分布的構(gòu)造性定理知：u|?2l Ho 真F -一產(chǎn) F(1，n 2)(9.14)Q/n 2?2因此可選它作檢驗H0:b=O的檢驗統(tǒng)計量，當H0為真時F的值不應太大，故對選定的水平a> 0,由P(F Fi )= a查F(1, n-2)分布表確定臨界值Fi- a分位數(shù)，當觀測數(shù) 據(jù)代入(9.14)式算出的F值合FA Fi-a時，不能接受H),認為建立的回

21、歸方程有 顯著意義。檢驗H0:經(jīng)驗公式無顯著意義(a =0.05)選用f込2真F(1,22)Q由P F F 查表得Fa =4.30現(xiàn)計算F值由 L=Lyy=117.95U?2Lxx 0.8592 152.266 112.35Q=L-U=5.6得 f 22 112.35441.3755.6因F>Fa,所以拒絕H),認為所得的經(jīng)驗回歸方程有顯著意義。四、相關(guān)與回歸的區(qū)別與聯(lián)系1、聯(lián)系由前面的討論，有：U b?2 LxxLxyLxx2rL LyyLxxLyy得回歸平方和U=r2L殘差平方和QQGb)L(1r2)可見r2反映了回歸平方和在總偏差平方和中占的比重，該比重越大，誤差 平方和在總偏差平

22、方和中占的份量就越小。 通常稱r2為擬合優(yōu)度系數(shù)。r就是變 量x與y的積差相關(guān)系數(shù)，另方面由 F (n 2)U (n 2?(r"n 2)2Q (1 r2)L VT7 看出，在檢驗y與x是否顯著線性相關(guān)時，F(xiàn)檢驗法與相關(guān)系數(shù)T檢驗法等 效。2、區(qū)別相關(guān)關(guān)系不表明因果關(guān)系，是雙向?qū)ΨQ的，在相關(guān)分析中，對所討論的兩個 變量或多個變量是平等對待的，相關(guān)系數(shù)r反映數(shù)據(jù)(Xi,y J所描述的散點對直線 的靠攏程度?；貧w分析中，變量在研究中地位不同，要求因變量(響應變量)y是隨機變量， 自變量一般是可控制的普通變量(當然也可以是隨機的)。在回歸方程中，回歸系 數(shù)只反映回歸直線的陡度，且它不是雙向?qū)?/p>

23、稱的。§ 一元非線性回歸前面討論的線性回歸問題，是在回歸模型為線性這一基本假定下給出的，然 而在實用中還經(jīng)常碰到非線性回歸的情形，這里我們只討論可以化為線性回歸的 非線性回歸問題，僅通過對某些常見的可化為線性回歸問題的討論來闡明解決這 類問題的基本思想和方法。、曲線改直例1煉綱過程中用來盛鋼水的鋼包，由于受鋼水的浸蝕作用，容積會不斷 擴大。下表給出了使用次數(shù)和容積增大量的15對試驗數(shù)據(jù)：使用次數(shù)(Xi)增大容積(yi)使用次數(shù)(x i)增大容積(y i)26.4299.9938.201010.4949.581110.5959.501210.6069.701310.80710.0014

24、10.6089.931510.901610.76試求Y關(guān)于x的經(jīng)驗公式。解：首先要知道丫關(guān)于x的回歸函數(shù)是什么類型，我們先作散點圖。(見教 材)從圖上看，開始浸蝕速度較快，然后逐漸減緩，變化趨勢呈雙曲線狀。因此可選取雙曲線：(設y與x之間具有如下雙曲線關(guān)系)(9.15)11-a b作為回歸函數(shù)的類型，即假設y與x滿足：y令yx(9.16)1a b x11,，則(9.15)變成 a b ,E 0,Dxy這是一種非線性回歸，先由x、y的數(shù)據(jù)取倒數(shù)，可得n , E的數(shù)據(jù) (0.5000,0.1558),(0.0625,0.0929)，對得到的15對新數(shù)據(jù)，用最小二乘法可得：線性回歸方程 ？ 0.13

25、120.0823后，代回原變量得110.1312 0.0823X0.13120.0823yx二?為y關(guān)于x的經(jīng)驗公式(回歸方程)0.0823x 0.1312在例1中，假設了 y與x之間滿足雙曲線回歸模型，顯然這是一種主觀判斷，因此所求得的回歸曲線不一定是最佳的擬合曲線。在實用中，往往是選用不同的幾種曲線進行擬合，然后分別計算相應的殘差平方和 Qe(yi ?)2或?(標準ix誤差)進行比較Q(或?)最小者為最優(yōu)擬合。 二、常見可改直的曲線 下面簡介一些可通過變量替換化為線性回歸的曲線回歸模型。1b111、雙曲線a 作變換y' , x'則回歸函數(shù)化為：y'=a+bx 

26、9;y xyx2、 幕函數(shù)y=axb(或y=ax-b) (b >0)對幕函數(shù)兩邊取對數(shù) ny na b nx , 作變換 y' ny, x' nx, a' na 貝U有 y a b x3、 指數(shù)函數(shù) y=aebx或 y=ae-bx (b > 0)兩邊取對數(shù)ny na bx 令 y ny, n有ybxbb4、倒指數(shù)函數(shù) y ae x或 y aex （b >0, a>0） 兩邊取對數(shù)后作變換y ny, x丄,a na,x則有 y a b x5、對數(shù)函數(shù)，y=a+b nx作變換 xnx,貝U有y=a+bx .另外還有一些可化為線性回歸的曲線回歸，將在用

27、“spss”作實習操作時一并介紹。例1（續(xù)）由例1的散點圖看出，除雙曲線擬合外，本例還可選擇倒指數(shù)擬合： b/xy=ae兩邊取對數(shù)得：ny b 1 nax1令 ny, '-,變?yōu)槿缦碌幕貧w問題：xA B '利用最小二乘法求得：=-1.1107,人=2.4578因此回歸直線為：1.1107 ' 2.4578代回原變量得：? 11.6489e1.1107/x經(jīng)計算雙曲線擬合時 Q=1.4396?=0.3328，倒指數(shù)擬合時？=0.2168，故倒指數(shù)擬合效果更好些。§ 9.2多元線性回歸實際應用中，很多情況要用到多元回歸的方法才能更好地描述變量間的關(guān)系，因此有必要在

28、本節(jié)對多元線性回歸做一簡單介紹，就方法的實質(zhì)來說，處理多元的方法與處理一元的方法基本相同，只是多元線性回歸的方法復雜些，計算 量也大得多，一般都用計算機進行處理。一、數(shù)學模型和回歸方程的求法。1、多元線性回歸的模型。設因變量y與自變量X1,X2,x k之間有關(guān)系式：yb0礙.bkXkL N(0, 2)(9.17)抽樣得n組觀測數(shù)據(jù):(y 1；X11,X 21,X k1(y2；X12,X 22,Xk2)(y n；X1 n,X 2n,Xkn)其中Xj是自變量Xi的第j個觀測值，yj是因變量y的第j個值，代入（9.17） 得模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：y1b0biXnb2X21.bkXk11y2b0b1X12

29、b1 X22.bkXk22(9.18)Ynb0b1X1 nb2X2n.bk Xknn1,2.n獨立同分布N(0，2)我們稱(9.17)或(9.18)為k元正態(tài)線性回歸模型，其中g(shù)b1,bk及都是未知待估的參數(shù)，對k元線性模型，需討論的問題與一元時相同。需要說明的幾點見教材2、未知參數(shù)的估計與一元時一樣，采用最小二乘法估計回歸系數(shù)b°,bi,bk.稱使nQ(bo,b1,.,bk) ?% (b° b bzX . bkXQ2達到最小的 b0,?,.,b?為參數(shù)t 1(bo,bi,bk)的最小二乘估計，利用微積分知識，最小二乘估計就是如下方程組的解：liibil12b2. l1kb

30、kL1yI21 bil 22匕2. l2kbkL2y(9.19)Ik1bI k2b2.1 kkbkLkyb。y其中yLijLiyb2X2nyt,n t 110 (Xitn t 1-0 (Xit n t 1.bk Xk1 *Xi一 Xitn t 1Xi)(Xjt Xj)xi),(yty)Lji(i(i 1,2,., k)(i, j 1,2,.,k)1,2,., k)通常稱方程組(9.19)為正規(guī)方程組，其中前k個方程的系數(shù)矩陣記為L* 當L*可逆時，b0,b?,b1 即,b?k(L*)(l ij ) k k ,正規(guī)方程組(9.19)有解，便可得bo,b1,bk的最小二乘估計L1yb0 y I?X

31、1. bkxkLky代入模型(9.18)，略去隨機項得經(jīng)驗回歸方程為：? b0 1?捲. bkXk(9.20)類似一元可以證明b?都是相應的bi(i=0，1,，k)的無偏估計，且 /'的無偏估計為：?2 Q(b0,bj,.&)n k 1二、回歸方程的顯著性檢驗與一元的情形一樣，上面的討論是在y與X1，Xk之間呈現(xiàn)線性相關(guān)的前提下進行的，所求的經(jīng)驗方程是否有顯著意義，還需對y與諸Xi間是否存在線性相關(guān)關(guān)系作顯著性假設檢驗，與一元類似，對? b0 ?為. bkxk是否有顯著意義，可通過檢驗 H):bi=b2=- =bk=0為了找檢驗H0的檢驗統(tǒng)計量，也需將總偏差平方和Lyy作分解：o oUbilly 仏kj jy j i利用柯赫倫定理可以證明:2(k),Qf2 (n k 1)且 U 與Q相互獨立，所以有U /k Ho真F F(k,n k 1)Q/( n k 1)(這里記Qe為Q,下同)取F作H)的檢驗計量，對給定的水平p(F F )(9.22)F(k, n-k-1)，查的臨介值F，由樣本觀測值代入(9.22)算出統(tǒng)計量分布表可得滿足 旦F的觀測值,Ln(