2022年解三角形知識點與題型總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識點解三角形常用知識點歸納與題型總結(jié)1、三角形三角關(guān)系：a+b+c=180 ； c=180 (a+b) ；.角平分線性質(zhì)定理:角平分線分對邊所得兩段線段的比等于角兩邊之比. .銳角三角形性質(zhì)：若abc則6090 ,060ac.2、三角形三邊關(guān)系：a+bc; a-bc 3、三角形中的基本關(guān)系：sin()sin,abc cos()cos,abc tan()tan,abcsincos,cossin,tancot222222abcabcabc（1）和角與差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. （2） 二倍

2、角公式sin2 = 2cos sin . 2222cos2cossin2cos112sin221tan1tan. 221cos21cos2sin,cos22（3）輔助角公式（化一公式）)sin(cossin22xbaxbxay其中abtan4、正弦定理：在c中，a、b、c分別為角、c的對邊，r為c的外接圓的半徑，則有2sinsinsinabcrc5、正弦定理的變形公式：化角為邊：2sinar，2sinbr，2sincrc；化邊為角：sin2ar，sin2br，sin2ccr；:sin:sin:sina b cc；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

3、 - 第 1 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識點sinsinsinsinsinsinabcabccc=2r 6、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.( 對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）) 7、 三角形面積公式：111sinsinsin222csbcabcac =2r2sinasinbsinc=rabc4=2)(cbar=)()(cpbpapp( 海倫公式 ) 8、余弦定理：在c中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222cosca

4、babc9、余弦定理的推論：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abccab10、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè)a、b、c是c的角、c的對邊，則：若222abc，則90c；若222abc，則90c；若222abc，則90c12、三角形的五心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點重心三角形三條中線的相交于一點外心三角形三邊垂直平分線相交于一點內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點題型

5、之一：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線(高線、 角平分線、中線 )及周長等基本問題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識點1 （15 北京理科）在中，則2. （2005 年全國高考湖北卷) 在abc中，已知66cos,364bab，ac 邊上的中線bd=5，求sina 的值3.在 abc 中，已知 a2，b2 2， c 15，求 a。題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀

6、4. (2005 年北京春季高考題)在abc中，已知cbasincossin2，那么abc一定是（）a直角三角形b等腰三角形c等腰直角三角形d正三角形題型之三：解決與面積有關(guān)問題5在abc中，sincosaa22，ac2，ab3，求atan的值和abc的面積。6. 已知abc的周長為21，且sinsin2sinabc（i）求邊ab的長；（ii）若abc的面積為1sin6c，求角c的度數(shù)題型之四：三角形中求值問題7. (2005 年全國高考天津卷) 在abc中，cba、所對的邊長分別為cba、，設(shè)cba、滿足條件222abccb和321bc，求a和btan的值8abc的三個內(nèi)角為abc、 、，求

7、當(dāng)a 為何值時，cos2cos2bca取得最大值，并求出這個最大值。9 在 銳 角abc中 ， 角abc， ，所 對 的 邊 分 別 為abc， ， 已 知2 2sin3a， （ 1） 求22tansin22bca的值；（2）若2a，2abcs，求b的值。abc4a5b6csin 2sinac精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識點10在abc中，內(nèi)角abc， ，對邊的邊長分別是abc， ，已知2c，3c（）若abc的面積等于3，求ab，；（）若sinsin()2sin

8、2cbaa，求abc的面積題型之五（解三角形中的最值問題）11.在 abc中，角 a，b，c 所對的邊分別為a，b， c，已知cos(cos3 sin)cos0caab. （1）求角 b的大?。?(2)若1ac，求 b 的取值范圍12在內(nèi)角的對邊分別為, 已知. ( ) 求;( ) 若, 求面積的最大值 . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識點答案：1 試題分析：2 解：設(shè) e為 bc的中點，連接de，則 de/ ab，且36221abde，設(shè) be x 在bde中利

9、用余弦定理可得：bededbeedbebdcos2222，xx6636223852， 解得1x，37x（舍去） 故 bc =2，從而328cos2222bbcabbcabac，即3212ac又630sin b，故2 2123sin306a，1470sin a3.答案：000018030baaa，且，4 解法 1：由cbasincossin2sin(ab) sinacosbcosasinb，即 sinacosbcosasinb0，得 sin(ab)0，得 ab故選 (b)解法 2：由題意，得cosbsin2sin2ccaa，再由余弦定理，得cosb2222acbac2222acbac2ca，即

10、a2b2，得 ab，故選 (b)5 答案：sacabaabc1212232643426sin()6 解： （i）由題意及正弦定理，得21abbcac，2bcacab，222sin 22 sincos2sinsin2aaaabcacccbc2425361616256精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識點兩式相減，得1ab（ii）由abc的面積11sinsin26bc accc，得13bc ac，由余弦定理，得222cos2acbcabcac bc22()2122acbca

11、c bcabac bc，60c7 解：由余弦定理212cos222bcacba，因此，60a在 abc中，c=180 a b=120 b.由已知條件，應(yīng)用正弦定理bbbcbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinbbbb解得,2cot b從而.21tan b8 解析：由 a+b+c= ， 得b+c2=2a2， 所以有 cosb+c2=sina2。 cosa+2cosb+c2=cosa+2sina2=12sin2a2+ 2sina2=2(sina212)2+ 32；當(dāng) sina2= 12，即 a=3時, cosa+2cosb+c2取得最

12、大值為32。9 解析： （ 1）因為銳角 abc中， abc ，2 2sin3a，所以 cosa13，則22222bcsinbcaa2tansinsinbc222cos21cos bc11cosa171cosa1cosbc21cosa33（ ） （ ） （ ）（2）abcabc112 2s2sbcsin abc223因為，又，則 bc3。將 a2，cosa13，c3b代入余弦定理：222abc2bccos a中，得42b6b90 解得 b3。10 解： （）由余弦定理及已知條件得，224abab，又因為abc的面積等于3，所以1sin32abc，得4ab 4 分聯(lián)立方程組2244ababab，解得2a，2b 6 分精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識點（）由題意得sin()sin()4sincosbabaaa，即sincos2sincosbaaa， 8 分當(dāng)cos0a時，2a，6b，4