2022年解析幾何第四版復(fù)習(xí)重點第四章柱面錐面旋轉(zhuǎn)面與二次曲面

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面2、設(shè)柱面的準(zhǔn)線為x y 2x 2z§4.1 柱面z2，母線垂直于準(zhǔn)線所在的平面，求這柱面的方程；解：由題意知：母線平行于矢量1, 0,2任取準(zhǔn)線上一點m 0 x0 ,y0 , z0 ，過m 0 的母線方程為：xx0tx0xty zy0z02ty0z0y z2t而 m 0 在準(zhǔn)線上，所以：xty2xt2 z z2t2t 2消去 t ，得到：4 x 225 y 2z24 xz20x10z0此即為所求的方程；3、求過三條平行直線xy z, x1yz 1, 與x1y1z2 的圓柱面方程；解 ： 過 原 點 且 垂 直 于 已 知 三 直

2、 線 的 平 面 為 xyz0： 它 與 已 知 直 線 的 交 點 為0, 0, 0 , 11, 0, 1, ,314, ， 這 三 點 所 定 的 在 平 面 x 33yz0上 的 圓 的 圓 心 為2m 0 ,1511 ,1513 ，圓的方程為：15 x2 2 y 15xyz011 215 z13 2981575此即為欲求的圓柱面的準(zhǔn)線；又過準(zhǔn)線上一點m 1 x1, y1 , z1 ，且方向為1, 1,1的直線方程為：x x1ty y1tz z1tx1xty1ytz1zt將此式代入準(zhǔn)線方程，并消去t 得到：25 x22yzxyyzzx2x11y13z0此即為所求的圓柱面的方程；§

3、;4.2 錐面2、已知錐面的頂點為3 ,1 , 2 ，準(zhǔn)線為 x 2y 2z21, xy z0 ，試求它的方程；解：設(shè)m x,y, z 為要求的錐面上任一點，它與頂點的連線為：x3y1z2x3y1z2令它與準(zhǔn)線交于 x 0,y0, z 0 ，即存在 t ，使x 03 x3ty01 y.tz02 z2t將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去t 得：3 x25 y27 z 26xy2 yz10 xz4 x4 y4z40此為要求的錐面方程；4、求以三坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程；解：（這里僅求、卦限內(nèi)的圓錐面，其余類推）圓錐的軸 l 與 i ,j , k等角，故 l 的方向數(shù)為1 :1 :1與 l 垂直的平面之一

4、令為xyz1平面 xy z1在所求的錐面的交線為一圓，該圓上已知三點1 ,0 ,0,0 ,1 ,0, 0 ,0 ,1 ，該圓的圓心為 1 , 1 ,331 ，故該圓的方程為：3x1 23 y1 23 z1 23 2 23xyz1它即為要求圓錐面的準(zhǔn)線；對錐面上任一點m x,y, z ，過 m 與頂點 o 的母線為：xyzxyz令它與準(zhǔn)線的交點為 x 0, y0, z 0 ，即存在 t ，使 x 0xt ,y0yt , z 0zt ，將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去 t 得：xyyzzx0此即為要求的圓錐面的方程；5、求頂點為1,2, 4 ，軸與平面 2 x2 yz0 垂直， 且經(jīng)過點3,2, 1的圓

5、錐面的方程；解：軸線的方程為：x1y2z4221過點 3, 2, 1且垂直于軸的平面為：2x32 y2z10即：2x2 yz110該平面與軸的交點為11 ,920 ,9379，它與3,2, 1 的距離為：d1193 220922379121163要求圓錐面的準(zhǔn)線為： x11292 x2 y yz 1120 290 z37 291169對錐面上任一點m x,y, z ，過該點與頂點的母線為：x1y2z4x1y2z4令它與準(zhǔn)線的交點為 x 0, y0, z 0 ，即存在 t，使 x 01 x1) t, y02 y2) t ,z04 z4t將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去t 得：51x251y12 z21

6、04 xy52 yz52zx518 x516 y252 z129901、求以下旋轉(zhuǎn)曲面的方程：§4.3 旋轉(zhuǎn)曲面（1）； x1y1z1繞 xyz1 旋轉(zhuǎn)112112（2）；xyz2111 繞 xyz 1121 旋轉(zhuǎn)（3） x1yz 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)；133（4） 空間曲線zx2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)；x2y21解：（ 1）設(shè) m x , y, z 是母線 x1y1z1 上任一點，過m的緯圓為：11111112 xx1 yy12zz101x2y2z12x 2y 2 z122111又 m 1 在母線上；x11y11z11112從（ 1）（ 3）消去x1,y1, z1 ，得到：5x25y22 z22

7、 xy4 yz4 xz4 x4 y4 z80此為所求的旋轉(zhuǎn)面方程；（2） 對母線上任一點m 1 x1,y1, z1 ，過m 1 的緯圓為： xx1 yy12zz101x2y2z12x 2y 2 z122因 m 1 在母線上，x1y1z111113211從（ 1）（ 3）消去x1,y1 , z1 ，得到：2225 x5 y23 z12xy24 yz24 xz24x24 y46 z230此為所求的旋轉(zhuǎn)面的方程；（3） 對母線上任一點m 1 x1,y1, z1 ，過該點的緯圓為：zz11x2y2z2x 2y 2z 22又 m 1 在母線上，所以：111x11y1z1（ 3）從（ 1）（ 3）消去13

8、3x1, y1, z1 ，得到：9 x2y2 10 z26 z90此為所求的旋轉(zhuǎn)面方程；（4） 對母線上任一點m 1 x1,y1, z1 ，過m 1 的緯圓為：zz11x2y2z2x 2y 2z 22111又 m 1 在母線上，所以2z1x1x 2y 211211從（ 1）（ 3）消去x1,y1, z1 ，得到：x2y2111zzx 210z1即旋轉(zhuǎn)面的方程為：x2y21 0z1 §4.4 橢球面2、設(shè)動點與點1,0,0 的距離等于從這點到平面x4 的距離的一半，試求此動點的軌跡；解：設(shè)動點m x, y, z ，要求的軌跡為，就m x, y, z x12y2z21 x43x224 y

9、24 z212222即： xyz1433此即為的方程；x2y2z23、由橢球面2221 的中心（即原點），沿某肯定方向到曲面上的一點的距離為r ，abc設(shè)定方向的方向余弦分別為,，試證：1222r 2a 2b2c2證明：沿定方向 , 到曲面上一點，該點的坐標(biāo)為 r, r, r該點在曲面上r 22r 22r 222221abc1222即r 2a 2b 2c2x2y2z24、由橢球面2221 的中心， 引三條兩兩相互垂直的射線，分別交曲面abcp1,p2 , p3 ，設(shè) opr , opr , opr ，試證：111111112233r 2r 2r 2a 2b 2c2123證明：利用上題結(jié)果，有1

10、222iiii1,2,3rabc2222i其中 i ,i ,i 是 opi的方向余弦；如將 opi i1,2,3所在的直線看成新的坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸，就1 ,2 , 3 是坐標(biāo)矢量關(guān)于222222222新坐標(biāo)系的方向余弦， 從而1231 ，同理，1231 ， 1231所以，21111 222 1 222 21 222 r 2r 2r 2123a1232b123c123111a2b 2c2即： 111111r 2r 2r 2a 2b2c2123§4.5 雙曲面x23、已知單葉雙曲面y2z21 ，試求平面的方程， 使這平面平行于 yoz面（或 xoz 面）494且與曲面的交線是一對相交直

11、線；解：設(shè)所求的平面為xk ，就該平面與單葉雙曲面的交線為：x2y2z2（* ）1494xky2z2k 21亦即944x k為使交線（ * ）為二相交直線，就須：k 210 ，即 k24所以，要求的平面方程為：x2同理，平行于 xoy 的平面要滿意它與單葉雙曲面的交線為二相交直線，就該平面為： y34、設(shè)動點與 4,0,0 的距離等于這點到平面x1 的距離的兩倍，試求這動點的軌跡；解：設(shè)動點m x, y, z ，所求軌跡為，就m x, y, zx42y2z22 x1 x42y2z24 x122亦即：xy2z2141212此為的軌跡方程；x25、試求單葉雙曲面y2z21 與平面 x2z30 的交

12、線對 xoy平面的射影柱面；1645解：題中所設(shè)的交線為：x2y 2z211645x2 z30從今方程中消去 z ，得到：x220 y224x1160此即為要求的射影柱面方程；§4.6 拋物面2、適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求以下軌跡的方程：（1） 到肯定點和肯定平面距離之比為定常數(shù)的點的軌跡；（2） 與兩給定的異面直線等距離的點的軌跡，已知兩異面直線間的距離為2a ，夾角為 2；解：（ 1）取定平面為 xoy 面，過定點且垂直于xoy 面的直線作為 z 軸，就定點的坐標(biāo)設(shè)為0,0, a ，而定平面即為 z0 ，設(shè)比值常數(shù)為 c ，并令所求的軌跡為，就點 m x, y, zx 2y2 z za)

13、 2c22即 xy1cz2aza 2022此為的方程；（2）取二異面直線的公垂線為軸，中點的坐標(biāo)為原點；再取x 軸，使其與二異面直線的夾角相等，就二異面直線的方程為：y tgx0與z aytgx0 za設(shè)所求的軌跡為，就ytgz02aza02x1x1ytg1tg 2yz2aza2xxy2m x, y, ztg0011tg 221tg即：tg 2za2 za 2 xtgy 2tg 2 za 2 za2xy 2經(jīng)同解化簡得： zsincosxy a此即所要求的軌跡方程；§4.7 單葉雙曲面與雙葉雙曲面的直母線x2y 23、在雙曲拋物面z 上，求平行于平面 3 x2 y4 z0 的直母線；1642解：雙曲拋物面x2y z 的兩族直母線為：164xyu42xyv及42u xy z 42v x4y z 2第一族直母線的方向矢量為： 2,1, u其次族直母線的方向矢量為： 2,1, v據(jù)題意，要求的直母線應(yīng)滿意：324u0u1324v0v2xy22要求的直母線方程為：xy142及xyz42242xyz422x6y5、求與兩直線32z 與 x 13y8z24 相交， 而且與平面 2x213