單因素方差分析完整實(shí)例

1、什么是單因素方差分析單因素方差分析 是指對(duì)單因素試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的方 法。單因素方差分析是兩個(gè) 樣本平均數(shù)比較的引伸，它是用來(lái)檢驗(yàn)多個(gè)平均數(shù)之間的差異，從而 確定因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的一種 統(tǒng)計(jì)方法。單因素方差分析相關(guān)概念因素：影響研究對(duì)象的某一 指標(biāo)、變量。水平：因素變化的各種狀態(tài)或因素變化所分的等級(jí)或組別單因素試驗(yàn)：考慮的因素只有一個(gè)的試驗(yàn)叫單因素試驗(yàn)。單因素方差分析示例例如，將抗生素注入人體會(huì)產(chǎn)生抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的現(xiàn)象，以致減少了藥效。下表列 出了 5種常用的抗生素注入到牛的體內(nèi)時(shí)，抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比?，F(xiàn)需要在顯著性水平a =

2、0.05T檢驗(yàn)這些百分比的均值有無(wú)顯著的差異。設(shè)各總體服從正態(tài)分布，且方差相同。青四鏈紅氯霉素環(huán)素1霉素1霉素霉素29.27.5.821.29.636224.32.6.217.32.364828.30.11.18.255803032.34.8.319.24.0802在這里，試驗(yàn)的指標(biāo)是抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比，抗生素為因素，不同的5種抗生素就是這個(gè)因素的五個(gè)不同的水平。假定除抗生素這一因素外，其余的一切條件都相同。這就是 單因素試驗(yàn)。試驗(yàn)的目的是要考察這些抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比的均值有無(wú)顯著的差異。即考察抗生素這一因素對(duì)這些百分比有無(wú)顯著影響。這就是一個(gè)典型的單因素試驗(yàn)的方差分析

3、問(wèn)題。單因素方差分析的基本理論1與通常的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題一樣，方差分析的任務(wù)也是先根據(jù)實(shí)際情況提出原假設(shè)H。與備擇假設(shè)Hi，然后尋找適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行 假設(shè)檢驗(yàn)。本節(jié)將借用上面的實(shí)例來(lái)討論單因素試驗(yàn)的方差 分析問(wèn)題。在上例中，因素A （即抗生素）有s（ =5）個(gè)水平力丄4% 1 A盡，在每一個(gè)水平= I?2）* " ! 下進(jìn)行了 nj = 4次獨(dú)立試驗(yàn)，得到如上表所示的結(jié)果。這些結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。表中的數(shù)據(jù)可以看成來(lái)自 s個(gè)不同總體（每個(gè)水平對(duì)應(yīng)一個(gè)總體）的樣本值，將各個(gè)總 體的均值依次記為 4嘰丁則按題意需檢驗(yàn)假設(shè)Ho : “丄=血=“；：'|訂_廠不全相等為了便于討論，現(xiàn)

4、在引入總平均口其中:再引入水平Aj的效應(yīng)§內(nèi)=幻一 =1,2 ，&）顯然有好：.一一“沁- 一 f = '- §表示水平Aj下的總體平均值與總平均的差異 利用這些記號(hào)，本例的假設(shè)就等價(jià)于假設(shè)Hq ：=扌戈=N = qin :幾抵*久不全為零因此，單因素方差分析的任務(wù)就是檢驗(yàn)s個(gè)總體的均值 內(nèi)是否相等，也就等價(jià)于檢驗(yàn)各水平Aj的效應(yīng)§是否都等于零。2.檢驗(yàn)所需的統(tǒng)計(jì)量假設(shè)各總體服從正態(tài)分布，且方差相同，即假定各個(gè)水平 AJ（J圧）下的樣本工口、工幻、衛(wèi)從畀來(lái)自正態(tài)總體N（購(gòu)令,q與孑未知，且設(shè)不同水平 Aj下的樣本之間相互獨(dú) 立，則單因素方差分析所需

5、的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以從總平方和的分解導(dǎo)出來(lái)。下面先引入：水平Aj下的樣本平均值數(shù)據(jù)的總平均二 £ £ 夠=-ZL- r a fW IJ _J=1總平方和：St = H（知-示）j=i1=1總平方和St反映了全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，因此St又稱(chēng)為總變差。將其分解為St = Se + Sa其中:Se* ni=f £ （砌-耳J=1Sasa=££（j-x）2 = E 円偽-鏟）j=ii=ij=iSe的各項(xiàng)-表示了在水平Aj下，樣本觀察值與樣本均值的差異，這是由隨機(jī)誤表示了在水平Aj下的樣本平均值 與數(shù)據(jù)總平均的差異，這是由水平Aj以及隨機(jī)誤差所引起的，因此 Sa叫做因素A的效應(yīng)平方和。差所引起的，因此Se叫做誤差平方和。Sa的各項(xiàng)可以證明S與Se相互獨(dú)立，且當(dāng)'汎叭為真時(shí)，Sa與Se分別服從自由度為s- 1, n- s的X分布，即Sa/2（?Xs-1）Se/2（? *n- s）于是，當(dāng)二：=-為真時(shí)（刃）/DIf/（s - 1）韻（嚴(yán)H這就是單因素方差分析所需的服從F分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量3.假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域通過(guò)上面的分析可得，在 顯著性水平a下，本檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)開(kāi) 1)=(%)/()Sa, Se分別為了方便