數(shù)理方程與特殊函數(shù)楊ppt22

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1email: 數(shù)理方程與特殊函數(shù)數(shù)理方程與特殊函數(shù)任課教師：楊春任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2本次課主要內(nèi)容本次課主要內(nèi)容平面特殊區(qū)域狄氏格林函數(shù)平面特殊區(qū)域狄氏格林函數(shù)(一一)、上半平面狄氏問題、上半平面狄氏問題green函數(shù)函數(shù) (二二)、圓域上狄氏問題、圓域上狄氏問題green函數(shù)函數(shù) (三三)、第一象限上狄氏問題、第一象限上狄氏問題green函數(shù)函數(shù) ( (

2、四四) )、上半圓域上狄氏問題格林函數(shù)、上半圓域上狄氏問題格林函數(shù) 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3狄氏問題解的積分表達(dá)式回顧狄氏問題解的積分表達(dá)式回顧1、三維情形：、三維情形：000(,)()(,)svg m mu mdsg m mfdvn(),()ssuf mmvum 積分表達(dá)式為：積分表達(dá)式為： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 41、二維情形：、二維情形：(),()lluf mmvum 積分表達(dá)式為：積分表達(dá)式為：0()( , )ldg

3、u mdsgf x y dn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5靜電勢公式靜電勢公式1、三維空間中，電量為、三維空間中，電量為+q的位置在的位置在m0的正點(diǎn)電荷的正點(diǎn)電荷在空間在空間m處產(chǎn)生的電勢為：處產(chǎn)生的電勢為：00()4mmqu mr2、三維空間中，電荷密度為、三維空間中，電荷密度為+q的位置在的位置在m0的無限的無限長桿在空間長桿在空間m處產(chǎn)生的電勢為：處產(chǎn)生的電勢為：001()ln2mmqu mr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6(

4、一一)、上半平面狄氏問題的、上半平面狄氏問題的green函數(shù)函數(shù) 000,(0)0ygxxyyyg 問題相當(dāng)于無限長接地問題相當(dāng)于無限長接地導(dǎo)線導(dǎo)線(x軸軸)上方的電勢。上方的電勢。mm0m1xyo 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7所以：所以：分析：分析：由鏡像法：由鏡像法：格林函數(shù)格林函數(shù)g(m,m0)等于在等于在(x0,-y0)處置一處置一電量為電量為- 0的點(diǎn)電荷在的點(diǎn)電荷在m處產(chǎn)生的電勢與處產(chǎn)生的電勢與m0處電量為處電量為0的的正點(diǎn)電荷在正點(diǎn)電荷在m處產(chǎn)生的電勢的疊加。處產(chǎn)生的電勢的疊加。0101111(,)

5、22mmmmg m mlnlnrr并且有：并且有：ggny 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 80222200001112()()()()lyglnlnnyx xy yx xy y022001()yxxy 即：即： 例例1、求上半平面上泊松與拉氏方程狄氏解、求上半平面上泊松與拉氏方程狄氏解 解：由公式：解：由公式：0()(,)ldgu mdsg fxy dn 得泊松方程狄氏解為：得泊松方程狄氏解為：0022001()( )( , )()dyu mxdxgf x y dxxy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t

6、 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9拉氏方程狄氏解為：拉氏方程狄氏解為： 例例2、求上半平面上拉氏方程狄氏解，邊界條件為：、求上半平面上拉氏方程狄氏解，邊界條件為： 解：由公式：解：由公式：00,0(, 0 ),0 xuxux0022001()( )()yu mxdxxxy00220000220001()( )()1()yu mxdxxxyyudxxxy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1000220001()uydxxxy0002200011()1u ydxxxyy000002200001

7、()()1yxxu ydyxxyy00001arctanxxuy00001arctanxxuy000arctan2uxy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1102220(,),()0lgmmmmd xyrg (二二)、圓域上狄氏問題的、圓域上狄氏問題的green函數(shù)函數(shù) 圓域上狄氏問題圓域上狄氏問題green函數(shù)滿足的定解問題為函數(shù)滿足的定解問題為 分析：圓域上狄氏問題分析：圓域上狄氏問題green函數(shù)函數(shù)g(m,m0)相當(dāng)于圓內(nèi)相當(dāng)于圓內(nèi)m0處放置電處放置電量為量為0 0的正點(diǎn)電荷，而圓周接地的電勢。的正點(diǎn)電荷，而圓

8、周接地的電勢。mm0om1其中：其中：omr11omr00omr0( ,)r r 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12仿照球形域格林函數(shù)求法：延長仿照球形域格林函數(shù)求法：延長omom0 0至至m m1 1, ,使使r r1 1=r=r2 2/r/r0.0.但是：但是： (可證明：可證明：om0momm1)101011111lnlnln222mmmmmmmmrrrr在在m m0 0處置處置一電荷密度為一電荷密度為0的無限長細(xì)桿，的無限長細(xì)桿，m m1 1處置一電荷密度處置一電荷密度為為-0 0的無限長細(xì)桿，兩線在的無限長

9、細(xì)桿，兩線在m m處產(chǎn)生的平面電勢為處產(chǎn)生的平面電勢為: :10011lnln22mmlmmrrrr所以，格林函數(shù)應(yīng)該為：所以，格林函數(shù)應(yīng)該為：10100001111111(,)lnlnlnlnln22222mmm mmmm mrrrg m mrrrrrmm0om1 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13解：解：lrggnr因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?202200122cosrrr rrrr 例例3、求圓域上泊松與拉氏方程狄氏解。、求圓域上泊松與拉氏方程狄氏解。0()(,)ldgu mdsg fxy dn 所以：所以：lrggnr22

10、0022001()(,)22cosldrru mdsg fxy dr rr rr所以，狄氏解為：所以，狄氏解為： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1400222222220000cosx xy yxyxyxyxy所以：所以：由于：由于：00coso mo mo mo m所以，在極坐標(biāo)系下，有：所以，在極坐標(biāo)系下，有：0coscos()222002200001()()( ,)22cos()drru mdgfrrdrdrrrr 從而，在極坐標(biāo)下，圓域上泊松方程狄氏解為：從而，在極坐標(biāo)下，圓域上泊松方程狄氏解為：在極坐標(biāo)下，

11、圓域上拉氏方程狄氏解為：在極坐標(biāo)下，圓域上拉氏方程狄氏解為：222002200001()()22cos()rru mdrrrr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15例例4、求圓域上拉氏方程狄氏解。、求圓域上拉氏方程狄氏解。(1)、解法解法1:(格林函數(shù)法格林函數(shù)法)0,1(1,)( )uru ( )cosa (2)、( )cosba 選極坐標(biāo)系，設(shè)圓內(nèi)選極坐標(biāo)系，設(shè)圓內(nèi)m0(r0,0),則：則：222002200001()()22cos()rru mdrrrr 220200001cos*212cos()radrr 0.

12、8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16令：令： 則：則：(a) 采用留數(shù)計(jì)算上面積分采用留數(shù)計(jì)算上面積分*0()ize 于是得：于是得：101cos()()2zz令：令：1ddziz00111cos()()22iiiieezeze0012000211001()(1)12( ,)21()iizzez earu rdzizr zzr00220100(1)4(1)()iizarz eedzir zzr z002100(1)()iizz eeidzr zzr z1( )zf z dz 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t

13、0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 17復(fù)積分的留數(shù)定理復(fù)積分的留數(shù)定理 定理：設(shè)函數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(z) 在回路在回路l所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域b上除有限個(gè)孤立奇上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)點(diǎn)b1,b2,bn外解析外解析,在在l圍成的閉區(qū)域上除這些奇點(diǎn)外連續(xù)，則：圍成的閉區(qū)域上除這些奇點(diǎn)外連續(xù)，則：1( )2re( )nilif z dzisf b 特別地，當(dāng)奇點(diǎn)為極點(diǎn)時(shí)有：特別地，當(dāng)奇點(diǎn)為極點(diǎn)時(shí)有：111re()lim()( )(1)!immiimzbdsf bzbfzmdz 其中其中m是極點(diǎn)是極點(diǎn)bi的階數(shù)。的階數(shù)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.

14、5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18于是：于是：所以，所以，(1)的解為：的解為：000002200002limlim(1)()(1)iiiizzrz eez eeir zzrr z z02re( ),0re( ),iis f zs f zr000202000121iiir eeeirrr00020()21iir eeir0000( ,)cosu rar 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19一個(gè)常見函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開一個(gè)常見函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開(b) 采用級數(shù)展開法計(jì)算積分采用級數(shù)展開法計(jì)算積分*

15、220200001cos*212cos()raidrr221( ),(1,02 )12cosf xxx將如下函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)：將如下函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)：令：令： ，那么：，那么：ixte2221211( )12cos1()f xxtt111ttt 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20100kkkkktt01kkkkktt11kkkktt 11kikxikxkee 112coskkkx 221( )1 2 cosf xx112coskkkx 所以函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)為：所以函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)為： 0.8 1 0.

16、6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21于是得：于是得：200021000112cos()12cos()mmrrmrr所以：所以：220200001cos*212cos()raidrr200011cos12cos()2mmarmd22000011coscoscos()2mmaadrmd 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2220001coscos()mmarmd2200000011coscoscoscossinsinmmmmaarmm drmmd 2000cosco

17、scosard 20001coscoscosmmarmm d 00cosar當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：( )cosba 22002000011()()212cos()ru mdrr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23而：而：22020000220200001212cos()1cos212cos()rbdrrradrr220200001212cos()rbdrr20001112cos()2mmbrmd22000011cos()2mmbbdrmdb所以，有：所以，有：0000( ,)cosu rbar 0.8 1 0.6 0.4 0

18、.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24( , )( ) ( )u rr r1、分離變量：、分離變量：2110rrrrr 2r rrrr 代入方程得：代入方程得：整理后可令比值為整理后可令比值為：解法解法2:(分離變量法分離變量法) 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25200r rrrr 得兩個(gè)常微分方程如下：得兩個(gè)常微分方程如下：2、求解固有值問題、求解固有值問題 20 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n

19、 26(1) 000時(shí)，令時(shí)，令=2 2 得：得： sincosba結(jié)合周期條件，結(jié)合周期條件，只能取正整數(shù)。于是得固有值：只能取正整數(shù)。于是得固有值：21,2,)n n（固有函數(shù)為：固有函數(shù)為： cossin(1,2)nnnanbnn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 273、求歐拉方程的解、求歐拉方程的解20(0)r rrrrr (1)、對應(yīng)于、對應(yīng)于0 0= 0= 0的解為：的解為：0( )lnrrcdr由有限性得：由有限性得：d=0,于是有：于是有：0( )rrc 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t

20、0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 28(2)、對應(yīng)于、對應(yīng)于n n= n= n2 2(n=1,2.)(n=1,2.)2(1)0d drdrn r作變換：作變換：=e=et t 得：得：22n rdt2d r即 ：( )nnnnnrrc rd r由有限性得：由有限性得：dn=0,于是有：于是有：( )nnnrrc r 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 294、求定解、求定解( )(0,1, 2,)nnnrrc rn一般解為：一般解為：01( , )cossin2nnnnau rranbn由邊界條件

21、由邊界條件(1)得：得：01coscossin2nnnaaanbn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30所以，比較系數(shù)得：所以，比較系數(shù)得：010,1,0(1),0nnaaanb( , )cosu rar所以，所以，(1)的解為：的解為：由邊界條件由邊界條件(2)得：得：01coscossin2nnnabaanbn所以，比較系數(shù)得：所以，比較系數(shù)得：012 ,1,0(1),0nnab aanb所以，所以，(2)的解為：的解為：( , )cosu rbar 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1

22、1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 31(三三)、第一象限上狄氏問題的、第一象限上狄氏問題的green函數(shù)函數(shù) 0000,(0,0)0,0yxgxxyyxygg 由鏡像法：可確定由鏡像法：可確定m0的像點(diǎn)的像點(diǎn)m1,m2,m3.mm0m2(-0 0) )xyom3(0 0) )m1(-0 0) ) 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 32第一象限上狄氏問題的第一象限上狄氏問題的green函數(shù)為：函數(shù)為： 0123011111111(,)lnlnlnln2222mmmmmmmmg m mrrrr22220000222

23、20000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxxyyxxyy 例例5、求第一象限上拉氏方程狄氏解。、求第一象限上拉氏方程狄氏解。解：假定定解問題為：解：假定定解問題為：01020(0,0)( ),( )xyuxyuyux 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 33由于由于1:0lx 其中：其中：ggnx 0()(,)ldgu mdsg fxy dn lgdsn 1212llggdsdsnn 2:0ly 對于對于l1:對于對于l2:ggny 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3400yyggny 對于對于l2:0022220000221144()()yyxxyxxy 0022220000221144()()yyxxyxxy022001()yxxy 00 xxggny 022001()xyyx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1