2022年貴陽市花溪第二中學九年級數(shù)學競賽講座第三講充滿活力的韋達定理

1、第 1 頁（共 10 頁）第三講 充滿活力的韋達定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16 世紀法國最杰出的數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學內(nèi)容，應用廣泛，主要體現(xiàn)在：運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值；運用韋達定理，求代數(shù)式的值；利用韋達定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；利用韋達定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學思想方法【例題求解】【例 1】 已知、是

2、方程012xx的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式)2(22的值為思路點撥所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為( 例【例 2】如果a、b都是質(zhì)數(shù)，且0132maa，0132mbb，那么baab的值為 ( ) a22123b22125或 2 c22125d22123或 2 思路點撥可將兩個等式相減， 得到a、b的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視a、b為方程0132mxx的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應用創(chuàng)造了條件注：應用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于1x、2x的對稱式，這類問題可通過變形用1x+2x、1x2x表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1) 恰當組合；(2) 根

3、據(jù)根的定義降次；(3) 構(gòu)造對稱式精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -第 2 頁（共 10 頁）【例 3】 已知關(guān)于x的方程：04)2(22mxmx (1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根 (2)若這個方程的兩個實根1x、2x滿足212xx，求m的值及相應的1x、2x思路點撥對于 (2) ，先判定1x、2x的符號特征，并從分類討論入手【例 4】 設1x、2x是方程02324222mmmxx的兩個實數(shù)根，當m為何值時，2221xx有最小值 ?并求出這個最小值思路點撥利

4、用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下 ( 0)進行的注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應用韋達定理解題時，須滿足判別式0 這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -第 3 頁（共 10 頁）【例 5】 已知：四邊形abcd中，abcd，且ab、cd的長是關(guān)于x的方程047)21(222mmxx的兩個根(1) 當m 2和m2 時，四邊形abcd分別是哪種四

5、邊形?并說明理由(2) 若m、n分別是ad、bc的中點，線段mn分別交ac、bd于點p，q，pq1，且abbc) 的長是關(guān)于x 的方程的兩個根(1) 求rn的值；（2）若e是ab上的一點，cfde于f，求be為何值時， cef的面積是ced的面積的31，請說明理由16 設m是不小于1的實數(shù)，使得關(guān)于 x 的方程工033)2(222mmxmx有兩個不相等的實數(shù)根1x、2x(1) 若62221xx，求m的值(2) 求22212111xmxxmx的最大值精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -

6、第 7 頁（共 10 頁）17如圖，已知在abc中，acb=90，過c作cdab于d，且adm，bd=n，ac2：bc2 2：1；又關(guān)于x的方程012)1(24122mxnx兩實數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值18設 a、b、 c為三個不同的實數(shù)，使得方程和012axx和02cbxx有一個相同的實數(shù)根，并且使方程02axx和02bcxx也有一個相同的實數(shù)根，試求cba的值精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -第 8 頁（共 10 頁）參考答案精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 10 頁 - - - - - - - - -第 9 頁（共 10 頁）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 10 頁 - - -