2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問題(五大題型)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：數(shù)量積隱圓 3題型二：平方和隱圓 3題型三：定冪方和隱圓 4題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓 4題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓） 503過關(guān)測試 6

技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內(nèi)，若為定點(diǎn)，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點(diǎn)，滿足,則的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點(diǎn)，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓坐標(biāo)法妙解技巧五．阿氏圓一般地，平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓．當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡是線段AB的中垂線．題型一：數(shù)量積隱圓【典例1-1】已知平面向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2024·遼寧鞍山·一模）已知平面向量，，滿足，若，則的最小值為

A． B． C． D．0【變式1-1】設(shè)平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·遼寧沈陽·二模）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．題型二：平方和隱圓【典例2-1】已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．【典例2-2】已知平面向量、滿足，，設(shè)，則________.【變式2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．題型三：定冪方和隱圓【典例3-1】已知點(diǎn)，，直線：上存在點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄?，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．【變式3-2】已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例4-2】已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動點(diǎn)C滿足，則的最小值為（

）1．已知平面向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A． B．C． D．23．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知向量，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．4．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B．2 C． D．5．已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，點(diǎn)在線段上.當(dāng)取得最小值時，（

）A． B． C． D．7．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．8．已知向量，，滿足，，，，則的最小值等于（

）A． B． C．4 D．9．已知，，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．211．已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是．12．已知是平面中的三個單位向量，且，則的最小值是.13．在平面內(nèi)，已知非零向量與單位向量的夾角為，若向量滿足，則的最小值為.14．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）平面中存在三個向量，，，若，，且，且滿足，則的最小值．15．已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為.16．已知是邊長為2的正三角形，點(diǎn)在平面內(nèi)且，則的最大值為，最小值為.17．已知為單位向量，且，則的最小值為.18．設(shè)向量滿足，與的夾角為，則的最大值為19．設(shè)是單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍是.20．已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為.21．已知向量，，滿足，，，，則的取值范圍為.22．已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為.23．在平面內(nèi)，若有，，，則的最大值為.重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：數(shù)量積隱圓 3題型二：平方和隱圓 6題型三：定冪方和隱圓 8題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓 11題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓） 1503過關(guān)測試 19

技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內(nèi)，若為定點(diǎn)，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點(diǎn)，滿足,則的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點(diǎn)，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓坐標(biāo)法妙解技巧五．阿氏圓一般地，平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓．當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡是線段AB的中垂線．題型一：數(shù)量積隱圓【典例1-1】已知平面向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，易知與的夾角為，設(shè)，，，由，可得，所以原問題等價于，圓上一動點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值，利用圓心和點(diǎn)的距離與半徑的差，即可求出結(jié)果.因?yàn)?，所以與的夾角為，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，又，所以原問題等價于，圓上一動點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值，又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點(diǎn)與圓上一動點(diǎn)距離的最小值為.故選：A.【典例1-2】（2024·遼寧鞍山·一模）已知平面向量，，滿足，若，則的最小值為

A． B． C． D．0【答案】B【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄?，，滿足，，，，設(shè)，，，，所以的最小值為．故選B．【變式1-1】設(shè)平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，不妨令，因?yàn)榕c的夾角為所以，所以，設(shè)，則，，由，所以，即，即，即點(diǎn)表示以為圓心，為半徑的圓，又所以；故選：A【變式1-2】（2024·遼寧沈陽·二模）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，所以對任意都恒成立，所?不妨設(shè)又.當(dāng)，設(shè)，所以，所以，所以，所以對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，所以可以看成是到的距離，所以的最小值為.當(dāng)時，同理可得的最小值為1.故選：A題型二：平方和隱圓【典例2-1】已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】依題意，可為與x軸、y軸同向的單位向量，設(shè)化簡得：運(yùn)用輔助角公式得：，即得：，故；故答案為：【典例2-2】已知平面向量、滿足，，設(shè)，則________.【答案】【解析】因?yàn)榍?，所以；又因?yàn)?，所以；由，所以；根?jù)可知：，左端取等號時：三點(diǎn)共線且在線段外且靠近點(diǎn)；右端取等號時，三點(diǎn)共線且在線段外且靠近點(diǎn)，所以，所以.故答案為：.【變式2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先求出動點(diǎn)M的軌跡是圓D,再根據(jù)圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.設(shè)，則，所以，所以點(diǎn)M的軌跡是一個圓D,由題得圓C和圓D相交或相切，所以，所以.故選：B【變式2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，∵直線與點(diǎn)，直線上存在點(diǎn)滿足，∴，整理,得①，∵直線上存在點(diǎn)M,滿足，∴方程①有解，∴，解得：，故選D.題型三：定冪方和隱圓【典例3-1】已知點(diǎn)，，直線：上存在點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得：直線，因此直線經(jīng)過定點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，；，化簡得：，因此點(diǎn)為與直線的交點(diǎn)．所以應(yīng)當(dāng)滿足圓心到直線的距離小于等于半徑解得：故答案為【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，作，，，取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，，，，所以，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，所以，的底邊上的高為，，，所以，，所以，，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線且為線段上的點(diǎn)時，的面積取得最大值，此時，的底邊上的高取最大值，即，則，因此，的最大值為.故選：B.【變式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期中）已知平面單位向量，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．【答案】A【解析】由推出，所以，如圖，終點(diǎn)的軌跡是以為半徑的圓，設(shè)，，，，所以表示的距離，顯然當(dāng)時最小，M的最大值為圓心到的距離加半徑，即，故選：A【變式3-2】已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算得，設(shè)，則，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O周上運(yùn)動，由圖知：當(dāng)DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，設(shè)，利用三角函數(shù)求的最值．由得：，即，設(shè)，則，則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上運(yùn)動，由圖知：當(dāng)DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，設(shè)，則，所以當(dāng)時，|DC|取最大值，故選：C．題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，如圖，令，則，，所以，，因?yàn)椋?，所以，即，設(shè)，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，令，則，所以當(dāng)，且C，P，Q三點(diǎn)共線時，取最小值，則，故選：A【典例4-2】已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動點(diǎn)C滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，根據(jù)投影向量，，則，且，因?yàn)?，所以點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑的圓上運(yùn)動．設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由極化恒等式得：，因?yàn)?，此時，即的最小值為，故選：D．【變式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則最小值為.【答案】【解析】如圖，，設(shè)，則向量滿足，設(shè)，所以點(diǎn)為以為圓心，以為半徑的圓上的一點(diǎn)，所以，同理，取點(diǎn)，則，又因，所以，所以，即，所以，由三角形的三邊關(guān)系知.故填：.【變式4-2】已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．【答案】【解析】作圖，，則，，因?yàn)椋云瘘c(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以B為圓心，1為半徑的圓上；同理，，所以起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以C為圓心，1為半徑的圓上，所以的最小值則為，因?yàn)?，，?dāng)，，三點(diǎn)共線時，，所以.故答案為：.【變式4-3】已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.【答案】/【解析】法一由，得.如圖所示，分別作,作，由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以,作，則,所以點(diǎn)P在以C為圓心，1為半徑的圓上.由圖可知，當(dāng)點(diǎn)O，C，P三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在點(diǎn)P1處時，||取得最大值,故||的最大值是,故答案為：法二由，得，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）【典例5-1】已知平面向量，，，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：依題意設(shè)，，，，，則，故C在以為圓心，半徑為1的圓上，如圖，取點(diǎn)，則，，且，因此，，故，又，由于，當(dāng)E，M，C三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段上時，等號取到，因此.故選:C.【典例5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，如圖：取點(diǎn),則,且,因此,所以,故,由于,當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時，等號取到，因此，故選：D【變式5-1】已知平面向量滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)，，則，，由得，故C在以為圓心，半徑為1的圓上，取，則在AD上，則，又，∴，∴，即，∴.故選：D【變式5-2】（2024·高三·山東日照·期中）已知平面向量，，滿足⊥，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，，即C在以為圓心，2為半徑的圓上，如圖，取，則，又，所以有～，所以，又因?yàn)?，，所以．故選：B.【變式5-3】已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】如圖，為單位圓，、、在上，，，在的延長線上，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，在的延長線上，，設(shè)，，為上一點(diǎn)，，則，△，，同理，，故選：A．1．已知平面向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，不妨設(shè)，又，不妨設(shè)在直線上，又可得，即，則，設(shè)，則，則，即，則在以為圓心，1為半徑的圓上；又，則的最小值等價于的最小值，即以為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的最小值，即圓心到直線的距離減去半徑，即，則的最小值是.故選：D.2．已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A． B．C． D．2【答案】A【解析】是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，如圖所示，設(shè)，，，則，，由可知，所以C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓當(dāng)為圓的直徑時，最大，此時故選：A3．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知向量，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋瞧矫鎯?nèi)兩個互相垂直的單位向量，故可設(shè)，，，則，，因?yàn)?，所以，整理得到，即，故的最大值為，故選：B.4．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，，，，則，，因?yàn)椋剩?，所以在以為直徑的圓上，故的最大值為圓的直徑，故選：C.5．已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】均為單位向量且，不妨設(shè)，，且，，，，的幾何意義表示的是點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和，和兩點(diǎn)確定的直線為，即，原點(diǎn)到的距離，與相交，則點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的最小值即為和兩點(diǎn)間距離，所求最小值為.故選：B.6．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，點(diǎn)在線段上.當(dāng)取得最小值時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以所在直線為軸，以的垂直平分線建立軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由，，則，所以，，，設(shè)，則，，則，當(dāng)時，取得最小值，此時，.故選：B7．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，所以，即，所以，，所以的最小值為.故選：A8．已知向量，，滿足，，，，則的最小值等于（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意令，，，，因?yàn)椋?，即，，則，則，則的最小值為4.故選：C.9．已知，，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，共起點(diǎn)，由，可得，所以與垂直，如圖由向量減法的幾何意義可知，向量的終點(diǎn)落在圖中的圓上，由題意可知的終點(diǎn)在圖中所示的射線上，所以的最小值是從圓上的點(diǎn)到射線上的點(diǎn)形成的向量，要求的最小值，只需求圓心到射線的距離減去圓的半徑，故的最小值為.故選：.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．2【答案】A【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)且，因?yàn)?，可得，則，所以，又因?yàn)橄蛄繚M足，可得，解得，所以，，則，設(shè)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，所以，又因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即的最小值為.故選：A.11．已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是．【答案】【解析】均為單位向量且，不妨設(shè)，，且，，，，的幾何意義表示的是點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的2倍，點(diǎn)在單位圓內(nèi)，點(diǎn)在單位圓外，則點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的最小值即為和兩點(diǎn)間距離，所求最小值為.故答案為：.12．已知是平面中的三個單位向量，且，則的最小值是.【答案】【解析】根據(jù)題意可設(shè)，，設(shè)，則，，又為單位向量，所以，所以表示單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和，又過點(diǎn)，兩點(diǎn)的直線方程為，即，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以的最小值距離為點(diǎn)，之間的距離.即的最小值為.故答案為：13．在平面內(nèi)，已知非零向量與單位向量的夾角為，若向量滿足，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，，，由得：，即，所以向量的末端落在以為圓心,以為半徑的圓上,即圖中的虛線圓上.因?yàn)榉橇阆蛄颗c單位向量的夾角為,所以向量的末端落在如圖所示的射線上.由向量減法的三角形法則可知,向量是從圓上的點(diǎn)到射線上的點(diǎn)形成的向量.由圖形的對稱性可知，只需考慮上半部分即可.由幾何分析可知,如圖:圓心到射線的距離減去圓的半徑即為最小值.所以.故答案為:14．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）平面中存在三個向量，，，若，，且，且滿足，則的最小值．【答案】【解析】由，得與之間的夾角為90°.由，得，即與夾角為90°.數(shù)形結(jié)合得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動．再根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)求出的最小值.，且，則與之間的夾角為90°.將可以改寫成，因此與夾角為90°.因此綜上條件我們可以做出如下圖象點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上動．根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)可知該圓可以看成由所構(gòu)成的圓（以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則）.，，.故答案為：.15．已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為.【答案】/【解析】解法1：如圖，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形，設(shè)的中點(diǎn)為S，連接，則，所以，又為直角三角形，所以，故①，設(shè)，則