《微積分初步》形成性考核冊(cè)題解秋

1、微積分初步形成性考核作業(yè)題解作業(yè)（一）函數(shù)，極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共 20 分）11函數(shù) f ( x)ln( x的定義域是2)答案： 2,3) (3,)提示：對(duì)于1，要求分母不能為 0，即 ln( x2)0，也就是 x3 ；ln( x2)對(duì)于 ln( x2) ，要求 x20，即 x2 ；所以函數(shù) f ( x)1的定義域是 2,3) (3,)ln( x2)2函數(shù) f ( x)1的定義域是5x答案： (,5)提示：對(duì)于1，要求分母不能為0，即 5 x0 ，也就是 x 5 ；5x對(duì)于5x ，要求 5x0 ，即 x5 ；所以函數(shù) f ( x)1的定義域是 (,5)5x3函數(shù) f ( x)1

2、2)4x 2的定義域是ln( x答案： ( 2,1)(1,2提示：對(duì)于1，要求分母不能為 0，即 ln( x2)0，也就是 x1；ln( x2)對(duì)于 ln( x2) ，要求 x20 ，即 x2 ；對(duì)于4x2，要求 4x20 ，即 x2且 x2； / 25所以函數(shù) f ( x)12)4x2的定義域是 ( 2, 1)( 1,2ln( x4函數(shù) f ( x 1)x22x7，則 f ( x)答案： x26提示：因?yàn)?f ( x1)x22 x7( x 1)26，所以 f ( x)x265函數(shù) f ( x)x22 x0 ，則 f (0)exx0答案： 2提示：因?yàn)楫?dāng) x0 是在 x0區(qū)間，應(yīng)選擇x 22進(jìn)

3、行計(jì)算，即f (0)0 22 26函數(shù) f ( x 1)x22x ，則 f ( x)答案： x21提示：因?yàn)?f ( x1)x22x(x1) 21，所以 f ( x) x 217函數(shù) yx 22 x3 的間斷點(diǎn)是x 1答案： x1提示：若f (x) 在 x0 有下列三種情況之一，則f ( x) 在 x0 間斷：在x0無(wú)定義；在x0 極限不存在；在 x0 處有定義，且lim f ( x) 存在，但 limf (x)f ( x0 ) 。題中在 x01處無(wú)定義x x0xx08 lim x sin 1x x答案： 111sinlimx1提示： lim xsin1xx01xx9若 lim sin 4 x

4、2，則 kx0 sin kx答案： 2sin 4x提示：因?yàn)閟in 4xlim (4x4x42 ，所以 k 2limsin kx)kx 0 sin kxx 0kx10若 lim sin 3xkx2 ，則 kx0kx答案： 1.5 / 25提示：因?yàn)?lim sin 3xsin 3x3lim3x3x2 ，所以 k1.5x0kxx0kxk二、單項(xiàng)選擇題（每小題2 分，共24 分）1設(shè)函數(shù) ye xex，則該函數(shù)是（）2A 奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù)D 既奇又偶函數(shù)答案： B提示：奇函數(shù)是指f (x)f ( x) ，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)是指f ( x)f ( x) ，關(guān)于 x 軸對(duì)稱。題中

5、f ( x)e ( x)e xexe xf ( x) ，所以函數(shù)ye xex是偶函數(shù)。2222設(shè)函數(shù) yx2 sin x ，則該函數(shù)是（）A 奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù)D 既奇又偶函數(shù)答案： A提示：因?yàn)?222f()(x)sin(x)x(sinx)xsinxf() ，所以y xsin x是奇函xx數(shù)。3函數(shù) f ( x)x 2 x22x的圖形是關(guān)于（）對(duì)稱A yx B x 軸C y 軸 D 坐標(biāo)原點(diǎn)答案： D提示：因?yàn)?f (x)x 2x2 ( x)x 2x2 xf ( x) ，是奇函數(shù)，所以f ( x)x 2x2 x的222圖形是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱4下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（無(wú)）A x si

6、n xB ln xC ln( x1x 2 )D x x 2提示： A . f ( x)x sin( x)x( sin x)x sin x ,即 x sin x 是偶函數(shù)；B . ln x 的圖形只在一、四象限，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)；C ln( x1x 2 ) 的圖形只在一、四象限，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)；D f (x)x( x)2xx 2 ，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)。 / 25所以本題沒有一個(gè)待選答案是奇函數(shù)5函數(shù) y1ln( x5) 的定義域?yàn)椋ǎ﹛4A x5 B x4 C x5 且 x 0D x5 且 x4答案： D提示：對(duì)于1，要求分母不能為0 ，即 x4 ；對(duì)于 ln( x5)，要求

7、x50 ，即 x5 。x41ln( x5) 的定義域?yàn)?x5 且 x4所以函數(shù) y4x6函數(shù) f ( x)1的定義域是（）ln( x1)A (1,)B (0,1) (1,)C (0,2)(2,)D (1,2)(2,)答案： D提示：對(duì)于1，要求分母不能為0，即 x2 ；對(duì)于 ln( x1) ，要求 x10 ，即 x1。所ln( x1)以函數(shù) f ( x)1的定義域是 (1,2)(2,)ln( x1)設(shè)f (x 1)x21，則 f (x) （）7A x( x1)B x2C x( x 2)D ( x 2)(x 1)答案： C提示：注意 x 比 ( x1) 少 1，所以f( )(x1) 21 (x2

8、2x1) 1(x2)xx8下列各函數(shù)對(duì)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等A f (x) (x ) 2 ， g ( x)xB f ( x)x 2 ， g( x)xC f (x)ln x2 ，g ( x) 2 ln xD f ( x)ln x3 ， g (x) 3 ln x答案： D提示：兩個(gè)函數(shù)相等，必須是對(duì)應(yīng)的規(guī)則相同，定義域相同。上述答案中， A 定義域不同； B 對(duì)應(yīng)的規(guī)則不同； C 定義域不同； D 對(duì)應(yīng)的規(guī)則相同，定義域相同9當(dāng) x0 時(shí)，下列變量中為無(wú)窮小量的是（）.1sin xxA B C ln(1 x) Dxxx 2答案： C / 25提示：以 0 為極限的變量稱為無(wú)窮小量。上述答案中，當(dāng)

9、為 0；D 趨向。x0 時(shí)， A 趨向； B 的極限為 1；C 的極限10當(dāng) k（）時(shí)，函數(shù)f (x)x21,x0，在 x 0處連續(xù) .k,x0A0 B1C2 D1答案： B提示：當(dāng) lim f (x)f ( x0 ) 時(shí)，稱函數(shù)f ( x) 在 x0連續(xù)。因?yàn)?lim f (x)lim (x 21) 1xx0x0x0f (0)k ，所以當(dāng) k1 時(shí)，函數(shù) f (x)x21,x00處連續(xù)k,x，在 x011當(dāng) k（）時(shí)，函數(shù)f (x)ex2,x0在 x0處連續(xù) .k ,x0A 0 B1C2 D3答案： D提示：當(dāng) limf ( x)f ( x0 ) 時(shí)，稱函數(shù)f ( x) 在 x0連續(xù)。因?yàn)?

10、limf ( x) lim (ex2) 3xx0x 0x0f (0)k ，所以當(dāng) k3 時(shí)，函數(shù) f (x)exk,2,x0，在 x0處連續(xù)x012函數(shù) f ( x)x3x2的間斷點(diǎn)是（）3x 2A x1, x2B x3C x1, x2, x3D 無(wú)間斷點(diǎn)答案： A提示：若f (x) 在 x0 有下列三種情況之一，則f (x) 在 x0 間斷：在x0 無(wú)定義；在x0 極限不存在 ； 在 x0處有定義，且lim f (x)存在，但limf ( x)f ( x0 )。題中，分母xx0x x0x 23x 2 ( x 1)( x2) ，所以在 x01 和 x02 處無(wú)定義三、解答題（每小題7 分，共

11、56 分）計(jì)算極限 limx2 2x2 x2x4解 limx2x22)x1x 1= lim34= lim ( x 1)(x= lim= limx 2x2x 2 ( x 2)( x 2)x 2 x 2x 2 x2x 2 4 / 252計(jì)算極限 lim x225x 6x 1x1x 25x 6( x 6)( x 1)limx 6 7解 limx 21lim1)( x 1)x 1x 1 (xx 1 x 1 23 limx 29x22x3x 3解 limx29lim (x3)( x3)lim x362x 3 x22x 3x 3 ( x 1)(x 3)x 3 x 1 4 34計(jì)算極限 limx 26x8x

12、 25x4x4解 lim x26x8lim (x4)( x2)lim x22x 4 x 25x 4x 4 (x 4)( x 1)x 4 x 1 35計(jì)算極限 lim x 26x8 x2 x 25x6x 26 x 8(x 4)( x 2)x 42解 lim25x 6limlimx 2 xx 2 (x 3)( x 2)x 2 x36計(jì)算極限 lim1x1 x0x解 lim1x1lim (1x1)(1x1)limxlim11x 0xx 0x( 1 x 1)x 0 x( 1 x 1)x 01 x 127計(jì)算極限 lim1x1sin 4xx0解 lim1 x 1lim( 1 x 1)( 1 x 1)li

13、mxsin 4x( 1x1) sin 4xx1) sin 4xx 0x 0x0 ( 14x1 )1111 11lim1x4lim (1)x 0 (1) sin 4xx04(1xsin 4x4284x8計(jì)算極限 limsin 4xx0x42解 limsin 4xlimsin 4x( x42)x42x42)(x42)x0x0 (/25limsin 4 x( x 4 2)lim 4sin 4x( x 4 2) 4 1 4 16x 0xx 04x作業(yè)（二）導(dǎo)數(shù)、微分及應(yīng)用一、填空題（每小題2 分，共20 分）1曲線 f ( x)x1在 (1,2) 點(diǎn)的斜率是1答案：2提 示 ： 若 已 知 曲 線 方

14、 程 yf ( x) ， 則 它 在 任 一 點(diǎn) x 處 的 斜 率 為 kf ( x) 。 題 中f( x) ( x 1)1，將 x1代入上式，得f( x)12 x22曲線 f ( x)ex 在 (0,1) 點(diǎn)的切線方程是答案： yx1提示：若已知曲線方程yf ( x) ，則它在任一點(diǎn)x 處的斜率為 kf ( x) 。若給定曲線上的一點(diǎn)(x0 , y0 ) ，則通過(guò)該點(diǎn)的切線方程為yy0k 。題中 f (x)(ex )ex ，將 x0 代入上式，得xx0kf ( x) e01，所以通過(guò)點(diǎn)(0,1)切線方程為y11，即 yx 1x13曲線 yx2 在點(diǎn) (1, 1)處的切線方程是答案： 2 y

15、x3提示：若已知曲線方程yf ( x) ，則它在任一點(diǎn)x 處的斜率為 kf ( x) 。若給定曲線上的一點(diǎn)yy011 x(x0 , y0 ) ，則通過(guò)該點(diǎn)的切線方程為k 。題中 f (x) ( x2 )xx02k f ( x)1 ，所以通過(guò)點(diǎn)(0,1)切線方程為y11 ，即 2 yx32x124 (2 x )32 ，將 x1代入上式，得2 x ln 2答案：2x / 25提示：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算。(2x )2 xln 2(x)2x ln 212xln 22x2x5若 y = x (x 1)( x 2)( x 3)，則 y(0) =答案：6提示：根據(jù)有限多個(gè)函數(shù)的乘積的求導(dǎo)法則（見P45）

16、，yx ( x1)( x2)(x3)x( x 1) ( x2)( x3)x(x1)( x2) (x3)+ x( x1)( x2)( x3)y( x1)( x2)( x3)x( x2)( x3)x( x1)( x3)x( x1)( x2)y (0)( 1)(2)(3)66已知 f ( x)x33x，則 f(3)=答案： 27(1ln 3)提示： f( x)( x 3 )(3x ) 3x23 x ln 3f (3) 33233 ln 327(1ln 3)7已知 f ( x)ln x ，則 f( x) =答案：1x21( 1 )1提示： f( x)(ln x)， f( x)xxx 28若 f ( x

17、)xe x ，則 f(0)答案：29函數(shù) y3(x1) 2 的單調(diào)增加區(qū)間是答案： (1,)10函數(shù) f ( x)ax21在區(qū)間 (0,) 內(nèi)單調(diào)增加，則a 應(yīng)滿足答案：提示； 當(dāng) f(x)0時(shí)，函數(shù)f (x) 單調(diào)增加。題中，f(x)(ax21)20 ，所以 函數(shù)axf (x) ax21在區(qū)間 (0,) 內(nèi)單調(diào)增加， a 應(yīng)滿足 a0 。二、單項(xiàng)選擇題（每小題2 分，共24 分）1函數(shù) y(x1) 2在區(qū)間 ( 2,2)是（） / 25A 單調(diào)增加B 單調(diào)減少C先增后減D先減后增答案： D提示：當(dāng) f (x)0 時(shí)，函數(shù)f ( x) 單調(diào)增加當(dāng)f (x)0 時(shí)，函數(shù)f ( x) 單調(diào)減少。題

18、中，y2( x1) ，令 y0 ，得駐點(diǎn)x1 。當(dāng)2x1 時(shí)， y0 ，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)1x2時(shí)， y0 ，函數(shù)單調(diào)增加。所以函數(shù)y(x1) 2 在區(qū)間 ( 2,2) 是先減后增。2滿足方程f ( x)0 的點(diǎn)一定是函數(shù)yf ( x) 的（） .A 極值點(diǎn)B最值點(diǎn)C駐點(diǎn)D間斷點(diǎn)答案： C提示：使f ( x)0 的點(diǎn)，成為函數(shù)f ( x) 的駐點(diǎn)（ P69 定理 3.2）3若 f (x)e x cosx ，則 f (0) =（）A . 2B.1C.- 1D. 2答案： C提示：fxexxexxexxexx( )() cos(cos)cossinf (0)e0 cos0e0 sin 0111014

19、設(shè) ylg2 x ，則 d y（）A 1dx B1dx Cln101dx2xxdx D x ln10x答案： B提示： y1(2x)1212x ln 102xln 10x ln 105設(shè) yf ( x) 是可微函數(shù)，則df (cos 2x)（）A 2 f(cos 2x)dx B f(cos 2x) sin 2xd2 xC 2 f(cos 2x) sin 2xdxDf (cos 2x) sin 2 xd2 x答案： d提示： f (cos 2x)f ' (cos 2 x)(cos 2x)f ' (cos 2x)(sin 2x)(2x)f (cos 2x)(sin 2x)2df (

20、cos 2x)f ' (cos 2 x)(sin 2x) 2dxf ' (cos 2x)(in 2x)d 2x / 256曲線 ye2x1在 x2 處切線的斜率是（）A e4B e2C 2e4D 2答案： C提示：若已知曲線方程yf (x) ，則它在任一點(diǎn)x 處的斜率為 kf (x) 。 f ( x)(e2 x )e2 x (2x)2e2x，將 x2 代入上式得f(2)2e222e47若 f ( x)x cos x ，則 f( x)（）A cos xx sin x B cos xx sin xC 2 sin x x cos x D 2sin xx cos x答案： C提示： f

21、 ( x)( x cos x)x cos xx(cos x)cos xx sin xf ( x)(cos x)( xsin x)sin x( x sin x)x(sin x)sin x sin xx cos2 sin xx cos x8若 f (x)sin xa3 ，其中 a 是常數(shù)，則 f( x)（）Acosx3a2sin x6aCsin xDcosxB答案： C提示： f ( x)(sin x)(a3 )cosx ， f(x)(cos x)sin x9下列結(jié)論中（）不正確A f ( x) 在 xx0 處連續(xù)，則一定在x0 處可微 .B f ( x) 在 xx0 處不連續(xù)，則一定在x0 處不

22、可導(dǎo) .C 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上.D 若 f ( x) 在 a， b內(nèi)恒有 f( x)0，則在 a， b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的 .答案： C提示：極大值可能出現(xiàn)在：駐點(diǎn)（駐點(diǎn)是f ( x)0 的點(diǎn)）；f ( x) 連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。10若函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，則 ()是錯(cuò)誤的A 函數(shù) f ( x)在點(diǎn) x0 處有定義B limf ( x)A，但 Af ( x0 )xx0C 函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0 處連續(xù)D函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0 處可微答案： B /25提示：若函數(shù)f ( x) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo)，則它在點(diǎn)x0 一定連續(xù)（P83 定理2.5 ）。 lim f (x)A ，但x x0A f ( x0 ) 即 f ( x) 在點(diǎn) x0 不連續(xù)。11下列函數(shù)在指定區(qū)間 (, ) 上單調(diào)減少的是（）A sinxB e xC x 2D3 x答案： B提示： D 是周期函數(shù)； B 是單調(diào)增函數(shù)； C 是偶函數(shù)，先減后增；D 是單調(diào)減函數(shù)12. 下列結(jié)論正確的有（）A x0 是 f (x)的極值點(diǎn)，且f ( x0)存在，則必有 f (x0) = 0B x0 是