畫法幾何 (27)平面、直線與立體相交

1、P平面與立體表面的交平面與立體表面的交線稱為線稱為截交線截交線，該平，該平面稱為面稱為截平面截平面。截平面截平面截交線截交線基本立體被平面切割后基本立體被平面切割后形成的立體叫形成的立體叫截切體截切體，截交線所圍成的截面圖截交線所圍成的截面圖形叫形叫截斷面（斷面）截斷面（斷面）。截切體截切體截斷面截斷面 截交線在立體的表面上截交線在立體的表面上 表面性表面性。 截交線是截平面和立體表面的共有線截交線是截平面和立體表面的共有線 共有性共有性。 截交線是封閉的平面多邊形截交線是封閉的平面多邊形 封閉性封閉性。P截交線截交線截平面截平面 平面體的表面都是平面，截平面體的表面都是平面，截平面與它們的交

2、線都是直線，所平面與它們的交線都是直線，所以截交線是封閉的平面多邊形。以截交線是封閉的平面多邊形。多邊形的各頂點是截平面與被截多邊形的各頂點是截平面與被截棱線或底邊的交點。因此，求作棱線或底邊的交點。因此，求作截交線的問題可歸結(jié)為求截交線的問題可歸結(jié)為求線面交線面交點點或或面面交線面面交線的問題。的問題。SFEDCBA5.5.整理修飾整理修飾 丟棄被截掉的棱線，補(bǔ)全、接上原圖中丟棄被截掉的棱線，補(bǔ)全、接上原圖中 未定的圖線，分清可見性，加深描黑。未定的圖線，分清可見性，加深描黑。4.4.求截交線的頂點、邊線求截交線的頂點、邊線 本質(zhì)問題是求交點和交線；本質(zhì)問題是求交點和交線；3.3.分析截斷面

3、的投影特性分析截斷面的投影特性 積聚性、真實性、相仿性；積聚性、真實性、相仿性；2.2.分析截交線的形狀分析截交線的形狀 判明截交線是幾邊形；判明截交線是幾邊形；1.1.幾何抽象幾何抽象 畫出切割前的原始形狀的投影；畫出切割前的原始形狀的投影；例題例題 作出所示形體的水平投影。作出所示形體的水平投影。分析：分析：梯形棱柱上有兩條棱和兩條底面邊線被截平面P 截斷，有四個交點，截交線圍成一個四邊形。作圖：作圖：先畫出形體被切割前完整的水平投影，再求出各棱線、底邊被截斷的端點，連成截交線的水平投影。1 1、平面與棱柱相交、平面與棱柱相交2 21 3 131 2 3 (4 )44 PV例例 求截交線求

4、截交線例題例題 求截交線求截交線2 a2a b c bs s a (c )b 1 3 c131 2 3 sPVPABCS2 2、平面與棱錐相交、平面與棱錐相交ABCa2a b c bs s a (c )b 1 c131 2 3 sPVPS3 2 例題例題 求截交線求截交線nmMNb (c )b s abcs a sc 1 2 m (n )212 1 m n a 例例 補(bǔ)全帶切口立體的投影補(bǔ)全帶切口立體的投影例：求三棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。例：求三棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。62 (5)13 4 1234561234(5) 6直線與立體相交直線與立體相交：是直線從立體一側(cè)表面貫入，又從另

5、一側(cè)表面穿出，：是直線從立體一側(cè)表面貫入，又從另一側(cè)表面穿出，故其交點一般總是成雙存在的，稱為故其交點一般總是成雙存在的，稱為貫穿點貫穿點。實質(zhì)實質(zhì)：求貫穿點實質(zhì)上就是求直線與平面或直線與曲面的交點。：求貫穿點實質(zhì)上就是求直線與平面或直線與曲面的交點。交點的求法：交點的求法：（1 1）對于投影有積聚性的表面，可直接利用積聚性求出；）對于投影有積聚性的表面，可直接利用積聚性求出；（2 2）對于投影沒有積聚性的表面，經(jīng)以下三個步驟求得：）對于投影沒有積聚性的表面，經(jīng)以下三個步驟求得： a. a. 過已知直線作輔助平面過已知直線作輔助平面P P； b. b. 求出平面求出平面P P與立體表面的交線與

6、立體表面的交線MNMN； c. c. 求出交線求出交線MNMN與已知直線的交點與已知直線的交點E E、F F，即為貫穿點，即為貫穿點輔助平面的選擇：輔助平面的選擇： 應(yīng)盡可能使所作輔助面與立體表面的交線的投影簡而易畫的直線應(yīng)盡可能使所作輔助面與立體表面的交線的投影簡而易畫的直線或圓?；驁A。三、直線與平面立體相交三、直線與平面立體相交（1 1）對于投影有積聚性的表面，可直接利用積聚性求出貫穿點）對于投影有積聚性的表面，可直接利用積聚性求出貫穿點defba1(2)XOab21例：求直線例：求直線ABAB與三棱柱的貫穿點。與三棱柱的貫穿點。（2 2）對于投影沒有積聚性的表面）對于投影沒有積聚性的表面

7、defbaabssefdh213gh123PV例：求直線AB與三棱錐的貫穿點。g（二）平面與圓錐相交（二）平面與圓錐相交（一）平面與圓柱相交（一）平面與圓柱相交（三）平面與圓球相交（三）平面與圓球相交（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交（三）平面與圓球相交（三）平面與圓球相交（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交（一）平面與圓柱相交（一）平面與圓柱相交 截平面平行于軸線，截平面平行于軸線，交線為交線為 矩形矩形截平面傾斜于軸線，截平面傾斜于軸線，交線為交線為 橢圓橢圓截平面垂直于軸線，截平面垂直于軸線，交線為交線為 圓圓依據(jù)截平面與圓柱的相對幾何關(guān)系，平面與圓柱面

8、的交依據(jù)截平面與圓柱的相對幾何關(guān)系，平面與圓柱面的交線有線有3 3種情形：種情形：1、截平面平行于圓柱的軸截平面平行于圓柱的軸 與柱面的交線是一對平行線與柱面的交線是一對平行線2 2、截平面垂直于圓柱的軸、截平面垂直于圓柱的軸 與柱面的交線是一緯圓與柱面的交線是一緯圓 3 3、截平面傾斜于圓柱的軸、截平面傾斜于圓柱的軸 與柱面的交線是一橢圓與柱面的交線是一橢圓3 3、截平面傾斜于圓柱的軸、截平面傾斜于圓柱的軸 與柱面的交線是一橢圓，與底面的交線為直線。與柱面的交線是一橢圓，與底面的交線為直線。直線曲面體截交線的一般作圖步驟曲面體截交線的一般作圖步驟u 分析立體的形狀及表面性質(zhì)分析立體的形狀及表

9、面性質(zhì)u 定性判別截交線的形狀定性判別截交線的形狀u 求特殊點求特殊點 輪廓線上的點輪廓線上的點 曲線的特征點曲線的特征點 極限位置點極限位置點u 求一般點求一般點u 判別可見性判別可見性，連線連線u 整理輪廓線整理輪廓線圓柱被正垂面切割，求圓柱截斷后的三面投影圖及圓柱被正垂面切割，求圓柱截斷后的三面投影圖及截斷面的實形。截斷面的實形。解：解：截交線是橢圓，求特殊點和一般點，連成橢圓。用旋轉(zhuǎn)截交線是橢圓，求特殊點和一般點，連成橢圓。用旋轉(zhuǎn)法或輔助投影可得到實形。法或輔助投影可得到實形。PVPV123”6”7 (8)1”5 (6)2”3(4)64”5”58”7”124387解題步驟解題步驟1 1

10、 分析分析 截交線的水截交線的水平投影為圓，側(cè)面投平投影為圓，側(cè)面投影為影為橢圓橢圓；2 2 求出截交線上的特求出截交線上的特殊點殊點、 ；3 3 求出若干個一般點求出若干個一般點、 、；4 4 光滑且順次地連接光滑且順次地連接各點，作出截交線，各點，作出截交線，并且判別可見性；并且判別可見性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。1PV23”6”7 (8)1”5 (6)2”3(4)64”5”58”7”1243877 (8)3 (4)5 (6)226587435 4 3 2 例例 補(bǔ)全帶切口圓柱體的水平及側(cè)面投影補(bǔ)全帶切口圓柱體的水平及側(cè)面投影21 131 2 (3 )44 (5 )5456 (7

11、)7 6 67求圓柱截交線求圓柱截交線解題步驟解題步驟1 1分析分析 截交線為矩形截交線為矩形、橢圓及圓和直線的組、橢圓及圓和直線的組合；截交線的水平投影合；截交線的水平投影為已知，側(cè)面投影為矩為已知，側(cè)面投影為矩形、橢圓和直線的組合形、橢圓和直線的組合2 2求出截交線上的特殊求出截交線上的特殊點點、 ；3 3求一般點求一般點；4 4 順次地連接各點，順次地連接各點，作出截交線，并且判別作出截交線，并且判別可見性；可見性；5 5整理輪廓線。整理輪廓線。3311 (2)2445532514（二）平面與圓錐相交（二）平面與圓錐相交 =90=90 9090= 0= 0過錐頂過錐頂兩相交直線兩相交直線

12、圓圓橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線雙曲線根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截平面與圓錐面的交線有五種形狀。根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截平面與圓錐面的交線有五種形狀。（1） 截平面通過錐頂并與錐面相交時，交線為相交的兩素線；（2） 截平面垂直于軸線但不通過錐頂時，交線為圓；（3） 截平面傾斜于軸線并與所有的素線都相交時，交線為橢圓；（4） 截平面傾斜于軸線并與一條素線平行時，交線為拋物線；（5） 截平面與兩條素線平行時，交線為雙曲線；2 1 3 131 2 3 (4 )44 PV56m (n )m n 5 (6 )5 6 2mn例例 求帶切口圓錐的投影。求帶切口圓錐的投影。解題步驟解題步

13、驟1 1 分析分析 截交線的水截交線的水平投影和側(cè)面投影均平投影和側(cè)面投影均為橢圓；為橢圓；2 2 求出截交線上的特求出截交線上的特殊點；殊點；3 3 求出一般點；求出一般點；4 4 光滑且順次地連接各光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且點，作出截交線，并且判別可見性；判別可見性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。PV例例 求帶切口圓錐的投影。求帶切口圓錐的投影。2 5 3 135 3 (4 )44 21 (2 )1 52 5 3 135 3 (4 )44 21 (2 )1 5例例 求帶切口圓錐的投影。求帶切口圓錐的投影。 分析并想象出圓錐穿孔后的投影（三）平面與圓球相交（三）平面與圓球相交

14、平面與球面相交，交線總是圓，但圓的投影根據(jù)截平面平面與球面相交，交線總是圓，但圓的投影根據(jù)截平面對投影面的傾斜關(guān)系可能是直線、圓或者橢圓。對投影面的傾斜關(guān)系可能是直線、圓或者橢圓。2 1 131 2 3 (4 )44 56m (n )m n 5 (6 )5 6 2mn3 求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。3 3 (4 )2 1 1344 21 (2 )（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交1 1、平面與單一回轉(zhuǎn)體相交、平面與單一回轉(zhuǎn)體相交2 2、平面與組合回轉(zhuǎn)體相交、平面與組合回轉(zhuǎn)體相交1 1、平面與單一回轉(zhuǎn)體相交、平面與單一回轉(zhuǎn)體相交求作平面與

15、單一回轉(zhuǎn)體的截交線：求作平面與單一回轉(zhuǎn)體的截交線： 當(dāng)截平面為特殊位置時，與求作圓柱、當(dāng)截平面為特殊位置時，與求作圓柱、圓錐、球的截交線一樣，可用在立體表面圓錐、球的截交線一樣，可用在立體表面上作點和線的方法；上作點和線的方法； 當(dāng)截平面為特殊位置時，則可通過一當(dāng)截平面為特殊位置時，則可通過一次換面將一般位置的截平面變換成投影面次換面將一般位置的截平面變換成投影面垂直面后作圖。垂直面后作圖。如圖，求作正垂面如圖，求作正垂面P P與具有內(nèi)環(huán)面的回轉(zhuǎn)體的截與具有內(nèi)環(huán)面的回轉(zhuǎn)體的截交線，作出截斷體的水平投影，并求斷面實形交線，作出截斷體的水平投影，并求斷面實形PVPV1 (2)34 (5)6(7)8(9)10(11)32145768910116171314151819110111111212 2、平面與組合回轉(zhuǎn)體相交、平面與組合回轉(zhuǎn)體相交 組合回轉(zhuǎn)體通常由多個基本回轉(zhuǎn)體組合形成，組合回轉(zhuǎn)體通常由多個基本回轉(zhuǎn)體組合形成，求解這類形體截交線時，應(yīng)首先分析組合回轉(zhuǎn)體是求解這類形體截交線時，應(yīng)首先分析組合回轉(zhuǎn)體是由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成，以及它們的連接關(guān)系，然由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成，以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接