倒立擺控制系統(tǒng)的Simulink仿真

1、倒立擺控制系統(tǒng)的simulink仿真本文針對一個(gè)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了系統(tǒng)的建模、求解、控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)， 并且使用 simulink對控制算法進(jìn)行了仿真。一、模型的描述倒立擺系統(tǒng)如圖（ 1） ，設(shè)有一個(gè)倒立擺裝在只能沿x軸方向移動的小車上，圖中1m 為小車的質(zhì)量，2m 為擺球的質(zhì)量， g為重力加速度，l為擺長，j為擺的轉(zhuǎn)動慣量。當(dāng)小車受到外力( )f t 的作用時(shí)，小車產(chǎn)生位移( )x t ，且擺產(chǎn)生角位移( ) t 。二、模型的建立下面針對該倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行建模求解。當(dāng)小車1m 在外力作用下產(chǎn)生位移( )x t 時(shí)，擺球受力情況如圖（ 2）所示。圖中2m g 為擺球2m 所受重力，222( )d x

2、 tmdt為x方向的慣性力，2sin ( )m gt 為垂直于擺桿方向的重力分量。在x方向上，小車的慣性力矩為212( )d x tmdt，擺球產(chǎn)生的位移量為( )sin ( )x tlt ；在垂直于擺桿的方向上，擺球的轉(zhuǎn)動慣性力為22( )dtjdt；222( )d x tmdt的分力為222( )cos ( )d x tmtdt。圖（1）裝有倒立擺的小車圖（2）倒立擺受力圖根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，按照力的平衡原理，可以分別列出該系統(tǒng)在x方向上和垂直于擺桿方向上的的運(yùn)動方程222122222( )( ) sin( )( )d x td x tdltmmmf tdtdtdt（1）222222( )(

3、 )cos ( )sin( )dtd x tjm ltm lgtdtdt（2）三、模型的求解3.1 微分方程組的求解聯(lián)立式（ 1） 、 （2） ，經(jīng)過方程組的恒等變形得22 222 22122222( )( )2()cos( )sin2 ( )2sin ( )()2( )d x tdtmmjm ltm l gtjm ltdtdtjf t（3）22 22222212221222( )( )cos( )() sin( )cos ( )()()sin ( )( )dtdtm ltmm jm lttdtdtmm m lgtm lf t（4）由式（3） 、 （4）令121343( )( ),( ),(

4、)( ),( )( )x ttxxtx tx txtxt，可建立如下的微分方程組進(jìn)行求解122 222221222 222122342 224222 22122( )( )1( )( )(sin ( )cos ( )()()sin ( )cos( )()( )( )( )1( )( )(sin2 ( )2sin ( )()2( )2()cos( )x tx tdtxtx m lttmm m lgtm ltmm jdtm lf tx tx tdtxtm l gtjm ltjf tmm jm ltdt3.2 控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)在該模型中， 對該倒立擺系統(tǒng)實(shí)施角度環(huán)、 速度換的控制， 并假設(shè)小車在

5、運(yùn)行過程中受到空氣阻力，阻力大小與小車的速度成正比。通過調(diào)整( )f t 的大小，達(dá)到在維持倒立擺保持平衡的條件下，使小車維持在給定的目標(biāo)速度下。即控制目標(biāo)有1( )0( )tx tsetspeed下面就角度環(huán)和速度環(huán)分別介紹控制過程。（1）角度環(huán)為了使倒立擺能夠保持平衡， 首先就需要對擺的角位移進(jìn)行控制。由于控制目標(biāo)是角位移為零， 自然需要引入角度反饋。 首先考慮引入 p控制。當(dāng)有角度的偏差（假設(shè)偏差為正），p控制將會產(chǎn)生一個(gè)向前的推力，使角度回復(fù)為零。 但是為了避免角度的來回震蕩， 需要引入一個(gè)阻尼項(xiàng)， 即微分控制。只要角度有變化，微分控制便產(chǎn)生作用以阻礙角度的變化。綜上，角度環(huán)采用 pd

6、控制，采取的( )f t為( )( )( )aaf tptdt（5）在 simulink 模型中通過調(diào)整 pa、da參數(shù)來調(diào)節(jié)角度的控制。（2）速度環(huán)倒立擺系統(tǒng)的速度控制是一個(gè)難點(diǎn)。其與通常的負(fù)反饋不同。 因?yàn)橄到y(tǒng)首要的任務(wù)是要保持平衡， 因此系統(tǒng)的回復(fù)力應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位。而倒立擺系統(tǒng)要想獲得速度，首先得有加速度，即必須得打破自身的平衡。換句話說，倒立擺系統(tǒng)是以犧牲部分的平衡為代價(jià)來換取速度的穩(wěn)定。因此，倒立擺系統(tǒng)速度控制的大致思路是：若小車想獲得向前的速度， 首先小車得受到一個(gè)向后的力。當(dāng)角度平衡被打破后，占據(jù)主導(dǎo)地位的回復(fù)力將會使小車向前加速，以使角位移恢復(fù)為零。當(dāng)小車再次平衡后，已經(jīng)具有了

7、向前的速度。通過這樣不斷地干擾系統(tǒng)的平衡，小車最終將會達(dá)到并穩(wěn)定地保持在設(shè)定速度附近。若小車想獲得向后的速度， 反之即可。通過上面的分析可以得出結(jié)論，速度控制對于角度控制來說是一個(gè)弱干擾，并且是反向的。 為了更加逼近真實(shí)的系統(tǒng)， 假設(shè)小車在前進(jìn)的過程中會受到空氣阻力，其大小與速度成正比，即1( )ffk x t 。由于模型中引入了空氣阻力，會使速度控制產(chǎn)生靜差，為了消除靜差，速度環(huán)加入積分控制。綜上，速度環(huán)的控制策略為 pi 控制，采取的( )f t 為0( )( )( )tspspf tpsetspeedx tisetspeedx t（6）在 simulink 模型中通過調(diào)整 psp、isp

8、 參數(shù)來調(diào)節(jié)速度的控制。綜合（ 5） 、 （6）式，并考慮空氣阻力，可得0( )( )( )( )( )( )taaspspff tptdtpsetspeedx tisetspeedx tk x t（7）將（7）式帶入上述微分方程組，便可以用simulink進(jìn)行求解。3.3 simulink 模型的搭建建立 simulink 模型如圖（ 3）所示：圖（3）在建模過程中，使該模型文件（daolibai.slx）與matlab的 m 文件（initparam.m ）建立連接，在該文件中完成倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)初始化，該文件內(nèi)容如下：% 本文件完成倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)初始化m1 = 3; %小車的質(zhì)量（ k

9、g）m2 = 10; %擺球的質(zhì)量（ kg）l = 0.05; %擺長（ m ）j = 3; %擺的轉(zhuǎn)動慣量（ kg*m2）setspeed = 100; %小車的設(shè)定速度（ m/s）theta0 = 30; %擺的初始角度（度）st = 50; %速度換的起始時(shí)間（ s）et = 400; %仿真的結(jié)束時(shí)間（ s）3.4 控制系統(tǒng)的參數(shù)分析以下是求解得到的一些曲線（圖中紅色為( )x t ，黃色為( )*200t，藍(lán)色為( )*400t） ：pa = 150 ，da = 15，psp = 0.2 ，isp = 0.002，kf = 0.1（基準(zhǔn)參數(shù)）pa = 150 ，da = 15，psp

10、 = 0.2 ，isp = 0.01，kf = 0.1 pa = 200 ，da = 15，psp = 0.2 ，isp = 0.002，kf = 0.1 pa = 150 ，da = 25，psp = 0.2 ，isp = 0.002，kf = 0.1 pa = 150 ，da = 15，psp = 0.15 ，isp = 0.002，kf = 0.1 從以上參數(shù)的對比中可以發(fā)現(xiàn)，pa 增大可以減小角度的波動范圍，但會使小車速度的波動變大； da增大可以抑制角度的變化； psp減小會導(dǎo)致速度波動變大， 但角度的波動會減小； isp 增大會使速度出現(xiàn)震蕩， 也會使角度的波動變大。綜上，pa， psp， isp 過大都會使系統(tǒng)不穩(wěn)定， 三者都會使一項(xiàng)性能 （角度或速度）得到改善，而使另一項(xiàng)性能（速度或角度）變差，因此在實(shí)際應(yīng)用中只能根據(jù)需要采取折中的策略。四 simulink 各模塊的代碼fcn2: m22 * l2 * sin(u(2) * cos(u(2) * (u(3)2) - (m1 + m2) * m2 * 10 * l * sin(u(2) fcn4: 2 * j * m2 * l * sin(u(2) * u(2)2 - m22 * l2 * 10 *