附錄I平面圖形的幾何性質(zhì)

1、1I.1 靜矩和形心靜矩和形心I.2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑I.3 慣性積慣性積I.4 平行移軸公式平行移軸公式附錄附錄I 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)附附 錄錄 I II.5 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸主慣性軸234I.I.1 1 靜矩和形心靜矩和形心一、簡(jiǎn)單圖形的靜矩（面積矩）一、簡(jiǎn)單圖形的靜矩（面積矩）(與力矩類與力矩類似似)1、定義：dA對(duì)y軸的微靜矩:AyAzzdASydASzydAzyo2、量綱：長(zhǎng)度3；單位：m3、cm3、mm3。dA對(duì)z軸的微靜矩:ydAdSzzdAdSy3、靜矩的值可以是正值、負(fù)值、或零。是面積與它到軸的距離之積是面積與它到軸的距離之積。圖形

2、對(duì)z , y 軸的靜矩為：平面圖形面積對(duì)某一軸的一次矩平面圖形面積對(duì)某一軸的一次矩5zydAzyo4、靜矩和形心的關(guān)系 可知AdAzzAdAyyACAC,CAyAzzdASCAzAyydAS靜矩和形心的關(guān)系靜矩和形心的關(guān)系由平面圖形的形心公式由平面圖形的形心公式結(jié)論：結(jié)論： 圖形對(duì)過形心的軸的靜矩為零。圖形對(duì)過形心的軸的靜矩為零。 若圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。若圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。6二、簡(jiǎn)單圖形的形心二、簡(jiǎn)單圖形的形心1、形心坐標(biāo)公式：AydAASyAzcAzdAASzAyc2、形心確定的規(guī)律：（1）圖形有對(duì)稱軸時(shí)，形心必在此對(duì)稱軸上。形心必在此對(duì)

3、稱軸上。（2）圖形有兩個(gè)對(duì)稱軸時(shí)，形心必在此兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)處。7三、組合圖形的靜矩和形心三、組合圖形的靜矩和形心 8zASiniiy 1 niiizyAS1),(yzii niiniiiAzAz11 niiniiiAyAy119例例I.1I.1：計(jì)算由拋物線、：計(jì)算由拋物線、y y軸和軸和z z軸所圍成的平面圖形對(duì)軸所圍成的平面圖形對(duì)y y軸和軸和z z軸軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標(biāo)。的靜矩，并確定圖形的形心坐標(biāo)。zhyb122Oyz解：解：SzAyA2dSy AzAd12102222bhybydyhybyb0221d4152bhb h2410OyzydybhAAAd0221bhybyd23

4、bh形心坐標(biāo)為:52321548332422hbhbhASzbbhbhASyyCzC111)、建立坐標(biāo)如圖示，分割圖形、建立坐標(biāo)如圖示，分割圖形AAyAyAAyAyniiniii21221111 AAzAzAz212211 101012012Ozy901y1z2z2y12211200mm12010 A5mm1 y60mm1 z22800mm8010 A50mm280102 ymm25 z38mm23mm212211212211 AAzAzAzAAyAyAy101012012Ozy901y1z2z2y2)2)、求形心、求形心13C2C1yz 212211AAAyAyAAyyii221108090

5、120)11080(514zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0求圖形對(duì)y、z 軸的靜矩15一、簡(jiǎn)單圖形的慣性矩一、簡(jiǎn)單圖形的慣性矩1 1、定義、定義：dAdA對(duì)對(duì)z z軸的慣性距軸的慣性距: :dAdA對(duì)對(duì)y y軸的慣性距軸的慣性距: :2 2、量綱：、量綱：m4m4、mm4mm4。zydAyzo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz23 3、慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。、慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。4 4、慣性矩的取值恒為正值。、慣性矩的

6、取值恒為正值。5 5、極慣性矩：、極慣性矩：（對(duì)（對(duì)o o點(diǎn)而言）點(diǎn)而言）AodAI2pI222yz 圖形對(duì)圖形對(duì)z z軸的慣性矩軸的慣性矩: :圖形對(duì)圖形對(duì)y y軸的慣性矩軸的慣性矩: :dAzdIy2I.2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑166 6、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系： 圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系的慣性矩之和恒圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系的慣性矩之和恒等于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。等于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII zydAzzo17bhyzCzdzAzIAyd2 zbAdd12dd32222b

7、hzbzAzIhhAy 123hbIz 7 7、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算18 zyd 32PdI4 PIIIzy zyII 64dIIzy4 19bhzccyc7 7、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算 圓形截面：圓形截面：實(shí)心（直徑D）空心（外徑D，內(nèi)徑d）4641DIIyz)(64144dDIIyz 矩形截面：矩形截面：32222121bhbdyydAyIhhAz32222121hbhdAzdAzIbbAybdyhdz3121bhIz3121hbIyzcycc20二、慣性半徑：二、慣性半徑：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy221I.3 慣性積慣性積22在

8、何種條件下，圖形對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零？在何種條件下，圖形對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零？若坐標(biāo)軸中有一個(gè)為圖形的對(duì)稱軸，若坐標(biāo)軸中有一個(gè)為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)該對(duì)坐標(biāo)軸慣性積一定等于零則圖形對(duì)該對(duì)坐標(biāo)軸慣性積一定等于零23對(duì)稱軸一定是主軸，對(duì)稱軸一定是主軸，主軸不一定是對(duì)稱軸主軸不一定是對(duì)稱軸2425yzOC(a,b)baI.4 平行移軸公式平行移軸公式26yzOC(a,b)bazCyC AaIICyy2 AbIICzz2 abAIICCzyyz 1 兩平行軸中，必須有一軸為形心軸兩平行軸中，必須有一軸為形心軸,截面對(duì)任意兩平行軸的慣性矩間的關(guān)系截面對(duì)任意兩平行軸的慣性矩間的關(guān)系,應(yīng)通過平行的形心軸慣

9、性矩來?yè)Q算應(yīng)通過平行的形心軸慣性矩來?yè)Q算;2 2 圖形對(duì)所有平行軸的慣性矩中圖形對(duì)所有平行軸的慣性矩中, ,以以對(duì)通過形心軸的慣性矩最小對(duì)通過形心軸的慣性矩最小. .27 niyiyII1 nizizII1 niyziyzII1yziziyiIII,28201401002021zCyC140201A801 z201002A0 z27mm.46212211 AAzAzAzCy1z292014010020y21zcyC2z)7 .4680(1402014020121231 CyI)7 .46(2010020100121232 CyI46m1012.12 21CCCyyyIIIAaIICyy2 30

10、Oyzy1z1 31Oyzy1z1 IIIIIIyzzyzyy2sin2cos221 IIIIIIyzzyzyz2sin2cos221 IIIIyzzyzy2cos2sin211 zyzyIIII 1132 IIIIyzzyzy2cos2sin211 3302cos2sin200 yzzyIIIzyzyzIIItg 220 224)(21200yzzyzyzyIIIIIII 00minmax zyIIII 34 iyyII izzII iizyyzII)2(tan2zyyzIII 10 224)(2200yzzyzyzyIIIIIII 1 niiniiiAyAy11 niiniiiAzAz11

11、35101012025C4020yz 20158035AaIICyy2 AbIICzz2 abAIICCzyyz 107010121101201510120121323yI424mm.100)25(70 36mm104 .27844 zI093. 1)2(tan20 IzIyIyz zyII 02 6 .22720 8 .1130 mm103 .971070)35()25(0101202015044 yzI37101012070C4020yzy0 0=113.8z0mm103214)(21244220 yzzyzyyIIIIIImm104 .574)(21244220 yzzyzyzIIIII

12、I38db2dyzOdddddAAzzAAAyyiiii177. 0434200222 CyICzICCzyIyCzCC39422422322685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1)5 . 0(1dddddddddzdAIzAIIIIyyyyyCCC 圓圓圓圓矩矩矩矩圓圓矩矩443513. 064122)5 . 1(ddddIIICCCyyz 圓圓矩矩 0 CCzyIdb2dyzOyCzCCCzyC CCzyII 40二、組合圖形的慣性矩和慣性積二、組合圖形的慣性矩和慣性積zizIIyiyIIziyizyII注意：注意：ZC、YC 為形心坐標(biāo)。為形心

13、坐標(biāo)。 a、b為圖形形心在為圖形形心在yoz坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，可正可負(fù)坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，可正可負(fù)abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22，zyoyczcczcycdAyzab平行移軸公式平行移軸公式 根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：41例 求圖示直徑為求圖示直徑為d d 的半圓對(duì)其自身形心軸的半圓對(duì)其自身形心軸 x xc c 的慣性矩。的慣性矩。解：解：222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc422、求對(duì)形心

14、軸 xc 的慣性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由平行移軸公式得：由平行移軸公式得： xyb(y)ycCdxc3281223dddASyxc43例例 試求圖a 所示截面對(duì)于對(duì)稱軸 x 的慣性矩。解：解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。1、矩形對(duì) x 軸的慣性矩：44331mm1053331220080122adIx2、一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸 xc 軸的慣性矩（見上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3443、一個(gè)半圓對(duì) x 的慣性矩由平行移軸公式得：44222222mm1034673223

15、24832adaddddaIIcxx4、整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸 x 的慣性矩：444421mm101227010346721053332xxxIIIxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d345一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 dA 在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系 ozy 和坐標(biāo)系和坐標(biāo)系oz1y1 的的坐標(biāo)分別為（的的坐標(biāo)分別為（z，y ）和（）和（z1 ， y1 ）sincossincos11zyyyzz代入代入慣性矩慣性矩的定義式：的定義式：AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy11已知已知：A、Iz、Iy、Izy、。 求求：Iz1、Iy1、Iz1y1

16、。I.5 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸主慣性軸46cossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221zyyzAAAzIIIAzyAzAyI 利用二倍角函數(shù)代入上式，得利用二倍角函數(shù)代入上式，得 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII 的符號(hào)為：從的符號(hào)為：從 z 軸至軸至 z1 軸軸 逆時(shí)針逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。為正，順時(shí)針為負(fù)。AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEdAzy1147yzyzIIII11 上式表明，截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任意一對(duì)

17、相互垂直上式表明，截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原的坐標(biāo)軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩點(diǎn)的極慣性矩將前兩式相加得將前兩式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIIIzyOzyzy11ABCDEdAzy11482cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII1112)2cos2sin2(22cos22sin22yzzyyzzyyz

18、zIIIIIIIddI001ddIz令0A-5 A-5 主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩492200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg22001ddIz022cos22sin220000yzzyyzIIII可求得可求得 和和 兩個(gè)角度，從而確定兩根軸兩個(gè)角度，從而確定兩根軸y0,，z0。0900由yzzyIIItg220求出 代入轉(zhuǎn)軸公式可得：002cos,2sin000yzI且502 2、主慣性矩（主矩）：、主慣性矩（主矩）： 圖形對(duì)主軸的慣性矩圖形對(duì)主軸的慣性矩Iz0、Iy0 稱為稱為主慣性矩，主慣性矩，主慣性矩為圖形對(duì)主慣性矩為圖形對(duì)過該點(diǎn)的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。過該點(diǎn)的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。3 3、形心主慣性軸（形心主軸）：、形心主慣性軸（形心主軸）： 如果圖形的兩個(gè)主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。如果圖形的兩個(gè)主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。（Izcyc= 0= 0。 zc、yc 為形心軸。為形心軸。zc、yc 為形心主軸）。為形心主軸）。4 4、形心主慣性矩：、形心主慣性矩：圖形對(duì)形心主軸的慣性矩。（圖形