高等數(shù)學：2-7-2 無窮小的比較

1、2.7.2 無窮小的比較無窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限);(, 0lim)1( o記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比就說就說如果如果一、定義一、定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無設設;),0(li

2、m)2(是同階的無窮小是同階的無窮小與與就說就說如果如果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCCk 例例1 1解解.tan4 ,0:3的的四四階階無無窮窮小小為為時時當當證證明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四階階無無窮窮小小為為時時故故當當xxxx 例例2 2.sintan,0的的階階數(shù)數(shù)關關于于求求時時當當xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx

3、,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 等價無窮小的充要條件等價無窮小的充要條件定理定理 與與 是等價無窮小的充分必要條件是是等價無窮小的充分必要條件是).( o 證證必要性必要性設設, 則則)1lim(lim 1lim ,

4、0 因此因此, ,),( o 即即).( o 充分性充分性設設),( o 則則 )(limlimo )(1lim(ao , 1 因此因此, ,. 二、等價無窮小替換二、等價無窮小替換定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存在存在且且設設證證 lim)lim( limlimlim.lim 例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換

5、. .注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 例例 6求求.cossec

6、)1ln()1ln(lim220 xxxxxxx 解解 先用對數(shù)性質化簡分子，先用對數(shù)性質化簡分子，得得原式原式,cossec)1ln(lim420 xxxxx 因為當因為當0 x時，時，有有,)1ln(4242xxxx xxcossec xxcoscos12 xxcossin2 所以所以原式原式2420limxxxx . 1 .2x例例 7計算計算.)1ln(lim2cos0 xxeexxxx 解解 注意到當注意到當0 x時，時，,)1ln(22xx 1cos xxxe所以所以)1ln(lim2cos0 xxeexxxx )1ln()1(lim2coscos0 xxeexxxxxx 2cos

7、0)cos(limxxxxxexxx 2cos0)cos1(limxxexxx .21 ,cosxxx 例例 8計算計算.121tan1tan1lim0 xxxx解解 由于由于0 x時，時，,121xx ,tanxx故故121tan1tan1lim0 xxxx)tan1tan1(tan2lim0 xxxxx )tan1tan1(2lim0 xxxxx . 1 三、小結三、小結1.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較但并不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換等價無窮小的替換:

8、 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 無窮小的階無窮小的階.思考題思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？任何兩個無窮小量都可以比較嗎？思考題解答思考題解答不能不能例當例當 時時x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當故當 時時x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.一、一、 填空題：填空題：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3

9、、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.練練 習習 題題7 7、當、當0 x時，時，)0(3 aaxa 對于對于x是是_階無窮小階無窮小 . .8 8、當、當0 x時，無窮小時，無窮小xcos1 與與nmx等價，則等價，則 ._,nm 二、求下列各極限：二、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；三、三、 證明：若證明：若 ,是無窮小，則是無窮小，則)(0 . .四、設四、設 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達式的表達式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、