高等數(shù)學：4-3-3曲線的凸性

1、一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC4.3.3 曲線的凸性曲線的凸性定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內的圖形是凹的內的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點兩點內任意內任意如果對如果對內連續(xù)內連續(xù)在在設設baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121內的圖形是凸的內的圖形是凸的

2、在在那末稱那末稱恒有恒有內任意兩點內任意兩點如果對如果對baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹且在且在內連續(xù)內連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內內若在若在二階導數(shù)二階導數(shù)內具有內具有在在上連續(xù)上

3、連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當當0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點點注意到注意到,三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx內存在二階導內存在二階導數(shù)數(shù), ,則點則點 )(,00 xfx是拐點的必要條件是是拐

4、點的必要條件是0)(0 xf. .1.1.定義定義注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2.2.拐點的求法拐點的求法證證,)(二階可導二階可導xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf , )()(0兩邊變號兩邊變號在在則則xxfxf ,)(,(00是是拐拐點點又又xfx,)(0取取得得極極值值在在xxf ,條件條件由可導函數(shù)取得極值的由可導函數(shù)取得極值的. 0)( xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內二階可導的鄰域內二階可導在在設函數(shù)設函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點即為拐點點點變號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()

5、2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點的拐點線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內三階可導的鄰域內三階可導在在設函數(shù)設函數(shù)xfyx

6、fxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐點的拐點內內求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內曲線有拐點為內曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐點的拐點是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點點不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導點是不可導點yyx , 0

7、,)0 ,( y內內但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內內在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 四、小結四、小結曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法1, 2.思考題思考題設設)(xf在在),(ba內二階可導，且內二階可導，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，則，則,(0 x)(0 xf是否一定為是否一定為曲線曲線)(xf的拐點？舉例說明的拐點？舉例說明.思考題解答思考題解答因為因為0)(0 xf只是只是

8、,(0 x)(0 xf為拐點為拐點的的必要條件必要條件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐點不一定是拐點.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲線并不是曲線)(xf的拐點的拐點.一、一、 填空題：填空題：1 1、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在 （ba,） 可導， 則曲線） 可導， 則曲線)(xf在在( (ba,) )內取凹的充要條件是內取凹的充要條件是_._.2 2、 曲線上曲線上_的點，稱作曲線的拐點的點，稱作曲線的拐點 . .3 3、 曲線曲線)1ln(2xy 的拐點為的拐點為_._.4 4、 曲線曲線)1ln(xy 拐點為拐點為_._.二、二、 求曲線求曲線

9、xeyarctan 的拐點及凹凸區(qū)間的拐點及凹凸區(qū)間 . .三、三、 利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲線四、求曲線 2sin2cot2ayax的拐點的拐點 . .練練 習習 題題五、五、 試證明曲線試證明曲線112 xxy有三個拐點位于同一直線有三個拐點位于同一直線上上 . .六、六、 問問a及及b為何值時，點為何值時，點(1,3)(1,3)為曲線為曲線23bxaxy 的拐點？的拐點？七、七、 試決定試決定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲線的拐點處使曲線的拐點處的法線通過原點的法線通過原點 . .一、一、1 1、),()(baxf在在 內遞增或內遞增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界點；、凹凸部分的分界點；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4、)2ln, 1(),2ln, 1( . .二、拐點二、拐點),21(21arcta