第十三章能量方法

1、13能量方法能量方法一、概一、概 述述幾何法：應(yīng) 力應(yīng) 變變 形外 力物理方程平衡方程幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）1313能量法出發(fā)點(diǎn)：能量守恒與轉(zhuǎn)換原理。彈性體承載時(shí)，加力點(diǎn)發(fā)生位移荷載做功，W彈性體變形儲(chǔ)存變形能（應(yīng)變能）， U略去在該過(guò)程中的微量能量損耗，則由能量守恒與轉(zhuǎn)換原理，得：外力功 = 變形能 W = U由能量的觀點(diǎn)出發(fā)建立荷載與變形間關(guān)系的方法稱為能量方法。13二、變形能的計(jì)算二、變形能的計(jì)算1.1.軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮PABLL靜載：荷載：0P緩慢加力點(diǎn)B的位移：B= L0L緩慢13變力做功：PABLL)()(ldLlPdWLldLlPW0)(LP21此處為線彈性材料。1

2、3對(duì)于線彈性材料，變形能為：PWU21EALN221LLEA2)(21用外力功表示用“內(nèi)力”表示用“變形”表示13LlpPpO（1）彈性應(yīng)變只與力或位移的終值有關(guān)，與加載過(guò)程和次序無(wú)關(guān)。PLdwd(l)2113（2）在桿長(zhǎng)范圍內(nèi)N、A不是常數(shù)時(shí)，一般的，有：lxEAdxxNU)(2)(2（3）單位體積的變形能稱為比能：210*duVudVU13（4）變形能不能疊加。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看：U不是P或者L的線性函數(shù)，所以不能疊加。從力學(xué)觀點(diǎn)看：例：P1LL1EAEALPU21121P2LL2EAEALPU2222113P=P1+P2LL=L1+L2EAEALPU2211321212121222122122

3、121)(2121UUEALPPUUEALPPEALPEALPEALPPEALPU所以，變形能不能疊加。13EALPPEALPPEALPP122121212121212121LPEALPP加載過(guò)程中P1在P2產(chǎn)生的位移上做的功12122121LPEALPP加載過(guò)程中P2在P1產(chǎn)生的位移上做的功13變形能不能疊加的力學(xué)本質(zhì)：13一種荷載在另一種荷載引起的位移上做了功。2.2.扭轉(zhuǎn)變形能扭轉(zhuǎn)變形能對(duì)于線彈性材料，變形能為：100211MTdWU用外力功表示PGILT221用“內(nèi)力”表示LGIP2121用“變形”表示TOT1113M0L同樣，對(duì)于一般情況，有：lPxGIdxxTU)()(21213V

4、udvU21u3.3.彎曲變形能彎曲變形能13MOM（1）純彎曲MML13對(duì)于線彈性材料，變形能為：MWU21用外力功表示LEI221用“變形”表示EILMU221 用“內(nèi)力”表示EIMLLL （2）橫力彎曲M(x)dx總變形能=剪切變形能+彎曲變形能13EIdxxMdU2)(2一般情況下剪切變形能很小，可以忽略不計(jì)：U 彎曲變形能 .LEIdxxMU2)(213綜合軸向拉伸（壓縮）、扭轉(zhuǎn)、彎曲變形，一般地，有：P21UU廣義力 廣義位移U可表成P的二次函數(shù)或的二次函數(shù) ，這也揭示了應(yīng)變能不能疊加。13如果構(gòu)件上有二種荷載，但其中任一種荷載在另一種荷載產(chǎn)生的位移上不做功，則這兩種荷載單獨(dú)作用時(shí)

5、產(chǎn)生的變形能之和等于共同作用時(shí)產(chǎn)生的變形能。注意：13如圖，無(wú)剛性位移的線彈性結(jié)構(gòu)體，承受荷載P1、P2、P3 設(shè)想采用比例加載：P1、P2、P3緩慢的按相同的比例增加，彈性體始終保持平衡，而且各外力作用點(diǎn)的位移1、2、3也將按與外力相同的比例增加。P1P2P31234.4.變形能的普遍表達(dá)形式變形能的普遍表達(dá)形式332211212121PPPWU于是得到用“外力功”表示的變形能的普遍表達(dá)式：13注意：式中1、2、3為所有外力P1、P2、P3共同作用引起的位移。 （即：克拉貝依隆原理）13MdxNTMNTEAdxNGIdxTEIdxMdUP222222桿件組合變形的應(yīng)變能桿件組合變形的應(yīng)變能1

6、3LLPLEAdxNGIdxTEIdxMU222222這就是用“內(nèi)力”表示的變形能的普遍表達(dá)式注意：式中M、T、N為所有外力P1、P2、P3共同作用引起的內(nèi)力。例例1 1 求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度 fC解：CPfW21)20( 2)(LxxPxM2022022)2(222LLEIxPEIdxMUEILP963213PEIL/2L/213UW EILPPfC9621 32EIPLfC48 3正號(hào)表示正號(hào)表示 fC 的方向與外力的方向與外力P的指向相同。的指向相同。三、互等定理三、互等定理以梁為例推導(dǎo)：記號(hào)：iFi：“力”的作用位置荷載：位移：ijfi：位移發(fā)生的位置j：位移發(fā)生的原因， 點(diǎn)的“力”

7、引起的j1F1211f21f2F1212f22f13現(xiàn)在梁上1、2兩點(diǎn)加荷載 、 ，采用兩種不同方式加:1F2F第一種加載方案：1、2兩點(diǎn)同時(shí)加 、1F2F由疊加原理，1點(diǎn)總的位移為：1211ff2221ff2點(diǎn)總的位移為：)(21)(21222121211111ffFffFWU1211ff1F122F2221ff13第二種加載方案：先加 ，然后再加1F2F121222111222121fFfFfFWU先加 ， 做功為：11121fF1F1F再加 ， 做功為：22221fF2F2F在加 的過(guò)程中 做功為： 121fF2F1F1311f1F122F22f12f13線彈性結(jié)構(gòu)，應(yīng)變能只與力的終值有

8、關(guān)，與加載方式無(wú)關(guān)。21 UU即：12122211122212121112121)(21)(21fFfFfFffFffF121212 fFfF功的互等定理F2 在 F1 引起的位移上所做的功= F1 在 F2 引起的位移上所做的功當(dāng) F1 和 F2 在數(shù)值上相等時(shí)，由功的互等定理可得到：1221ff位移互等定理第1點(diǎn)的荷載引起的第2點(diǎn)的位移在第2點(diǎn)作用同樣大小的荷載引起的第1點(diǎn)的位移13注意：（1）互等定理成立的條件：（2）ijf廣義位移iF廣義力ijf線位移iF集中力iF集中力偶ijf角位移線彈性、小變形、疊加原理成立。1312122F1M1221f212121fFM功互等當(dāng) M1 與 F2

9、 數(shù)值上相等時(shí)：2112f位移互等（數(shù)值上相等）13212121MM功互等當(dāng) M1 與 M2 在數(shù)值上相等時(shí)：2112位移互等（數(shù)值上相等）1M122112122M13四、卡氏第二定理四、卡氏第二定理),(21nCCPPPUUnnCCCCdPPUdPPUdPPUdU2211iiCCdPPUdU當(dāng)僅有 有增量 ，其余荷載不發(fā)生變化時(shí)：iPidP（即每個(gè)荷載是獨(dú)立變化的。）另一方面，因?yàn)?，余功的增量為：idPCiiCdUdPdWiiCiidPPUdP 13iCiPU 余能定理對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)：CUU 13所以對(duì)于線彈性結(jié)構(gòu)，有：iiPU卡氏第二定理卡氏第二定理：對(duì)于線彈性體，應(yīng)變能對(duì)某一外力的偏導(dǎo)

10、數(shù)，等于與此外力相應(yīng)的位移。13（1）卡氏第二定理只能用于線彈性結(jié)構(gòu)。（2）“相應(yīng)”的意義：為集中力，則 為與之同方向的線位移。iPi為集中力偶，則 為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。iPiiPi與 位置相同。（3）應(yīng)變能應(yīng)寫成外力的函數(shù)。13卡氏第二定理的具體應(yīng)用：卡氏第二定理的具體應(yīng)用：（1）梁lEIdxMU22lliiliiidxEIMPMdxEIMPEIdxMPPU)2(222（2）桁架njjjjEAlNU122（ n根桿）njjjjijiiEAlNPNPU113（3）軸lPGIdxTU22lPiiidxGITPTPU（4）一般地lPllGIdxTEAdxNEIdxMU222222lPililii

11、idxGITPTdxEANPNdxEIMPMPU13例例3 3 圖示簡(jiǎn)支梁，求中點(diǎn)C的撓度。解：)20( 2)(lxxPxM2xPMPEIl/2l/213EIPlxEIPdxEIPxxdxEIMPMflllC4832 222 32/032/00正號(hào)表示正號(hào)表示 fC 的方向與的方向與P的指向一致。的指向一致。13例例4 4 圖示懸臂梁，求B截面的轉(zhuǎn)角 。BlPEI在 B 截面加一與 “相應(yīng)”的假想外力MBB解：因?yàn)樵?B 截面沒(méi)有與 相應(yīng)的外力，所以要進(jìn)行處理。13xPEIM 1MM)()(MxlPxMEIPldxEIxlPdxEIMxlPdxEIMMMlMllMB2)( )( 200000（

12、順時(shí)針）13（1）負(fù)號(hào)表示 的轉(zhuǎn)向與 M 的轉(zhuǎn)向相反。B（2）要求某點(diǎn)的“位移”，則必須在該點(diǎn)有與之相應(yīng)的“力”，若沒(méi)有，則必須在該處加上假想的附加“力”，求導(dǎo)后再令其為零。注意：注意：13例例5 5 圖示懸臂梁，求C截面的撓度 fC 。P=P2EIl/2l/2P=P1BACxylxlxlPlxxlPxlPxM2 )(20 )2()()(212解：13lxlxllxxlPM2 )(20 )(2EIPldxEIxlPdxEIxlPxlPxldxEIMPMfllllPPPC167)( )2()()( 322200221（向下）13例例6 6 圖示結(jié)構(gòu)，求 A、B 兩點(diǎn)的相對(duì)位移。PEI2aaPDC

13、BAx1x2x3axPxxMaxPaxMaxPxxM333221110 )(20 )(0 )(解：1311xPMaPM233xPMEIPadxEIPxdxEIPadxEIPxdxEIMPMdxEIMPMdxEIMPMaaaaaaAB38 3032320220121033320222011113五、虛功原理五、虛功原理1.1.虛位移虛位移虛位移虛位移約束所允許的微小位移。0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F13（1）與結(jié)構(gòu)上的荷載完全無(wú)關(guān)的原因?qū)е碌奈灰疲ㄈ鐒e的荷載、溫度變化、純假想原因）。（2）微小，并且符合約束條件。注意：注意：132.2.虛功原理虛功原理 對(duì)于處于平衡狀態(tài)的彈性體，從

14、平衡位置令其有一微小的虛位移，則作用在彈性體上的外力在虛位移上所作的功，等于彈性體內(nèi)力在相應(yīng)的虛位移上所做的功。前者稱為外力虛功 ，后者稱為內(nèi)力虛功 。extWintW即： intextWW 彈性體平衡彈性體平衡13 另一方面，如果彈性體上的外力和內(nèi)力在各自的虛位移上所作的功相等，則彈性體處于平衡狀態(tài)，即：intextWW 彈性體平衡彈性體平衡綜合上述兩方面，即為彈性體的虛功原理虛功原理： 彈性體平衡的充分必要條件是，外力虛功等于內(nèi)力虛功，即：intextWW 彈性體平衡彈性體平衡13必要條件的簡(jiǎn)單證明，即證：intextWW 彈性體平衡彈性體平衡以梁為例：（1）設(shè)圖所示梁發(fā)生虛位移 ，可得：

15、)(*xv)(*22*11lextdxxqvvFvFW0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F)(xq13（2）設(shè)想：將處于平衡狀態(tài)的梁分成無(wú)數(shù)個(gè)長(zhǎng)度為dx的微段，考察其中任一微段，如圖所示：)(*xv（剛體虛位移）MdxCq(x)NNM變形前C變形后)(*ld *d)(*d)(*d（虛 變 形）13小微段上的虛位移可分解為：剛體虛位移（形心位移）和虛變形。質(zhì)點(diǎn)虛功原理：處于平衡狀態(tài)下的力系在剛體虛位移上的虛功之和等于0。小微段上的虛功僅為力系在虛變形上做的功。*)(TdQdMdlNddW所有微段上的虛功之和即為總的虛功。llllTdQdMdlNdW*)(intextWWW六、余六、余 能能

16、（補(bǔ)充）（補(bǔ)充）13定義：余功P0*)( pdWClp*PpWCOdp*W余功無(wú)物理意義PCWW13定義：余能P0*)( pdWUCCP0*)(duC對(duì)于線彈性材料，顯然有：CUU 數(shù)值相同，概念不同一般地，應(yīng)變能總能表為位移的函數(shù)，余能總能表為荷載的函數(shù)。131.1.卡氏第一定理（應(yīng)變能法）卡氏第一定理（應(yīng)變能法）),(21nUUnndUdUdUdU2211當(dāng)僅 發(fā)生微小增量 ，其余位移無(wú)增量時(shí)：iidiidUdU13另一方面，當(dāng)僅 發(fā)生增量 時(shí)， 將做功，從而導(dǎo)致應(yīng)變能發(fā)生增量：iidiFiidPdU（常力做功）iiiidUdP iiUP 13卡氏第一定理：彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)某一位移的偏導(dǎo)

17、數(shù)，等于與此位移相應(yīng)的外力。（1）卡氏第一定理既適用于線性彈性，也適用于非線性彈性。（2）“相應(yīng)”的意義：為集中力，則 為與之同方向的線位移。iPi為集中力偶，則 為與之同轉(zhuǎn)向的角位移。iPiiPi與 位置相同。13例例2 2 圖示結(jié)構(gòu)，AB桿與BC桿的橫截面積均為A應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：B試求AB桿和BC桿的軸力。解：節(jié)點(diǎn)B有兩個(gè)未知位移：水平位移：1垂直位移：2計(jì)算應(yīng)變能：CBAPL4512B13也即，將應(yīng)變能表為位移的函數(shù)：1ABl122222BClBABD1C4521BBBClDE13LLllBCBCBC2)(2)(2212122312300)(3232LBBdBduABABABAB231

18、2230)2(3232LBBduBCBCBCLllABABAB1均勻變形：13LALBALLBLAuALuVuVuUBCABBCBCABAB2)2(32)(32 2 2312231由卡氏第一定理：0)(22211221111LABUPPLABUP211222)(213聯(lián)立以上兩式，求解可得：2221BALP22225BALP2221BAPLAB（拉伸）2221222)(BAPLBC（壓縮）13APBABAB（拉）APBBCBC2（壓）PANABAB（拉）PANBCBC2（壓）13七、單位力法七、單位力法（1）建立單位力系統(tǒng)：欲求結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)沿某方向的位移，就在該點(diǎn)沿該方向加相應(yīng)的單位力，作為單位

19、力系統(tǒng)?！跋鄳?yīng)”：線位移集中力 角位移集中力偶。對(duì)應(yīng)的單位力系統(tǒng)ABaa1求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)沿a-a方向的線位移ABaa13（2）將原荷載系統(tǒng)的位移（變形）作為單位力系統(tǒng)的虛位移。顯然滿足： 原荷載系統(tǒng)的變形與單位力系統(tǒng)的力完全無(wú)關(guān)。 微小且符合約束條件。（3）運(yùn)用虛功原理：BextW 113llllintdTdQdMldNW*)(llllBdTdQdMldN*)( )()()()(xTxMxQxN，其中為單位力系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的內(nèi)力。注意：上式既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。13對(duì)于線性結(jié)構(gòu)：EAdxxNld)()(*GAdxxQds)(*EIdxxMd)(*PGIdxxTd)(*lPllslBG

20、IdxxTxTEIdxxMxMGAdxxQxQEAdxxNxN)()()()()()()()( 莫爾積分法13桁架lBEAdxxNxN)()(軸lPBGIdxxTxT)()(梁以彎曲變形為主，可略去軸力、剪力、扭矩的影響lBEIdxxMxM)()(TMQN、上式中為實(shí)際荷載引起的內(nèi)力；s是個(gè)大于1的系數(shù)，是切應(yīng)力實(shí)際上不均勻并與截面形狀有關(guān)的修正系數(shù)。13例例7 7 求圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)的豎直位移。aqEIaABCDEAaEIx3x2x111112qax3x2qa2qax1q（1）建立單位力系統(tǒng)如圖。解解：（2）建立坐標(biāo)系如圖。荷載系統(tǒng)與單位力系統(tǒng)坐標(biāo)系要一致。13（3）求內(nèi)力。荷載系統(tǒng)：荷載系統(tǒng)：

21、2)(211qxxM222)(xqaxM2)(3qaxNx3x2qa2qax12qaqx3x2x1111113單位力系統(tǒng)：?jiǎn)挝涣ο到y(tǒng)：1)(3xN11)(xxM22)(xxM單位力系統(tǒng)與荷載系統(tǒng)的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定必須一致。13（4）利用單位力法求C點(diǎn)的豎直位移。EAqaEIqadxEAqadxEIqaxdxEIqxEAdxxNxNEIdxxMxMEIdxxMxMfaaalllC22472122)()()()()()(240302220131333222111321 符號(hào)為正表明 的指向與單位力 的指向相同。CfCf1F13lAEI2qlqBxABx1解解：（1）建立單位力系統(tǒng)和坐標(biāo)系：例例8 8

22、求圖示結(jié)構(gòu) A 截面的轉(zhuǎn)角 。A無(wú)論實(shí)際結(jié)構(gòu)中A點(diǎn)有無(wú)與 相應(yīng)的外力，都必須建立單位力系統(tǒng)。A（2）求內(nèi)力：2)(1)(22qxqlxMxM13（3）求 ：AEIqlEIqlEIqldxEIqxqlEIdxxMxMllA6762)()(3330220 前的負(fù)號(hào)表示 的轉(zhuǎn)向與單位力 的轉(zhuǎn)向相反。AA1M13八、計(jì)算莫爾積分的圖乘法八、計(jì)算莫爾積分的圖乘法梁、剛架等線性結(jié)構(gòu)，單位力法主要是計(jì)算莫爾積分：EIdxxMxM)()(EAdxxNxN)()(PGIdxxTxT)()(對(duì)于最常見(jiàn)的均質(zhì)等直桿，EI為常數(shù)，可以提取到積分號(hào)的外面，莫爾積分變?yōu)椋篸xxMxM)()(13圖乘法圖乘法：將積分圖形相

23、乘。出發(fā)點(diǎn)：直桿在單位力作用下的內(nèi)力圖必定是直線段或者折線段。dxxMxM)()(的計(jì)算轉(zhuǎn)化為考察任一梁段AB，其上由荷載引起的彎矩 可為任意圖形，而由單位力引起的彎矩 為斜直線。)(xM)(xMOxy)(xMABOxy)(xMAB13建立坐標(biāo)系：以 與 x 軸的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 與 x軸的夾角為 。)(xM)(xM)()()()()()(CCClllxMtgxxtgdxxxMtgdxtgxxMdxxMxMtgxxM Oxy)(CxMABOxyMdxABdx)(xMxxCl13Oxy)(CxMABOxyMdxABdx)(xMxxCldxxM)(陰影部分面積dxxMx)(陰 影 部 分 面積

24、對(duì) y 軸之矩ldxxxM)()(xM圖對(duì) y 軸之靜矩Cxtg)(xM圖上對(duì)應(yīng) xC 的值)(xM圖的面積Cx)(xM圖形心的橫坐標(biāo))(CxMCxCM)(xM圖上對(duì)應(yīng)的值，簡(jiǎn)記為CMdxxMxM)()(13例例9 9 求圖示懸臂梁在自由端的撓度。BA1BlAEIF解解：（1）建立單位力系統(tǒng)：（2）作荷載系統(tǒng)和單位力系統(tǒng)的彎矩圖：l3lCxFl圖M圖MlCMl3lCxFl圖M圖MlCM（3）計(jì)算 、 、 ：CMCxlFl 213lxClM32CEIFllFlEIMEIfCA3)32)(2(1132“正號(hào)”表明 的指向與單位力 的指向相同。Af1F13例例10 10 求圖示外伸梁 A 截面的轉(zhuǎn)角。FAEIBCal解解：（1）建立單位力系統(tǒng)：1（2）作 、 圖：)(xM)(xM1l31l211231C2C3CFa圖M圖M2CM3CM1CM281ql13（3）圖乘求 ：A)321(24)322112121832(1)(1)()(1232332211alEIFaEIqllFaaFalqlEIMMMEIdxxMxMEICCClA 與 引起的彎矩圖分開(kāi)畫(huà)，易于確定各圖形的面積和形心位置。Fq 與 在基線同一側(cè)時(shí)， 為正，在基線異側(cè)時(shí)， 為負(fù)。MMCM CM 1l31l211231C2C