第八章_能帶理論2

1、能帶理論復(fù)習(xí)能帶理論復(fù)習(xí)形成能帶的原因：從能量的角度來講，如果電子形成能帶的原因：從能量的角度來講，如果電子只有原子內(nèi)的運(yùn)動（孤立原子），則能級將是孤只有原子內(nèi)的運(yùn)動（孤立原子），則能級將是孤立的；如果原子只有共有化運(yùn)動（自由電子費(fèi)米立的；如果原子只有共有化運(yùn)動（自由電子費(fèi)米氣體當(dāng)中的情形），則能級將是連續(xù)的。由于晶氣體當(dāng)中的情形），則能級將是連續(xù)的。由于晶體當(dāng)中的電子運(yùn)動介于兩者之間，所以能帶表現(xiàn)體當(dāng)中的電子運(yùn)動介于兩者之間，所以能帶表現(xiàn)為既有允帶又有禁帶的情形。為既有允帶又有禁帶的情形。能帶理論雖然是從周期性結(jié)構(gòu)的晶體當(dāng)中引入的能帶理論雖然是從周期性結(jié)構(gòu)的晶體當(dāng)中引入的，但周期性結(jié)構(gòu)并不是

2、形成能帶的必要條件，這，但周期性結(jié)構(gòu)并不是形成能帶的必要條件，這點(diǎn)已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。為什么非周期性結(jié)構(gòu)也可點(diǎn)已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。為什么非周期性結(jié)構(gòu)也可以形成能帶？以形成能帶？能帶產(chǎn)生的原因：布拉格反射能帶產(chǎn)生的原因：布拉格反射是不是滿足布拉格發(fā)射的都能形成能帶？是不是滿足布拉格發(fā)射的都能形成能帶？也就是滿足勞厄衍射條件的就一定有衍射？也就是滿足勞厄衍射條件的就一定有衍射？我們對于復(fù)式格子曾經(jīng)引人了結(jié)構(gòu)因子（考我們對于復(fù)式格子曾經(jīng)引人了結(jié)構(gòu)因子（考慮到結(jié)構(gòu)消光的原因），那么現(xiàn)在呢？慮到結(jié)構(gòu)消光的原因），那么現(xiàn)在呢？ 在外電場的作用下，大量共有化電子很在外電場的作用下，大量共有化電子很 易獲得能量，

3、集體定向流動形成電流易獲得能量，集體定向流動形成電流。從能級圖上來看，是因?yàn)槠涔灿谢娮訌哪芗増D上來看，是因?yàn)槠涔灿谢娮雍芤讖牡湍芗壾S遷到高能級上去。很易從低能級躍遷到高能級上去。E導(dǎo)體導(dǎo)體從能級圖上來看，是因?yàn)闈M帶與空帶之間從能級圖上來看，是因?yàn)闈M帶與空帶之間有一個有一個較寬的禁帶較寬的禁帶（ Eg 約約36 eV），），共有化電子很難從低能級（滿帶）躍遷到共有化電子很難從低能級（滿帶）躍遷到高能級（空帶）上去。高能級（空帶）上去。 在外電場的作用下，共有化電子很難接在外電場的作用下，共有化電子很難接 受外電場的能量，所以形不成電流。受外電場的能量，所以形不成電流。 的能帶結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu),

4、滿帶與空帶之間也是禁帶，滿帶與空帶之間也是禁帶， 但是禁帶很窄但是禁帶很窄（ E g 約約0.12 eV )。絕緣體絕緣體半導(dǎo)體半導(dǎo)體絕緣體與半導(dǎo)體的擊穿絕緣體與半導(dǎo)體的擊穿當(dāng)外電場非常強(qiáng)時，它們的共有化電子還是當(dāng)外電場非常強(qiáng)時，它們的共有化電子還是能越過禁帶躍遷到上面的空帶中的。能越過禁帶躍遷到上面的空帶中的。絕緣體絕緣體半導(dǎo)體半導(dǎo)體導(dǎo)體導(dǎo)體第八章 能帶 Energy Bands 布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動為什么要研究其準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動？為什么要研究其準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動？背景：背景： 前章得出了晶體電子在周期性勢場中的本征前章得出了晶體電子在周期性勢場中的本征態(tài)和本征能量，由此出發(fā)可以進(jìn)

5、一步研究晶體中態(tài)和本征能量，由此出發(fā)可以進(jìn)一步研究晶體中電子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)，即由統(tǒng)計(jì)物理的基本原理電子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)，即由統(tǒng)計(jì)物理的基本原理去討論系統(tǒng)中電子按照能量的平衡態(tài)分布問題，去討論系統(tǒng)中電子按照能量的平衡態(tài)分布問題，討論在外場下的量子躍遷問題，如熱激發(fā)、光吸討論在外場下的量子躍遷問題，如熱激發(fā)、光吸收和電子散射等。更重要的是如果要考慮外場下收和電子散射等。更重要的是如果要考慮外場下電子的運(yùn)動，哈密頓量就需要加上外場，此時電電子的運(yùn)動，哈密頓量就需要加上外場，此時電子的運(yùn)動與時間相關(guān)，就必須求解包含外場在內(nèi)子的運(yùn)動與時間相關(guān)，就必須求解包含外場在內(nèi)的含時薛定諤方程。的含時薛定諤方程。 數(shù)

6、學(xué)太復(fù)雜，所以要把布洛赫電子當(dāng)做準(zhǔn)數(shù)學(xué)太復(fù)雜，所以要把布洛赫電子當(dāng)做準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理，這樣就避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)典粒子來處理，這樣就避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而且物理圖像也比較直觀。，而且物理圖像也比較直觀。88.1 運(yùn)動方程運(yùn)動方程91準(zhǔn)經(jīng)典近似準(zhǔn)經(jīng)典近似 點(diǎn)陣的周期勢場是在點(diǎn)陣常數(shù)的范圍內(nèi)點(diǎn)陣的周期勢場是在點(diǎn)陣常數(shù)的范圍內(nèi)變化，這樣的勢場只能用量子力學(xué)來處理。變化，這樣的勢場只能用量子力學(xué)來處理。 波包的群速度波包的群速度微觀粒子的運(yùn)動速度。微觀粒子的運(yùn)動速度。10 Bloch電子在外加電磁場下的運(yùn)動規(guī)律。電子在外加電磁場下的運(yùn)動規(guī)律。 Bloch電子的速度是電子的速度是Bloch波包的群速

7、度波包的群速度kv1)(1kvk三維時：2.2. 運(yùn)動方程運(yùn)動方程zzyyxxkkkkkk1112 若外加電場為若外加電場為E，則外場對，則外場對Bloch電子要電子要作功，在作功，在dt時間內(nèi)，電子的能量增加為時間內(nèi)，電子的能量增加為：eEvdtdvdkdkkd)()(1kvFeEdtdk 13三維時：三維時：FEedtkd 上式表明了電子在波矢空間的運(yùn)動規(guī)律。上式表明了電子在波矢空間的運(yùn)動規(guī)律。從式中可看到：電子晶體動量的變化率僅決從式中可看到：電子晶體動量的變化率僅決定于外力，而與周期勢場無關(guān)。定于外力，而與周期勢場無關(guān)。1vFdtkd真實(shí)空間中的運(yùn)動規(guī)律真實(shí)空間中的運(yùn)動規(guī)律 波矢空間中

8、的運(yùn)動規(guī)律波矢空間中的運(yùn)動規(guī)律14考慮考慮Bloch電子在外加磁場電子在外加磁場 下運(yùn)下運(yùn)動規(guī)律：動規(guī)律：BBvedtkdBveFBedtkdk215 電子在等能面與垂直于磁場平面電子在等能面與垂直于磁場平面這兩個面的交線運(yùn)動（真實(shí)空間是螺這兩個面的交線運(yùn)動（真實(shí)空間是螺旋線）旋線）168.2 空空 穴穴17 電子從一個能帶躍遷到上一個能帶中電子從一個能帶躍遷到上一個能帶中去，在原能帶中留下一個空軌道，這個空去，在原能帶中留下一個空軌道，這個空軌道稱為軌道稱為空穴空穴?？昭ㄊ且粋€幾乎充滿的能帶中的空軌空穴是一個幾乎充滿的能帶中的空軌道，它是在波矢空間的能帶中的概念，不道，它是在波矢空間的能帶中

9、的概念，不是真實(shí)空間中失去電子后的空位，也不是是真實(shí)空間中失去電子后的空位，也不是原子離開原位置后留下的空位缺陷。原子離開原位置后留下的空位缺陷。18 1 1 空穴的波矢空穴的波矢是留下空軌道的那個是留下空軌道的那個電子波矢的負(fù)值。電子波矢的負(fù)值。 ehkk1. 空穴的性質(zhì)19 失去了一個電子的能帶既可以用失去了一個電子的能帶既可以用2N-12N-1個電子的集體個電子的集體行為來描寫，也可以用一個空穴來描寫?？昭ǖ男袨槭切袨閬砻鑼?，也可以用一個空穴來描寫?？昭ǖ男袨槭桥c與2N-12N-1個電子的集體行為聯(lián)系在一起的。空穴是假想的個電子的集體行為聯(lián)系在一起的。空穴是假想的粒子，是粒子，是準(zhǔn)粒子準(zhǔn)

10、粒子。主要是為了處理問題方便而引入的。主要是為了處理問題方便而引入的。0k一個能帶中012eekkNk則個電子的電子，剩下此能帶失去一個波矢為 空穴是描述失去了電子的能帶的簡捷方法空穴是描述失去了電子的能帶的簡捷方法ekkehkk202空穴的能量 空穴的能量等于失去的那空穴的能量等于失去的那個電子的能量的負(fù)值。個電子的能量的負(fù)值。）（）（eehhkk213空穴的速度 空穴的速度與失去了的那空穴的速度與失去了的那個電子的速度相同。個電子的速度相同。ehvv224空穴的有效質(zhì)量 空穴的有效質(zhì)量等于失去空穴的有效質(zhì)量等于失去了的那個電子的有效質(zhì)量的負(fù)了的那個電子的有效質(zhì)量的負(fù)值值。ehmm235 5

11、在外加電磁場中空穴的運(yùn)在外加電磁場中空穴的運(yùn)動方程如一個帶電荷為動方程如一個帶電荷為+e+e的粒的粒子的運(yùn)動方程：子的運(yùn)動方程： ）（BvEedtkdhh24可以說，沒有空穴，也就沒有半導(dǎo)體器件的應(yīng)可以說，沒有空穴，也就沒有半導(dǎo)體器件的應(yīng)用，沒有現(xiàn)代高度發(fā)達(dá)的文明。用，沒有現(xiàn)代高度發(fā)達(dá)的文明。（臺灣：電洞）（臺灣：電洞）（大陸：空穴）（大陸：空穴）空穴：空穴：hole, 準(zhǔn)粒子。半導(dǎo)體中可通過摻雜改變準(zhǔn)粒子。半導(dǎo)體中可通過摻雜改變導(dǎo)電類型，于是有了導(dǎo)電類型，于是有了PN結(jié)，有了結(jié)，有了IC25 在外加恒定電場下，電子的波矢的改變在外加恒定電場下，電子的波矢的改變滿足方程式：滿足方程式： 在恒定

12、電場中，電子的速度以均勻速度在恒定電場中，電子的速度以均勻速度變化，若變化，若t=0t=0時刻開始加電場，則在時刻時刻開始加電場，則在時刻t t電電子的波矢為子的波矢為 tEektk）（）（0Eedtkd2.2.電子和空穴在恒定電場下的半經(jīng)典運(yùn)動電子和空穴在恒定電場下的半經(jīng)典運(yùn)動26Ekkvvnej27 這主要是我們沒有考慮電子的各種散這主要是我們沒有考慮電子的各種散射，電子在運(yùn)動過程中要與聲子、晶體中射，電子在運(yùn)動過程中要與聲子、晶體中的雜質(zhì)等發(fā)生碰撞。的雜質(zhì)等發(fā)生碰撞。sec10/10142mVE例如：1110cmeE則18101BZcma尺度而 電子只能在波矢空間在原波矢附近運(yùn)動一電子只

13、能在波矢空間在原波矢附近運(yùn)動一個極小的距離。所以觀察不到周期性的變化。個極小的距離。所以觀察不到周期性的變化。28滿帶中的電子不能導(dǎo)電Ekkv)()(kEkE)()(kvkv0)(kv外加電場外加電場 dtdkhef0)(kv J（K）=-J（-K）即是說，+k態(tài)和態(tài)和-k態(tài)態(tài)的電子電流互相抵消的電子電流互相抵消一種簡單理解：電子無空間可移動！一種簡單理解：電子無空間可移動！29不滿帶電子能導(dǎo)電EkkvEkkv無外電場時無外電場時0)(kv有外電場時有外電場時0)(kv0)(kevJ +k態(tài)和態(tài)和-k態(tài)的電子數(shù)態(tài)的電子數(shù)不再相等，正負(fù)電流不能不再相等，正負(fù)電流不能全部抵消全部抵消308.3 有

14、效質(zhì)量有效質(zhì)量31dkdv1一維情況dtdkdkddtdva221則1.1.有效質(zhì)量的定義有效質(zhì)量的定義FdtdkFka2221電子的有效質(zhì)量）（令mk222amF*具有牛頓第二定律的形式。具有牛頓第二定律的形式。32*mfa222*dkEdhm概括了半導(dǎo)體內(nèi)概括了半導(dǎo)體內(nèi)部勢場的作用部勢場的作用半導(dǎo)體內(nèi)部勢場+外電場的共同作用結(jié)果絕妙的簡化處理！絕妙的簡化處理！ 有了有效質(zhì)量的概念，我們就有了有效質(zhì)量的概念，我們就可以像處理自由電子一樣來處理可以像處理自由電子一樣來處理晶體中的電子。晶體中的電子。33自由電子和晶體中的電子的運(yùn)動自由電子和晶體中的電子的運(yùn)動34k k k k m* 0m* 0

15、222dk(k)dml 有效質(zhì)量不是電子的慣性質(zhì)量l 有效質(zhì)量的大小與能帶結(jié)構(gòu)有關(guān)l 有效質(zhì)量會出現(xiàn)負(fù)值，其物理意義代表該電子在運(yùn)動時受到反作用力所致35e22gm2kEeh22m2khEedtvdmee*導(dǎo)帶中的電子Eedtvdmhh*價帶中的空穴k Eg導(dǎo)帶導(dǎo)帶價帶價帶半導(dǎo)體中的有效質(zhì)量半導(dǎo)體中的有效質(zhì)量36eevneJhhvPeJ半導(dǎo)體中的電流半導(dǎo)體中的電流半導(dǎo)體中的總電流半導(dǎo)體中的總電流heJJJ372.2.有效質(zhì)量張量有效質(zhì)量張量 晶體的各向異性決定了有效質(zhì)量不是標(biāo)量，而晶體的各向異性決定了有效質(zhì)量不是標(biāo)量，而是一個張量。是一個張量。),(1)(221*zyxjikkEhmjiij3

16、8 適當(dāng)選用坐標(biāo)系總可把張量對角化，這樣適當(dāng)選用坐標(biāo)系總可把張量對角化，這樣的坐標(biāo)系稱為主軸坐標(biāo)系。的坐標(biāo)系稱為主軸坐標(biāo)系。 是三個主軸方向的波矢分量是三個主軸方向的波矢分量 是三個主軸方向的有效質(zhì)量分量是三個主軸方向的有效質(zhì)量分量321kkk、321mmm、),(*zyxiamFii形式則牛頓定律可寫成分量39 若等能面有旋轉(zhuǎn)橢球的形狀若等能面有旋轉(zhuǎn)橢球的形狀（如（如Ge，Si） 在導(dǎo)帶底附近在導(dǎo)帶底附近( (能量極小值的地方能量極小值的地方) )：lytzxmkmkkk22222)（）（40 若外加一個與磁場方向垂直的交變電場，若外加一個與磁場方向垂直的交變電場，當(dāng)電場的頻率等于電子的回旋

17、頻率當(dāng)電場的頻率等于電子的回旋頻率時時，電子會，電子會從交變電場中吸收能量，發(fā)生共振吸收，稱之從交變電場中吸收能量，發(fā)生共振吸收，稱之為回旋共振。若改變電場的頻率，就可以測出為回旋共振。若改變電場的頻率，就可以測出電子的回旋頻率，測出有效質(zhì)量。電子的回旋頻率，測出有效質(zhì)量。在外加恒定磁場的作用下，電子的回旋頻率：在外加恒定磁場的作用下，電子的回旋頻率：3 3回旋共振回旋共振*/meBc418.4 能帶理論的限制能帶理論的限制 （金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變）（金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變）準(zhǔn)經(jīng)典模型的適用范圍準(zhǔn)經(jīng)典模型的適用范圍1）外場的波長要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，否則）外場的波長要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，否則行不成波包。外場

18、作為一種力出現(xiàn)在描行不成波包。外場作為一種力出現(xiàn)在描述波包的坐標(biāo)和波矢變化的經(jīng)典運(yùn)動方述波包的坐標(biāo)和波矢變化的經(jīng)典運(yùn)動方程中，要求與波包的尺度相比，外場是程中，要求與波包的尺度相比，外場是一個時間和空間的緩變場。一個時間和空間的緩變場。2）外場變化的頻率必須滿足小于帶隙，否）外場變化的頻率必須滿足小于帶隙，否則會有帶間躍遷的發(fā)生。則會有帶間躍遷的發(fā)生。43 假設(shè)金屬的點(diǎn)陣常數(shù)假設(shè)金屬的點(diǎn)陣常數(shù)a能任意增大，則按照能帶能任意增大，則按照能帶理論它依然是導(dǎo)體。理論它依然是導(dǎo)體。 而事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)陣常數(shù)足夠大時金屬就會變成絕而事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)陣常數(shù)足夠大時金屬就會變成絕緣體，這叫作金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變，或稱莫

19、特（緣體，這叫作金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變，或稱莫特（Mott）轉(zhuǎn)變。這個結(jié)論用能帶理論顯然無法解釋。轉(zhuǎn)變。這個結(jié)論用能帶理論顯然無法解釋。 簡單理解：簡單理解：a足夠大時，電子已成了局域電子。足夠大時，電子已成了局域電子。能帶理論的總結(jié)能帶理論的總結(jié)成功之處：成功之處： 總的說來，建立在嚴(yán)格周期勢場中單電子近總的說來，建立在嚴(yán)格周期勢場中單電子近似下的能帶理論，獲得了巨大的成功。比如對似下的能帶理論，獲得了巨大的成功。比如對金屬和非金屬的區(qū)分、能帶理論預(yù)言的能隙的金屬和非金屬的區(qū)分、能帶理論預(yù)言的能隙的寬度與原子間距有關(guān)，如果通過施加壓力使原寬度與原子間距有關(guān)，如果通過施加壓力使原子間距減小，將導(dǎo)致能帶展寬，從而形成部分子間距減小，將導(dǎo)致能帶展寬，從而形成部分填充的能帶，進(jìn)而晶體將由非金屬性變?yōu)榻饘偬畛涞哪軒?，進(jìn)