《函數(shù)極限連續(xù)》PPT課件

1、第二節(jié) 極限與連續(xù)一、數(shù)列極限的定義與性質(zhì)一、數(shù)列極限的定義與性質(zhì)二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限三、函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的連續(xù)性一、數(shù)列極限的定義與性質(zhì) 如果按照某一法則，對每一個正整數(shù)，對應(yīng)著一個確定的實數(shù)xn，xn按下標由小到大排列得一序列 就叫做無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記做xn.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，第n項xn叫做數(shù)列的一般項（通項）. ，nxxxx321數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念 如果數(shù)列xn，當n無限增大時，數(shù)列xn的取值無限接近常數(shù)a，就稱a 是xn當n 時的極限，記作 如果數(shù)列沒有極限，稱數(shù)列是發(fā)散的 1. 收斂數(shù)列xn的極限是唯一的 2.收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一

2、定收斂。 3.無界數(shù)列必定發(fā)散 4.收斂數(shù)列的極限有的可以達到，有的不能達到。例如，常數(shù)列可以達到它的極限。收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)二、函數(shù)的極限1）自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限2）自變量趨于有限值時函數(shù)的極限3）左、右極限函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的運算函數(shù)極限的運算1）無窮小、無窮大無窮小的定義無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小的運算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個無窮小的和也是無窮小性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小無窮大無窮小的比較2）極限的四則運算法則3）兩個準則4）兩個重要極限連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)

3、的概念1）增量的概念三、函數(shù)的連續(xù)性2）連續(xù)的定義3）左連續(xù)、右連續(xù)的定義;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點點的的不不連連續(xù)續(xù)點點為為并并稱稱點點或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)則則稱稱要要有有一一個個不不滿滿足足如如果果上上述述三三個個條條件件中中只只xfxxxf函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點1.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在

4、在點在點如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 2.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點在點如果如果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy解解, 1)1( f, 2)01( f,

5、2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x 注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 x3.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(處

6、的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間例例.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定義:.)()()()

7、()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間對于在區(qū)間ixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì) ( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小值的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小

8、值. .ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy ( (有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk 取取.)(kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf.),(0)(內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在即方程即方程baxf 幾何解釋幾何解釋:mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax cafa )()( 且且,ca cbfb )()( ,cb , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( cf 即即.)(cf .)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧cyxfy 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1111.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間