《函數(shù)極限連續(xù)》PPT課件

1、第二節(jié) 極限與連續(xù)一、數(shù)列極限的定義與性質(zhì)一、數(shù)列極限的定義與性質(zhì)二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限三、函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的連續(xù)性一、數(shù)列極限的定義與性質(zhì) 如果按照某一法則，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn，xn按下標(biāo)由小到大排列得一序列 就叫做無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記做xn.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng)（通項(xiàng)）. ，nxxxx321數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念 如果數(shù)列xn，當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列xn的取值無限接近常數(shù)a，就稱a 是xn當(dāng)n 時(shí)的極限，記作 如果數(shù)列沒有極限，稱數(shù)列是發(fā)散的 1. 收斂數(shù)列xn的極限是唯一的 2.收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一

2、定收斂。 3.無界數(shù)列必定發(fā)散 4.收斂數(shù)列的極限有的可以達(dá)到，有的不能達(dá)到。例如，常數(shù)列可以達(dá)到它的極限。收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)二、函數(shù)的極限1）自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限2）自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限3）左、右極限函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的運(yùn)算函數(shù)極限的運(yùn)算1）無窮小、無窮大無窮小的定義無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小的和也是無窮小性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論推論2 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小無窮大無窮小的比較2）極限的四則運(yùn)算法則3）兩個(gè)準(zhǔn)則4）兩個(gè)重要極限連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)

3、的概念1）增量的概念三、函數(shù)的連續(xù)性2）連續(xù)的定義3）左連續(xù)、右連續(xù)的定義;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)為為并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)則則稱稱要要有有一一個(gè)個(gè)不不滿滿足足如如果果上上述述三三個(gè)個(gè)條條件件中中只只xfxxxf函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在

4、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 2.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy解解, 1)1( f, 2)01( f,

5、2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) x3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(處

6、的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間例例.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定義:.)()()()

7、()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間ixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì) ( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小值的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得最大值和最小

8、值. .ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy ( (有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk 取取.)(kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf.),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf 幾何解釋幾何解釋:mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax cafa )()( 且且,ca cbfb )()( ,cb , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( cf 即即.)(cf .)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧cyxfy 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1111.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間