空間解析幾何第四講--平面及其方程

1、朱立永朱立永北京航空航天大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院答疑時間：星期二下午19:0020:30 (收發(fā)作業(yè)） 星期四下午19:0020:30 答疑地點：J4-105公共郵箱：linear_密 碼：beihang20151 向量及其線性運算2 向量的內積、外積、混合積3 曲面及其方程4 空間曲線及其方程5 平面及其方程 解析幾何的主要內容解析幾何的主要內容6 空間直線方程 前面內容小結前面內容小結設1. 向量運算加減:數(shù)乘:點積(數(shù)量):),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積(向量):k

2、jixayazaxbybzbba混合積:2. 向量關系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba第五節(jié)一、平面的點法式方程平面的點法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角平面及其方程 zyxo0Mn一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程),(0000zyxM設一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點法式方程點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點),(000

3、zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n*kji例例1 1 求過三點,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121MMMM此平面的三點式方程三點式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為說明說明:*特別特

4、別, ,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. *), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.設平面為設平面為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解設平面為設平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平

5、行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為二、平面的一般方程二、平面的一般方程設有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA

6、*),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.特殊情形特殊情形* 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn

7、例例4 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn *2平面的位置關系：平面的位置關系：*21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),

8、(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n例例5 5 研究以下各組里兩平面的位置關系：研究以下各組里兩平面的位置關系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面

9、平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合. .因此有例例6 一平面通過兩點垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法

10、向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解設平面為設平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例9 設222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點是平面到平面的距離d .0P,則P0

11、到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點到平面的距離公式)空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影M 已知向量已知向量 r, ,OMr 的終點的終點 M在軸在軸u上的投影為上的投影為M , ,那那么向量么向量 M O 稱為向量稱為向量 r 在軸在軸u上的上的分向量分向量.設設 eOM , ,則數(shù)則數(shù) 稱為向量稱為向量 r在軸在軸u上的投影上的投影, ,記作記作rjuPr 或或ur)(. . uoMe即即三條坐標軸上的投影，三條坐標軸上的投影，在在就是就是、中的坐標中的坐標在直角坐標系在直角坐標系向量向量aaaaOxyzazyxajaajaajazzyyxxPr,Pr,Pr 或記作.)(,)(,)(zzyyxxaaaaaa 向量的投影性質：.(*),cos|Pr(cos|)()1(軸的夾角軸的夾角與與為向量為向量其中其中即即uaaajaauu (2) ()( ) (Pr()PrPr).uuuuuaaj abj aj b即內容小結內容小結1.平面平面基本方程:一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzz