關于求數(shù)列的通項公式方法

1、編號瘙什解翁哮盹學士學位論文關于求數(shù)列的通項公式方出學生姓名：學 號：系 部： 數(shù)學系專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學年 級：指導教師：副教授完成日期：2014年5月日摘要數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，在很多與數(shù)學有關的內(nèi)容中都可以接觸到， 而作為給出數(shù)列的一種形式一通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要正數(shù)列的通 項公式是近年高考的熱點問題，這類問題具有靈活多變，綜合性強的特點.為使 學牛較好的掌握這類問題的解題方法，同學們結合自己的教學實踐，積累了數(shù)列 通項公式的幾種常用方法，并在教學實踐中會取得較好的成功在學習數(shù)列時， 如果我們把一個數(shù)列的各項之間的內(nèi)在規(guī)律搞清楚，那么我們就能抓住最重要的 信息來把握整

2、個數(shù)列木論文先提出數(shù)列，數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列，等比數(shù) 列的定義，然后舉一些具體的例子，進一步敘述等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式 以及求數(shù)列的通項公式的常見方法.關鍵詞:數(shù)列；通項公式；項；求法；系數(shù)；待定摘要i目錄ii引言11.基本概念21.1等差數(shù)列的通項公式21.2等比數(shù)列的通項公式32求數(shù)列通項公式的常見方法32. 1觀察法32.2定義法42.3公式法52.4待定系數(shù)法52. 5換元數(shù)62.6取倒數(shù)法82. 7累加法92.8累乘法102.9分類法112. 10歸納，猜想法12總結14參考文獻15致謝16引言數(shù)列通項公式直接表述了數(shù)列的本質(zhì)，是給出數(shù)列的-種重要方法數(shù)列通 項公式具備兩大

3、功能，第一，可以通過數(shù)列通項公式求岀數(shù)列中任意一項；第 二，可以通過數(shù)列通項公式判斷一個數(shù)是否為數(shù)列的項以及是第幾項等問題. 數(shù)列是現(xiàn)行高中數(shù)學教材中的重要內(nèi)容.由數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項公式的解 題方法是數(shù)學中針對性較強的一種數(shù)學解題方法是培養(yǎng)學生思維深刻性的極好 的范例數(shù)列的通項公式揭示了項與項序號的關系掌握此規(guī)律有助于學生理解 數(shù)列的概念以及數(shù)列與函數(shù)的關系，加強學生對知識的橫向聯(lián)系，促進學生對 知識進一步掌握；有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，觀察力和思維能力，提高學生學 習教學的興趣數(shù)列是高一數(shù)學教與重點和難點，求數(shù)列通項公式是“數(shù)列” 一 章研究的主要問題，在求數(shù)列通項公式是，因為-般數(shù)列沒有

4、統(tǒng)一的通項公式, 同學們常因不得解題要領而束手無刺這是中學數(shù)學教學的一大難點，還需要我 們?nèi)ミM一步的研究.1基本概念定義1:按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù) 列的項.數(shù)列的一般形式可以寫成4 ,色，他，q”，簡記作陽，其中g”是數(shù)列 的第項.定義2:如果數(shù)列色的第”項與項數(shù)間的關系可以用一個公式來表 示，那么這個公式就叫做數(shù)列的通項公式.定義3：如果一個數(shù)列，從第二項起，每一項減去它前一項所得的差都等于 一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差，通常 用字母d表示.定義4：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常 數(shù)，這個數(shù)列就

5、叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 q來表示.數(shù)列不僅有著廣泛的實際應用，而口它與中學數(shù)學的許多內(nèi)容有著密切聯(lián) 系所以掌握數(shù)列的通項公式的求法，有助于學生理解數(shù)列的概念以及數(shù)列與函 數(shù)關系，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，觀察力和思維能力，提高學生學習數(shù)學的興 趣.下面探求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式以及求數(shù)列通項公式的幾種常見方 法.1.1等差數(shù)列的通項公式根據(jù)等差數(shù)列的定義，對于公差為的等差數(shù)列坷衛(wèi)2，。3，有勺=q + da3 = a2 +d = （a】 +d） + d = ax + 2d他=色 + d =（q + 2d） + d = q + 3d依次類推，就可以得到等差數(shù)

6、列的通項公式：q=q+s-l)d12等比數(shù)列的通項公式對于公比為q的等比數(shù)列%,有。2 =。旳2a3 = a2q = (cqq)q = a、qa4 = a3q = (aq2)q = a 才依次類推，就得到等比數(shù)列的通項公式a尸叩“.2求數(shù)列通項公式的常見方法2.1觀察法觀察各項的特點，觀察數(shù)列中各項與其序號間的關系，分解各項中的變化部 分與不變化部分，再探索各項中變化部分與序號間的關系，從而歸納出構成規(guī)律 寫岀通項公式，關鍵是找出各項與項數(shù)之間的關系.例1：寫岀下列數(shù)列的通項公式：(1) 0,3 , 8 , 15, (2) 2-3 , -3-4 ,4-5, -5-6，(3) 1,-1,1,-1

7、,1,-1,.1解：(1)原數(shù)列可以寫成1-1,4-1 ,9-1 ,16-1 ,既可以寫成 ft, 22 -1,32 -1,42 -1，-故其通項公式為afl=n2-l(2) 原數(shù)列可以寫成(-1廠(1 + 1)(1 + 2)，(-1 尸(2 + 1)(2 + 2),(-1廠(3 + 1)(3 + 2),(-1嚴(4 + 1)(4 + 2), 故此數(shù)列的通項公式為an = (_1)"+】(力+1)(/1 + 2)(3) 因為可看出各項的符號，是一正一頁，所以原數(shù)列可改寫為(一1尸， (-1)3 , (-1(-1幾把它可以寫成(-1)3, (-1)2+, (-1產(chǎn)，(-1)3,故此數(shù)列

8、的一個通項公式為色=(-1)"“2. 2定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項公式的方法叫做定義法.例2：己知等差數(shù)列色的等5項是0,第10項是10,求它的通項公式.2fo = di+(5_l)d解：設首項為q,公差為d,則有、10 = q|+(10_l)d解得 e = -8 , d = 2因此數(shù)列的通項公式為：色=-8(兀-1)2二210例3：已知數(shù)列仏為等比數(shù)列，為5=32 ,他+為=18,且公比§>1， 求通項公式a”a.q2, a.q1 =32解：設首項為，公比為9,則8aq + a" = 1 8由§>1,及解方程組，得q=l

9、, q = 4i所以通項公式為=(v2p'2. 3公式法若已知數(shù)列的前«項和s”與q”的關系，求數(shù)列%的通項色可用例4：已知數(shù)列&的前斤項和£=(-1)5 求數(shù)列匕的通項公式3 解：當 n = l 時，atl = sj = 1當 /i n 2 吋，an sfj sn_ = ( l)n+1 - n ( l)n (71 1)(_1)"(一2 + 1)= (-l)n+1(2n-l)由于斤=時，an =(-l),+1(2n-l) = l所以 =(-ir+,(2n-l)例5：已知s=2n2+/7 + 3 ,求數(shù)列&的通項公式.3解：當你 n = 1

10、時，cin = s =2 + 14-3 = 6當農(nóng)2 吋，an = sn -sn_ =(2才+3)2(一l)2+(一1)+3二物一1由于當 n = 吋，an =4h-1 = 366,71 = 1所以注一 1, n>22. 4待定系數(shù)法有給定條件通項公式中的待定系數(shù)，這種法稱為待定系數(shù)法.例6：在等比數(shù)列色中，勺=1&。4=8，求通項公式5 7解：因為等比數(shù)列的通項公式為二4產(chǎn)=18將已知02=18,4=8代入得："g廣二82 解此方程組，得.=±27，q = ±-/ °、t/ °、川tq=q廣丄(±27)x ±

11、-=(±l)”x27x -例7：已知數(shù)列&滿足陥嚴2d”+3x5”w=6,求數(shù)列色的通項公式.解：設色+兀5曲=2(色+兀5)將色小=2% + 35"代入式,得2+35"+”5刈=紹+2兀5"等成兩邊消去2陽，得35"+兀5"+i =2兀5"兩邊除以5",得3 + 5兀=2兀，則x=-l代入式，得色+廠5曲二2(色5”)_斥打+1由q_5】=6-5=lh0則 曲=2，子數(shù)列色-5是以坷一5"=1為首項，以2 an 5為公比等比數(shù)列，則陽一5“=2"_ 故 =2心+52. 5換元數(shù)當給岀遞

12、推關系求時，主耍掌握通過引進輔助數(shù)列能轉化為等差數(shù)或等 比數(shù)列的形式.例8：已知數(shù)列&的遞推關系為色+嚴2%+1,且°嚴1,求通項公式色4解: = 2a” +1 +1 = 2（陽 +1） 令 bn = an 4- 1"”+i _ d”+i + 1 _ 2bn g+l則輔助數(shù)列&是公差為2的等比數(shù)列/. btj =即 +l = （q+l）qz=22z/.an=2n-l例9：已知數(shù)列%滿足色+嚴丄（1 + 4色+ 24陽）,絢=1,求數(shù)列色 1o的通項公式.解：令如j1+2他,則色=£（肘一1）故=£仇7-1），代入%二召1+電+2包）劣1o

13、得 £©_1）=£1+4><£©2-1）+如即 4v =4+3）2因為汗j1 + 24色,故仇+嚴j1 + 24% 2 0|3則2乞+|=4+3 , 即如=尹勺可化為如-3冷©_3）所以仏廠3是-3=71+24/.-3=4+24-3=2為首項，以丄為公比的等 比數(shù)列./ 、心 / 丫-2因此，63 = 2 -=-"丿 7）丫-2則 bt = -+3、厶)/ | 丫_2即 j1 + 24色=-+3"丿2“ 丫a =3(4丿(2丿1+3'26取倒數(shù)法數(shù)列有形如/（色，"”） = 0的關系，

14、可在等式兩邊同乘以- anan-1 先求出,再求色.例 10：已知 q=l,色+i =，求8+31 31解：由已知可得丄=+1令-=btl,%色則 紜嚴3仇+1然后用等定系數(shù)法求解，可得：b產(chǎn)口2ci ” 3'1例11:已知數(shù)列色中=且當心時，呎春'求通項公式解：將a產(chǎn)嚴一 兩邊取倒數(shù)得：丄-=2 , 2%+1cln %即色是以丄=1為首項公式差為2的等差數(shù)列.即= l + (-l)x2 = 2/i-l5所以2. 7累力口法遞推公式為an+i = an + /（n）,其中/（!） + /（2）+/（防 的和比較易求, 通常解法是把原遞推公式轉化為atl+i-an=f（n）f利用

15、累加法（逐差相加法） 求解.解：由已知得時例 12：已知數(shù)列色中，an =1 , an = an_ +1,求 an .5以上式子累加，利用!二丄一丄得/? (/? + 1) n n + 11 1 1 111cln clk 1112x3(n -2)(n-l) (n - l)/i nn + )2 n +1例13：已知數(shù)列仏滿足 務=d”+2x3"+l , q=3,求數(shù)列的通項公式.解：由 q汁=q】+2x3"+l 得：an+l -an = 2x3n +b則an =（色一色-1）+（色-1 一色-2）+ +（冬一。2）+（。2 一坷）+ 坷= (2x3'+1) + (2x

16、32+1)+ +(2x32 + 1) + (2x3+1) + 1=2(3門+3"一2+ +32+3) + (/i-1) + 3=23(1-3心)1-3+ (一1) + 3=3"3 + 比一1 + 3二3" + 兄一1cin =3" + m _ 128累乘法推公式為all+i=anf(n).解法：把原遞推公式轉化為 如=/()，利用累乘法求解.%例14：已知數(shù)列色中，坷=3 , %=2(/i+l)5"xq,求數(shù)列色的通項公式.解：因為。卄=2(m + 1)5"x£ , a=3所以色h0,則也= 2(+ 1)55故組生生q=2(

17、 1 + 1)5w_, 2(h - 2 4- 1)5"一2 .2(2 + 1)522(1 + l)5'x 3=2,_1 /!(&_ 1) 3x 2x5(w",)+(,i_2)+ +2+, x 3"(n -1)=3x2,_, x5 f x/i!川("一 1)/. an = 3x2,z_1 x5 2 x ai!例15 ：已知數(shù)列色中，a，前農(nóng)項和s”與色的關系是sn=n(2n-l)an ,求通項公式%解：由 sn =n(2n-l)an 得 為=(一1)(2幾一3)%兩式相減得:(2+%嚴(23)%an _ 2/1-3% 2/?+1 an- _

18、 2/t-5 a2 _ 1 '' an-2 2n-5將上面“-1個等式相乘得：乞=(2"一3)(2"-5)(2“-7”31 =3 a(in +1)(2/?- l)(2/i 一 3) 7 5 (2川 +1)(2 一 1)3h " (2/? +1)(2/? -1)29分類法數(shù)列&可以分成兩類，一類是由奇數(shù)項組成的數(shù)列仏心；d , q3，°2?-1，八另一類是由偶數(shù)項組成的數(shù)列m；色，坷，吆，如果上述兩個數(shù)列的通項公式可以求出，h分別為；仇l=f(01 = 1, 2, 3,) 險二g()5 = 1 ,2,3,)例16:在數(shù)列陽中,若 4

19、=1 且 an+i + an - n , 0 = 1,2,3，)求數(shù)列的通項公式.2解：+/=由和得an+ = 1 + an_n為奇數(shù)時,an - a2k_利用公式得：k = 2吋，m = 3 ,色+色_=斤一1陽=1 + d“_2(k > 2 )即如=1 + d| = 1 + 1 = 2；k = 3 時，n = 5 、 即 a5 = 1 + a3 =1 + 2 = 3;£ = 4 吋，n = 7 , 即 。7=1 +。5 =1 + 3 = 4;由此可知 an =k 又an = a2kn = 2k-if h + 1k=2.n +1 an -吆_1 = k =n為偶數(shù)時，an -

20、a2k(k>2)有公式得：色=(2-l)-q =0利用公式得：£ = 2吋，n =4,即ci = 1 + 偽=1 + 0 +1 ；£ = 3 時，n =6,即兔=1 + 匂=1 + 1 = 2；£ = 4 時，n =：8,即遍=1+% =1 + 2 = 3;由此可知an=k-lrj乂 ，：cln =cl2k 即 n=，k=-an =鳥_1=勺_1因此數(shù)列色得通項公式為："為奇數(shù)(=1, 2, 3,)“為偶數(shù)(77=1, 2,3, )210歸納，猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī) 律，歸納才想出數(shù)列的通項公式，然

21、后再用數(shù)學歸納法證明之.摩士摩保槍夂bachelor 's thesis例17：在數(shù)列q中，q=2 , %=；-叫+ 1,求通項公式an .解：坷=2 , an+l = c£ 一叫+1由 l_l 知 nr lls 色=2 ,冬4 ,為=5猜想：an=n+總結本交討論了關于求數(shù)列的通項公式的幾種常見方法，這些方法我們可以按需 要選用，但這些方法不一定適合數(shù)列的所有類型，除了我著重討論的這些方法之 為，還有別的求數(shù)通項公式的方法，需要我們的研究.可以看到求數(shù)列通項公式 的確具有很強的技巧性，與我們所學的基本知識與技能，基本思想與方法有很犬 關系，因而在平日教育學的過程中，既有加強基本知識，基本方法，基本職能和 基本思想的學習，又要注意培養(yǎng)和提高數(shù)學素質(zhì)與能力和創(chuàng)新精神.這就要求無 論教師還是學生都必須提高課堂的教育學的效率這里要得說明數(shù)列的通項公式 不只是一個，一個數(shù)列可能有多個通項公式.