3.2三角形三條邊的關(guān)系學(xué)案

1、3.2 三角形三條邊的關(guān)系學(xué)案教學(xué)目標(biāo)會(huì)按三邊的關(guān)系對(duì)三角形進(jìn)行分類. 理解三角形三邊關(guān)系的定理及推論，并會(huì)初步應(yīng)用它們來(lái)解決問(wèn)題. 培養(yǎng)方程、分類討論的思想，滲透邏輯推理的訓(xùn)練. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)三角形三邊關(guān)系的定理和推論是重點(diǎn);難點(diǎn)是三角形按邊的關(guān)系進(jìn)行分類的原則 . 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、三角形按邊的關(guān)系分類教師拿出事先準(zhǔn)備好的三個(gè)三角形,從邊的大小關(guān)系角度來(lái)讓學(xué)生觀察它們有什么區(qū)別 ? 教師注意引導(dǎo)學(xué)生從分類的原則不重不漏的角度考慮三個(gè)圖形的關(guān)系: 從而發(fā)現(xiàn)三角形按邊的關(guān)系來(lái)分類只有以上三種情況. 教師給三個(gè)圖中的三角形分別命名,并讓學(xué)生敘述等腰三角形各部分的名稱 ,啟發(fā)學(xué)生總結(jié)三角形按邊的相

2、等關(guān)系分類如下: 強(qiáng)調(diào)等腰三角形是至少有兩邊相等的三角形,其中包括特殊情況 :底邊和腰相等的等腰三角形等邊三角形.因此等腰三角形與等邊三角形是一般與特殊的關(guān)系,并注意對(duì)不等邊三角形的理解. (投影)練習(xí) 1 將以下四種三角形的代表字母填寫(xiě)在圖3-15 中相應(yīng)的位置: a= 三角形 ; b= 不等邊三角形 ; c=等腰三角形 ; d= 等邊三角形 . （投影）練習(xí) 2 判斷下列說(shuō)法的正確性 . （1）不等邊三角形指不是等邊三角形的三角形. （2）三角形按邊分有不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形. 通過(guò)此題，讓學(xué)生對(duì)比等邊三角形與不等邊三角形的概念，糾正三角形分類時(shí)的習(xí)慣性錯(cuò)誤. 二、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，

3、研究三角形三邊的關(guān)系. 1.實(shí)驗(yàn)操作，深入理解三角形的定義. （1）讓學(xué)生用事先準(zhǔn)備好的三根木棍動(dòng)手拼成三角形，量出各邊的長(zhǎng)度，并回答三角形的定義. （2）教師引導(dǎo)學(xué)生思考：不在同一條直線上的任意三條線段“都”能首尾順次相接嗎？讓學(xué)生將手中三根木棍中最短的一根截去一小段，看是否還能首尾順次相接，是否能組成三角形，連續(xù)進(jìn)行此過(guò)程，得出兩點(diǎn)：有兩種情況不能構(gòu)成三角形. 當(dāng)較短的兩條線段之和小于第三條線段長(zhǎng)時(shí)，三角線段未能首尾順次相接；當(dāng)較短的兩條線段之和等于第三條線段長(zhǎng)時(shí)，三條線段能首尾順次相接，但未能構(gòu)成三角形. 不在同一條直線上的三條線段要能首尾相接構(gòu)成三角形是有條件的，其中任意兩條線段的長(zhǎng)度

4、之和必須大于第三條線段的長(zhǎng). 2. 猜想并證明三角形的三邊關(guān)系定理. (1) 繼續(xù)剛才的問(wèn)題， 構(gòu)成三角形后， 三角形的三邊滿足什么關(guān)系？得出猜想 . (2) 啟發(fā)學(xué)生利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)推導(dǎo)定理，并寫(xiě)出定理的符號(hào)表示方法 .3. 演繹推理，發(fā)現(xiàn)推論 . 師：三角形的兩邊之和大于第三邊，那么兩邊之差呢？觀察定理的數(shù)學(xué)表示式，如何由定理得出問(wèn)題的答案？如圖 3-16，在 abc 中，bcabac ，ab+bcac ，bc+acab ，ac+abbc. 生：由移項(xiàng)可得出三角形兩邊之差與第三邊的關(guān)系. 教師提醒學(xué)生，為使三角形兩邊之差為正數(shù)，在上述三個(gè)式子中，需要挑選合適的一個(gè)來(lái)證明所需要的

5、結(jié)論，如要證明bc-ab 與 ac的關(guān)系，需選擇式變形為acbc-ab. 由此得出：推論 1 三角形的兩邊之差小于第三邊. 結(jié)合三角形三邊關(guān)系的定理及推論1，可從另一角度概括出第三邊的范圍 . 推論 2 三角形的第三邊大于另兩邊之差的絕對(duì)值，且小于另兩邊之生. （投影）練習(xí) 3 一個(gè)三角形的兩邊a=3，b=6,能確定第三邊 c 的長(zhǎng)度碼？能確定 c 的范圍嗎？若 c 為偶數(shù)，能求出 c 的值嗎？答： |b-a|cb+a, 3c1) 教師板書(shū) (1)、 （2）的格式，讓學(xué)生練習(xí)其余題目 .注意總結(jié)以下兩點(diǎn)：(1)事實(shí)上，當(dāng)三條線段兩兩互不相等時(shí)，只要三條線段中較小的兩條之和大于第三條，就可以判斷

6、它們能構(gòu)成三角形. (2)等腰三角形的一腰大于底邊的一半. （投影）練習(xí) 4 以 4cm 長(zhǎng)的線段為底， 1cm 長(zhǎng)的線段為腰，能否構(gòu)成等腰三角形？以1cm 長(zhǎng)的段線為底， 4cm 長(zhǎng)的線段為腰呢？通過(guò)此題，讓學(xué)生總結(jié)出以下結(jié)論：已知等腰三角形的三邊時(shí)，若最短邊大于最長(zhǎng)邊的一半，則最長(zhǎng)邊可能為底或腰；否則最長(zhǎng)邊只可能為腰 . （板書(shū)）例2 已知： abc 的周長(zhǎng)是 84cm,b=6(c-a),a:c=7:8. 求三邊 a,b,c的長(zhǎng). 分析：將三角形三邊的長(zhǎng)看成三個(gè)未知數(shù)，題目分別提供了未知數(shù)所滿足的三個(gè)等量關(guān)系，可翻譯成三個(gè)方程.教師必須提早培養(yǎng)學(xué)生具備“列方程” 的意識(shí)，而根據(jù)條件a:c=

7、7:8,最好利用設(shè)比使解方程的計(jì)算簡(jiǎn)化，最后還要檢驗(yàn)是否能構(gòu)成三角形.（板書(shū)詳細(xì)過(guò)程）設(shè) a=7,c=8, 則 b=6,代入得： a=28cm,b=24cm,c=32cm . 28+2432, 它們能構(gòu)成三角形 . 說(shuō)明：也可直接用代入消元法解這個(gè)方程. （投影）練習(xí) 5 一個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)為組18cm. (1)腰長(zhǎng)的 3 倍比底邊長(zhǎng)的 2 倍多 6cm.求各邊長(zhǎng) . (2)已知其中一邊長(zhǎng)為4cm，求其它兩邊長(zhǎng)；若一邊長(zhǎng)為5cm 呢？(3)（機(jī)動(dòng)）若底邊長(zhǎng)是偶數(shù)，求三邊長(zhǎng). 分析：（1）利用方程的觀點(diǎn)列出關(guān)于腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)的方程組，等腰三角形的三邊一般設(shè)兩個(gè)未知數(shù)即可.設(shè)腰長(zhǎng)為 xcm，底為 y

8、cm，則解得三邊長(zhǎng)分別為6cm,6cm,6cm. (2) 因?yàn)殚L(zhǎng)為 4cm 的邊可能是腰，也可能是底，所以需要分類討論.照課本過(guò)程講解，答案為一解；當(dāng)一邊長(zhǎng)為5cm 時(shí)，答案為兩解：5cm，8cm 或 6.5cm,6.5cm. (3) 設(shè)腰長(zhǎng)為 xcm,底邊長(zhǎng) ycm,由等腰三角形腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)的關(guān)系列出 2xy. 結(jié)合周長(zhǎng) 2x+y=18,代入消 x 后, 將 y 的范圍縮小為0y12(ab+ac). 分析:根據(jù)所要證的不等式的結(jié)構(gòu),選擇恰當(dāng)?shù)娜切蝸?lái)運(yùn)用三角形三邊關(guān)系的定理 ,結(jié)合不等式的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行推理.必要時(shí)可添加輔助線構(gòu)造三角形運(yùn)用三邊關(guān)系定理.例題見(jiàn)補(bǔ)充題 4(1). 證明 ad 為

9、bc邊中線 , bd=dc,( 三角形中線的定義 ) 2(ad+bd)=2ad+2bd=(ad+bd)+(ad+dc). 又在abd中,ad+bdab, 在adc 中,ad+dcac, 即2(ad+bd)ab+ac, ad+bd12(ab+ac). 五、師生共同小結(jié)1. 三角形按邊如何分類 ?需防止什么錯(cuò)誤 ? 2.三角形三邊滿足什么關(guān)系?三角形中的第三邊在什么范圍內(nèi)?3.如何判斷三條線段能否構(gòu)成三角形?4.計(jì)算三角形三邊經(jīng)常采用什么方法?需要注意什么問(wèn)題 ? 5.(機(jī)動(dòng)) 怎樣利用三角形三邊的關(guān)系來(lái)證明三角形中線段的不等關(guān)系? 六、作業(yè)課本第 17 頁(yè)第9 題. 補(bǔ)充題: 1. 三 角 形

10、三 條 邊 的 長(zhǎng) 分 別 是3,1-2m 和8, 求m 的 取 值 范圍.(答:-5m2; 0bbd+dc; (2)da+db+dc21(ab+ac+bc); (3)da+db+dcab+bc+ac. 提示： （1）延長(zhǎng) bd交 ac于 e，在 abe與cde 中使用三邊關(guān)系定理； （2）連結(jié) ad ，在abd ，acd 及bcd 中用定理；（3）類比第（1）問(wèn)，三式相加 . 板書(shū)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明本教學(xué)設(shè)計(jì)需 1 課時(shí)完成 . 1.三角形按邊的關(guān)系分類對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn),他們經(jīng)常會(huì)把等邊三角形與等腰三角形并列對(duì)待.因此,教師從三個(gè)三角形的例子正面引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形三邊的大小關(guān)系進(jìn)行分類,并立即用兩組練習(xí)從正、反兩方面強(qiáng)化分類的層次性,以便有效地解決這類問(wèn)題. 2.三角形三邊的關(guān)系定理與三角形的定義有著