2022年門頭溝中考數(shù)學模擬試卷一道幾何壓軸題的多種解法

1、學習必備歡迎下載16：如圖，在 acb和aed中，ac=bc,ae=de, acd= aed=90 ，點 e 在 ab上，f是線段 bd的中點，連結 ce 、fe 。（1） 請你探究 ce和 fe之間的數(shù)量關系；（2） 將圖 1中的 aed繞點 a 順時針旋轉，使得 aed的一邊 ae恰好與 acb的一邊 ac在同一條戰(zhàn)線上，連結bd ，取 bd的中點 f，求 ce和 fe之間的數(shù)量關系；（3） 將圖 1 中的 aed繞點 a 順時針旋轉任意角度，使得e在acb ，求 ce和 fe之間的數(shù)量關系。解（1） ：分析：要探究ce和 ef的數(shù)量關系，我們不妨連結cf, 通過觀察，很容易猜想到 cef

2、是等腰直角三角形。于是，我們就想方設法證明ef=cf, 在想法證明 ecf=45 ，于是就有了 解法 1；另外，我們也可以想方設法證明ef=cf, 再證明 efc=90 ，于是，就有了 解法 2. 解法 1：如圖，連結 cf ， aed= acb=90 b、c、d、e四點共圓且 bd是該圓的直徑，點 f 是 bd的中點，點 f 是圓心，ef=cf=fd=fb, fcb= fbc, ecf= cef, 由圓周角定理得： dce= dbe, fcb+ dce= fbc+ dbe=45 ecf=45= cef , cef是等腰直角三角形，ce=ef. 解法 2：易證 bed= acb=90 ，點 f

3、是 bd的中點，cf=ef=fb=fd, dfe= abd+ bef, abd= bef, dfe=2 abd, 同理 cfd=2 cbd, dfe+ cfd=2( abd+ cbd)=90 ，即 cfe=90 ， ce =ef. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載解 （2） ：分析：觀察圖形，很容易猜想到 ce=ef, 所以，就想法求出 ecf=45 ， efc=90 ，于是，就有了解法1；當然，也可以延長ef交 bc于點 g，先證明ceg為等腰直角三角形， 再證明

4、 cf eg, 從而得出 ce=ef. 于是就有了解法2. 解法 1：連結 cf 、af ， bad= bac+ dae=45 +45=90，又點 f 是 bd的中點，fa=fb=fd ，而 ac=bc,cf=cf, acf bcf, acf= bcf=acb=45 ，fa=fb,ca=cb, cf所在的直線垂直平分線段ab ，同理， ef所在的直線垂直平分線段ad, 又 daba, efcf,cef為等腰直角三角形，ce=ef. 解法 2：延長 ef交 bc于點 g， aed= acb=90 ，de bc, edf= gbf, def= bgf, 又 df=bf, def bgf, ef=g

5、f,de=bg, 又 de=ae,ac=bc, ac-ae=bc-bg, 即 ce=cg, cf eg, ecf= acb =45，ceef. 解(3) ： 分析： 要求 ce 和fe之間的數(shù)量關系系。觀察圖形，我們不難猜想，ce=ef.所以，仍需想法證明cef為等腰直角三角形，于是，就連接cf 。考慮到點f為 bd的中點，我們不妨延長ef到點 g，使 fg=ef ，連接 bg 、cg, 易證 def bgf ，從而得出bg=de=ae, 而要證 cef為等腰直角三角形，只需證明ecg為等腰直角三角形即可， 所以必須想方設法證明ce=cg, ecg=90 ，因而，須再證明 bcg ace, 于

6、是，就有了解法1. 解法 1：連接 cf, 延長 ef到點 g，使 fg=ef ，連接 bg 、cg. 易證 def bgf ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載bg=de, fbg=fde, de bg, ade是等腰直角三角形， ae=de, bg= ae, 延長 ae分別交 bc于點 p、交 bg延長線于點 h， bha= aed=90 = acb ， cap+ apc= cbh+ bph=90 ， apc= bph, cap= cbh, 在ace與 bcg中，

7、ae=bg, cap= cbh, ac=bc, ace bcg, ce=cg, ace= bcg, bcg+ bce= ace+ bce=90 ，即 ecg=90 , ceg 為等腰直角三角形，而 ef=fg, ecf=45 ，cf eg, 即cef為等腰直角三角形，ceef. 又分析：要證 ce=ef, 需證 cef為等腰直角三角形，為此，需證ef=cf, 因點 f 是 bd的中點，所以，我們不妨延長be 到點 g，使 eg=de, 延長 bc到 h，使 ch =bc, 這樣， ef 、cf分別成了 dbg和dbh的中位線，我們只需證明bg=dh, 便可得出 ef=cf 了，顯然，這是可以的

8、。下面下面，我們再想法證明 ecf=45 ，問題就得以解決了。所以，就有了解法2. 解法 2：連接 cf, 延長 de到點 g，使 eg= de, 連接 bg，延長 bc到點 h，使 ch=bc ，連接 dh，連接 ag,ah, ae de,eg=de, ac bc,ch=bc，ad=ag, ah=ab, dah+ dab= bah=90 ， bag+ dab= dag=90 dah= bag, dahgab, dh=bg, 點 f 是 bd 的中點，且 ch=bc,eg=dg, 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 -

9、 - - - - - - - -學習必備歡迎下載cf dh,cf=dh,ef bg,ef=bg, cf=ef, cae+ dac= dae=45 ， dah+ dac= cah=45 ， cae= dah, 又 ah:ac=ad:ae=，ace ahd, ace= ahd, 而 bcf= bhd, ace+ bcf= ahd+ bhd= ahb=45 ， ecf=45，cef為等腰直角三角形，ceef. 再分析：要證 ce=ef, 需證 ef=cf, cfe=90 ，考慮到點 f是 bd的中點，且abc和ade均為等腰直角三角形，為了充分利用其特殊性質，我們不妨分別取其斜邊 ab和 ad的中點

10、 g 、h,再連接 cg 、eh 、fg 、fh ，這樣，就出現(xiàn)了 cfg 和feh,而且可以證明這兩個三角形全等，從而得出cf=e,再證明 cfe=90 就達到目的了。于是就有了解法3.解法 3：連接 cf ，分別取 ab 、ad的中點 g 、h,連接 cg 、eh 、fg 、fh ，又點 f 是 bd的中點，fg=ad, ae=de, aed=90 ，eh= ad, fg=eh, 同理 cg=fh, fg ad,fh ab, 四邊形 ahfg 是平行四邊形， agf= ahf ，易證 agc= ahe=90， agf- agc= ahf- ahe, 即 cgf= ehf, cfg feh, gcf= hfe, 設 fh 與 cg交于點 m, 則 cmf= cgh=90， gcf+ cfh=90， hfe + cfh=90即 cfe= 90,