初中數(shù)學(xué)解題方法之旋轉(zhuǎn)

1、初中數(shù)學(xué)解題方法之旋轉(zhuǎn)【摘要】初中圖形變換包含平移、翻折和旋轉(zhuǎn)， 我們要通過實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想象的方法掌握運(yùn)動(dòng)的本質(zhì), 在圖形的運(yùn)動(dòng)中找到不變量，然后解決問題.【關(guān)鍵詞】解題方法；幾何變換；旋轉(zhuǎn)在幾何解題中，旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保 持，但改變其位置，使其轉(zhuǎn)化成新的有利于我們論證的幾何 圖形.一、三角形角度問題（旋轉(zhuǎn)構(gòu)成直角三角形）例1如圖1,點(diǎn)0是等邊三角形abc內(nèi)一點(diǎn)，0a二3, 0b = 4, 0c = 5,試證明以下結(jié)論：zaob = 150° .分析 這里待證結(jié)論與題目的已知條件看似風(fēng)馬牛不相 及，但是已知條件特征明確，有等邊三角形，即可以產(chǎn)生60°

2、的角，而oa = 3, ob = 4, oc = 5的線段雖沒法直接運(yùn)用, 但是很容易使人聯(lián)想到勾股數(shù)，因此如果能將其放到某一個(gè) 三角形中，便可以應(yīng)用勾股定理逆定理得到90。的直角，再 看結(jié)論，恰好是要證明的150。角，正好是60°與90°之和, 如果突破這里，問題便迎刃而解了.解 將線段bo繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到:bd的位置（如 圖2）（或?qū)c0繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至abad的位置，使得 bc 與 ba 重合），則 z0bd = zcba = 60° ,且 ad = 0c = 5, 從而得abod為邊長是3的等邊三角形，0d = 4且zbod二 60&

3、#176; .而在aaod中，由勾股定理逆定理得aaod為直角三 角形，且za0d = 90° ,從而zaob= zaod+ zbod = 150° . 小結(jié)這是一個(gè)關(guān)于旋轉(zhuǎn)的典型題目，較好地體現(xiàn)了圖形在 旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)過程中對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角不變的性質(zhì)，結(jié)合圖形的幾 何特征，融合勾股定理逆定理、等邊三角形等性質(zhì)，對(duì)提升 學(xué)生幾何思維，經(jīng)由發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知 識(shí)來解決問題的過程，較好地鍛煉和提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).二、面積問題（旋轉(zhuǎn)面積之和）分析aaob中只知道oa, 0b兩條邊，求它的面積就需 要求出其中某個(gè)邊上的高，由例1我們知道za0b =150° ,

4、延長a0,過點(diǎn)b作ee丄a0延長線于點(diǎn)e,則rtaboe中， 0b = 4, zboe = 30° ,由三角函數(shù)可以求得be的長，從 而aaob的面積可求用同樣的方法能否求得aaoc的面積 呢？請(qǐng)讀者一試.下面我們利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造新的圖形來求.小結(jié)這里所求的是一個(gè)凹四邊形的面積，可將其分割 開來求，由前面方法的鋪墊，aaob的面積易求，但是aaoc 的面積就顯得不是很容易求得，通過旋轉(zhuǎn)后，將待求的四邊 形轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何圖形，化繁為易，值得推敲.三、證明線段的和差關(guān)系（截長或補(bǔ)短問題）例3探究問題：（1）方法感悟：如圖5,在正方形abcd中，點(diǎn)e, f分別為dc, bc邊上 的點(diǎn)，且滿足z

5、eaf二45° ,連接ef,求證：de + bf二ef.感悟解題方法，并完成下列填空：將aade繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到abg,此時(shí)ab與 ad重合，由旋轉(zhuǎn)可得：ab = ad, bg 二 de, zl = z2, zabg = zd = 90° , zabg + zabf 二 90°+ 90° 二 180° ,因此，點(diǎn)g, b, f在同一條直線上.t zeaf 二 45。，i z2 + z3 = zbad zeaf = 90° 45°= 45° .t zl = z2, zl + z3 = 45° 即

6、zgaf 二.又 ag = ae, af = af, /. agaf二 ef,故 de + bf 二 ef.(2) 方法遷移：(答案：de + bf = ef.)(3) 問題拓展：小結(jié)線段和差的轉(zhuǎn)化是依據(jù)圖形的特征，應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的 方法達(dá)到目的，該類型的題目需要利用旋轉(zhuǎn)解決，特別注意 旋轉(zhuǎn)以后必須要證共線，想想為什么.由于題目具有很強(qiáng)的 幾何特征，比如有相等的邊、互補(bǔ)的角等，同時(shí)依據(jù)旋轉(zhuǎn)后 圖形的固有性質(zhì)不變，牢牢把握這類性質(zhì)是解決此類題目的關(guān)鍵.四、正方形中的周長定值問題例4如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形aob的 頂點(diǎn)在第一象限，底邊0b在x軸的正半軸上，且0a = ab = 10厘米，

7、0b=12厘米，動(dòng)點(diǎn)c從點(diǎn)a出發(fā)，沿a0邊向點(diǎn)0 運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)c不與點(diǎn)0重合），運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒，運(yùn)動(dòng) 時(shí)間為t秒.過點(diǎn)c作cd0b交ae于點(diǎn)d,以cd為邊，在 點(diǎn)a的下方作正方形cdef （如圖8）.（1）當(dāng)t為何值時(shí)，ef在0b ±?（2）當(dāng)邊ef在0b邊上時(shí)（如圖9）,連接正方形cdef 的對(duì)角線ce,將zdce繞點(diǎn)c按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0。 小結(jié)在動(dòng)態(tài)過程中，結(jié)合圖形的位置是不斷發(fā)生變化的， 但是作為圖形的一種整體運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)上保持了圖形本身的內(nèi) 在屬性，邊相等，或角相等，或邊角都相等，或邊角同時(shí)都 以某種規(guī)律增大或減小，而其相對(duì)性質(zhì)保持穩(wěn)定，這時(shí)候我 們便可以借助這些屬性加以求

8、解.此題巧妙地借助旋轉(zhuǎn)，利 用轉(zhuǎn)化思想及截長補(bǔ)短的方法，證明了圖形在動(dòng)態(tài)過程中的 某些屬性的不變性.五、存在性問題分析affg作為一個(gè)整體元素進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中 eg所在直線與射線ad、射線fb有交點(diǎn)，這里首先需要弄清 楚在旋轉(zhuǎn)的初始位置時(shí)，點(diǎn)g和點(diǎn)e在哪，與要求的射線ad、 射線fb又有怎樣的位置關(guān)系這里通過計(jì)算可以得到剛開始 旋轉(zhuǎn)時(shí)，af二3，點(diǎn)e與點(diǎn)b重合，而點(diǎn)g恰好在射線ad 上.當(dāng)aefg繞點(diǎn)f逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)g就會(huì)到射線ad左 上方，同時(shí)點(diǎn)e會(huì)到zmon內(nèi)部；當(dāng)aefg繞點(diǎn)f順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)，則點(diǎn)g會(huì)到zmon內(nèi)部，同時(shí)點(diǎn)e到射線fb下方，隨著 旋轉(zhuǎn)角的增大，點(diǎn)g, f都有可能轉(zhuǎn)

9、到射線fb下方.解要使aamn為等腰三角形，則分別滿足以下情況：(2) an 二 mn 時(shí)，如圖 13, za = zamn = 30° ,則 zmnb = zfne = 60° ,而zxefg是邊長為3的等邊三角形, 所以zfen = 60°，且fe二3,從而可得zfen是邊長為3 的等邊三角形，即點(diǎn)g與點(diǎn)n重合，fn = 3, an二af + fn 二 3 + 3 二 6.(3) am二an時(shí)， 如果位置如圖14所示，則zanm = zamn = 75° , zxefg 是等邊三角形，則zfeg二 60。，zfen =120° ,此時(shí)在zxnef 中，zfn