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1、初中數(shù)學(xué)解題方法之旋轉(zhuǎn)【摘要】初中圖形變換包含平移、翻折和旋轉(zhuǎn), 我們要通過實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想象的方法掌握運(yùn)動(dòng)的本質(zhì), 在圖形的運(yùn)動(dòng)中找到不變量,然后解決問題.【關(guān)鍵詞】解題方法;幾何變換;旋轉(zhuǎn)在幾何解題中,旋轉(zhuǎn)的作用是使原有圖形的性質(zhì)得以保 持,但改變其位置,使其轉(zhuǎn)化成新的有利于我們論證的幾何 圖形.一、三角形角度問題(旋轉(zhuǎn)構(gòu)成直角三角形)例1如圖1,點(diǎn)0是等邊三角形abc內(nèi)一點(diǎn),0a二3, 0b = 4, 0c = 5,試證明以下結(jié)論:zaob = 150° .分析 這里待證結(jié)論與題目的已知條件看似風(fēng)馬牛不相 及,但是已知條件特征明確,有等邊三角形,即可以產(chǎn)生60°
2、的角,而oa = 3, ob = 4, oc = 5的線段雖沒法直接運(yùn)用, 但是很容易使人聯(lián)想到勾股數(shù),因此如果能將其放到某一個(gè) 三角形中,便可以應(yīng)用勾股定理逆定理得到90。的直角,再 看結(jié)論,恰好是要證明的150。角,正好是60°與90°之和, 如果突破這里,問題便迎刃而解了.解 將線段bo繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到:bd的位置(如 圖2)(或?qū)c0繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至abad的位置,使得 bc 與 ba 重合),則 z0bd = zcba = 60° ,且 ad = 0c = 5, 從而得abod為邊長是3的等邊三角形,0d = 4且zbod二 60&
3、#176; .而在aaod中,由勾股定理逆定理得aaod為直角三 角形,且za0d = 90° ,從而zaob= zaod+ zbod = 150° . 小結(jié)這是一個(gè)關(guān)于旋轉(zhuǎn)的典型題目,較好地體現(xiàn)了圖形在 旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)過程中對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角不變的性質(zhì),結(jié)合圖形的幾 何特征,融合勾股定理逆定理、等邊三角形等性質(zhì),對(duì)提升 學(xué)生幾何思維,經(jīng)由發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知 識(shí)來解決問題的過程,較好地鍛煉和提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).二、面積問題(旋轉(zhuǎn)面積之和)分析aaob中只知道oa, 0b兩條邊,求它的面積就需 要求出其中某個(gè)邊上的高,由例1我們知道za0b =150° ,
4、延長a0,過點(diǎn)b作ee丄a0延長線于點(diǎn)e,則rtaboe中, 0b = 4, zboe = 30° ,由三角函數(shù)可以求得be的長,從 而aaob的面積可求用同樣的方法能否求得aaoc的面積 呢?請(qǐng)讀者一試.下面我們利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造新的圖形來求.小結(jié)這里所求的是一個(gè)凹四邊形的面積,可將其分割 開來求,由前面方法的鋪墊,aaob的面積易求,但是aaoc 的面積就顯得不是很容易求得,通過旋轉(zhuǎn)后,將待求的四邊 形轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何圖形,化繁為易,值得推敲.三、證明線段的和差關(guān)系(截長或補(bǔ)短問題)例3探究問題:(1)方法感悟:如圖5,在正方形abcd中,點(diǎn)e, f分別為dc, bc邊上 的點(diǎn),且滿足z
5、eaf二45° ,連接ef,求證:de + bf二ef.感悟解題方法,并完成下列填空:將aade繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到abg,此時(shí)ab與 ad重合,由旋轉(zhuǎn)可得:ab = ad, bg 二 de, zl = z2, zabg = zd = 90° , zabg + zabf 二 90°+ 90° 二 180° ,因此,點(diǎn)g, b, f在同一條直線上.t zeaf 二 45。,i z2 + z3 = zbad zeaf = 90° 45°= 45° .t zl = z2, zl + z3 = 45° 即
6、zgaf 二.又 ag = ae, af = af, /. agaf二 ef,故 de + bf 二 ef.(2) 方法遷移:(答案:de + bf = ef.)(3) 問題拓展:小結(jié)線段和差的轉(zhuǎn)化是依據(jù)圖形的特征,應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的 方法達(dá)到目的,該類型的題目需要利用旋轉(zhuǎn)解決,特別注意 旋轉(zhuǎn)以后必須要證共線,想想為什么.由于題目具有很強(qiáng)的 幾何特征,比如有相等的邊、互補(bǔ)的角等,同時(shí)依據(jù)旋轉(zhuǎn)后 圖形的固有性質(zhì)不變,牢牢把握這類性質(zhì)是解決此類題目的關(guān)鍵.四、正方形中的周長定值問題例4如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰三角形aob的 頂點(diǎn)在第一象限,底邊0b在x軸的正半軸上,且0a = ab = 10厘米,
7、0b=12厘米,動(dòng)點(diǎn)c從點(diǎn)a出發(fā),沿a0邊向點(diǎn)0 運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)c不與點(diǎn)0重合),運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒,運(yùn)動(dòng) 時(shí)間為t秒.過點(diǎn)c作cd0b交ae于點(diǎn)d,以cd為邊,在 點(diǎn)a的下方作正方形cdef (如圖8).(1)當(dāng)t為何值時(shí),ef在0b ±?(2)當(dāng)邊ef在0b邊上時(shí)(如圖9),連接正方形cdef 的對(duì)角線ce,將zdce繞點(diǎn)c按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0。 小結(jié)在動(dòng)態(tài)過程中,結(jié)合圖形的位置是不斷發(fā)生變化的, 但是作為圖形的一種整體運(yùn)動(dòng),實(shí)質(zhì)上保持了圖形本身的內(nèi) 在屬性,邊相等,或角相等,或邊角都相等,或邊角同時(shí)都 以某種規(guī)律增大或減小,而其相對(duì)性質(zhì)保持穩(wěn)定,這時(shí)候我 們便可以借助這些屬性加以求
8、解.此題巧妙地借助旋轉(zhuǎn),利 用轉(zhuǎn)化思想及截長補(bǔ)短的方法,證明了圖形在動(dòng)態(tài)過程中的 某些屬性的不變性.五、存在性問題分析affg作為一個(gè)整體元素進(jìn)行旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中 eg所在直線與射線ad、射線fb有交點(diǎn),這里首先需要弄清 楚在旋轉(zhuǎn)的初始位置時(shí),點(diǎn)g和點(diǎn)e在哪,與要求的射線ad、 射線fb又有怎樣的位置關(guān)系這里通過計(jì)算可以得到剛開始 旋轉(zhuǎn)時(shí),af二3,點(diǎn)e與點(diǎn)b重合,而點(diǎn)g恰好在射線ad 上.當(dāng)aefg繞點(diǎn)f逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),則點(diǎn)g就會(huì)到射線ad左 上方,同時(shí)點(diǎn)e會(huì)到zmon內(nèi)部;當(dāng)aefg繞點(diǎn)f順時(shí)針旋 轉(zhuǎn),則點(diǎn)g會(huì)到zmon內(nèi)部,同時(shí)點(diǎn)e到射線fb下方,隨著 旋轉(zhuǎn)角的增大,點(diǎn)g, f都有可能轉(zhuǎn)
9、到射線fb下方.解要使aamn為等腰三角形,則分別滿足以下情況:(2) an 二 mn 時(shí),如圖 13, za = zamn = 30° ,則 zmnb = zfne = 60° ,而zxefg是邊長為3的等邊三角形, 所以zfen = 60°,且fe二3,從而可得zfen是邊長為3 的等邊三角形,即點(diǎn)g與點(diǎn)n重合,fn = 3, an二af + fn 二 3 + 3 二 6.(3) am二an時(shí), 如果位置如圖14所示,則zanm = zamn = 75° , zxefg 是等邊三角形,則zfeg二 60。,zfen =120° ,此時(shí)在zxnef 中,zfn
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