兩條相交直線夾角

1、課題：兩條相交直線的夾角 ( 教案 )【教案目標】：1、理解兩條直線相交時, 直線夾角與直線方向向量夾角的關系；掌握根據(jù)已知條件求出兩條相交直線的夾角；2、理解兩條直線垂直的充要條件.3、體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，培養(yǎng)思維能力.【教案重點】：兩條相交直線的夾角.【教案難點】：夾角公式的應用.【教案過程】：一、 課題引入：平面上兩條直線有幾種位置關系？相交、平行、重合（垂直是相交的一種特殊情形）下面我們對兩條直線的位置關系作進一步研究（引出課題：兩條直線的夾角）二、新課講授：1. 兩條直線的夾角：平面上兩條相交直線，它們構成四個角，是兩對對頂角如果一對是銳角，另一對是鈍角，那么我們規(guī)定銳角作為它們

2、的夾角如果四個角都是直角，那么規(guī)定兩直線夾角是直角，此時也稱兩條直線相互垂直平面上兩條直線相交時構成兩組對頂角我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角 規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為所以，兩條相交直線的夾角 022. 夾角公式：如果已知兩條直線的方程分別為：l1 : a1 x b1 y c10（其中 a ,b 不同時為零，l2 : a2 x b2 y c2011a2 , b2 不同時為零）系數(shù)確定，方程確定，直線確定，它們的夾角也就確定，那么如何根據(jù)方程來求l1 與 l 2的夾角？設 l1 ,l2 的方向向量分別為d1 , d2 ，向量 d1 , d2 的夾角為，直

3、線 l1 ,l 2 的夾角為將直線 l1,l2 的方向向量 d1, d2 平移至同一起點，構成四種情形，如圖yd1d2l1Ol2x當 0時，；當時，于是， coscos 22根據(jù)直線方程，可設它們的方向向量分別為：d1b1, a1 , d2b2 , a2 由夾角的計算公式得： cosd1 d2a1a2b1b2，d1 d2a12b12a22b22a abb2于是，兩條直線的夾角公式為：cos121a2b2a2b21122a1 ,a2 , b1 ,b2 分別是直線一般式方程中x, y 前面的系數(shù)，已知這四個數(shù)就可以應用夾角公式求兩直線夾角的余弦因為余弦函數(shù)在0,上單調遞減，所以此時角是唯一確定2的

4、例 1、已知兩條直線的方程分別是：l1 : x 2 y3 0, l2 : x 3 y 20 ，求兩條直線的夾角 11232 ，解：由題意： cos2212( 3)2122，即兩直線的夾角為44練習： 求下列各組直線的夾角.（1） l1 : y3x1,l 2 :3 yx402（2） l1 : x20,l2 : 3xy306（3） l1 : yx1 0,l 2 : y44例 2、已知直線 l1 :3xy0 與直線 kxy10 ，若直線 l1 和直線 l2 的夾角為 60 ，求k 的值 .解：由 |3k1|1 得 k3或0 .2k212cos0 得兩直線的夾角為，稱兩條直線相互垂直，是兩直線相交的一

5、種特殊情2形，回顧夾角公式的推導過程你能否找到一個關于兩直線垂直 （板書）的命題？當 a1 a2b1b2 0 時， cos0，此時，兩直線相互垂直；反之，當兩直線2垂 直 時 ， 它 們 的 方 向 向 量 d1b1 , a1 , d2b2 , a2也相互垂直，所以d1 d2 bb1 2a1a2 0 兩條直線垂直的 充要條件 是： a abb20 ；121當 k1 , k2都存在時，兩條直線垂直的充要條件是： kk1；12所以兩條直線垂直的充要條件也可為：k1 k21 或一條斜率不存在另一條的斜率為零例 3、已知直線 l 經(jīng)過點 P2,3，且與直線 l 0 : x3 y 20的夾角為，求直線

6、l3的方程解：設直線 l 的一個法向量為na, b，則直線 l 的點法向式方程為：ax2by30整理得： ax by2a3b0，a3b1a3ba2b2b23ab由公式得：a2b21 32當 b0 時，直線方程為：x20；當 b0 時， b3a ，直線方程為：x3y10 ；所以，直線 l 的方程為： x3y 10 或x 20注意：此處設直線的點法向式方程，而不是點方向式方程或點斜式方程是因為只有點法向式方程可以表示所有直線解 2：若直線 l 的斜率存在，設直線l的方程為： y3k ( x 2) .則由題意：k331 ，解得 k3.k 21123直線方程為： x3y10 .若直線 l 的斜率不存在

7、，即方程為x2 ；則直線 l 與直線 l0 的夾角為，滿足題意 .3所以，直線 l 的方程為： x3y1 0或 x2 0 解 3：設直線 l 的一般式方程為：axbyc0（ a, b 不同時為零）a2b3c 0則由題意：a3b1，后解同解13a2b22定義，0三、小結： 1. 兩條直線的夾角2a1 a2b1b2夾角公式 cosb12a2 2b2 2a122. 設直線方程時要依題而設，好中選優(yōu)；利用畫圖、數(shù)形結合的方法課題：兩條相交直線的夾角 ( 學案 )【教案目標】：1、理解兩條直線相交時 , 直線夾角與直線方向向量夾角的關系；掌握根據(jù)已知條件求出兩條相交直線的夾角；2、理解兩條直線垂直的充要

8、條件.3、體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，培養(yǎng)思維能力.【教案重點】：兩條相交直線的夾角.【教案難點】：夾角公式的應用.【教案過程】：1.兩條直線的夾角：平面上兩條直線相交時構成兩組對頂角我們規(guī)定_ 為兩條相交直線的夾角規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為_兩條相交直線的夾角_.2.夾角公式：l1 : a1 x b1 y c10如果已知兩條直線的方程分別為：l2 : a2 x b2 y c2（其中 a1 ,b1 不同時為零，0a2 , b2 不同時為零）如何根據(jù)方程來求l1與 l2 的夾角？兩條相交直線的夾角公式為： _ 例 1、已知兩條直線的方程分別是：l1 : x2 y30,l2 : x3

9、y20 ，求兩條直線的夾角練習： 求下列各組直線的夾角.（1） l1 : y3x1,l 2 :3 yx40（2） l1 : x20,l2 : 3xy30（3） l1 : yx1 0,l 2 : y4例 2、已知直線 l1 :3xy0 與直線 kxy10 ，若直線 l1 和直線 l2 的夾角為 60 ，求k 的值 .兩條直線垂直的充要條件是：_ ；兩條直線垂直的充要條件也可為：_ 例 3、已知直線 l 經(jīng)過點 P2, 3 ，且與直線 l 0 : x3 y 2 0 的夾角為，求直線 l3的方程【課堂小結】兩條直線的夾角：【課后作業(yè)】兩條相交直線的夾角課后作業(yè)1求下列兩組直線的夾角：（1） l1 :

10、3xy0, l2 : x3y20 ；6（2） l1 : x10, l2 : xy50 ；4（3） l 1 : 3x4y120 與 l 2 : x3.3arccos2. 已知直線l1 : axy10,l 2 : xay20 ，其中 aR 且 a0 ，求直線 l1 與 l 2 的夾角.231）已知直線3x y 0與直線kx y 1 0的夾角為 60，求實數(shù) k 的值（k0或 k3（ 2）經(jīng)過點（ 3， 5），且與直線3x2 y70 之間成 45 角的直線方程 .5xy200 或 x5y2204若直線3a2 x14a y80 與直線5a2 xa4 y70 互相垂直，求a 的值 .0 或 15 已知等

11、腰三角形ABC 的斜邊AB 所在直線的方程為3xy50 ，直角頂點為C 4, 1 ，求兩條直角邊所在直線的方程2xy70, x2 y606. 已知ABC 的三個頂點為 A( 2,1), B(6,1), C (5,5)(1) 求ABC 中 A 的大小。 (2)求A 的平分線所在直線的方程 .（1） Aarccos 3（ 2） x2 y0 .5兩條相交直線的夾角課后作業(yè)1求下列兩組直線的夾角：（1） l1 :3xy0, l2 : x3y20 ；（2） l1 : x10, l2 : xy50 ；（3） l 1 : 3x4y120 與 l 2 : x3.2.已知直線l1 : axy10, l2 : xay20 ，其中 aR 且 a0，求直線 l1 與 l 2 的夾角.3（ 1）已知直線3xy0 與直線 kxy10 的夾角為 60 ，求實數(shù) k 的值（ 2）經(jīng)過點（ 3， 5），且與直線3x2 y70 之間成 45 角的直線方程 .4