線性代數(shù)歷年考研試題之選擇題(更新)

1、、選擇題、I - 、.一、 I,. 一 一 一 .一一. z n _ 1_ 一*1.(1987 I , 口)設(shè)A為n階萬陣，且A的行列式 A =a# 0,而A是A的伴隨矩陣，則A 等于(c )1 n 1n(A) a. (B). (C) an.(D) an.【考點(diǎn)】伴隨矩陣的性質(zhì).*n 1解 A =| A .2.(1987 iv, v )假設(shè)A是n階方陣，其秩r < n,那么在A的n個(gè)行向量中()(A)必有r個(gè)行向量線性無關(guān).(B)任意r個(gè)行向量線性無關(guān).(C)任意r個(gè)行向量都構(gòu)成最大線性無關(guān)向量組 .(D)任何一個(gè)行向量都可以由其他r個(gè)行向量線性表出.【考點(diǎn)】矩陣的秩，向量組的線性相關(guān)性

2、及向量組的最大無關(guān)組.解 R(A) = r < n = A的行秩=r < n = A的行向量組的最大無關(guān)組含r個(gè)行向量.選(A).3.(1988 I , U)n維向量組,口2,III,1Ms(3WsEn)線性無關(guān)的充分必要條件是( d )(A)存在一組不全為零的數(shù) ki,k2,l11ks，使+k2a2+l1|ksas #0.(B) ：1, ：-2JH,：s中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān).(C)ct1,a2,|,o(s中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表出(D) M，:-2，HI，: s中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表出【考點(diǎn)】向量組線性相關(guān)的性質(zhì)解向量組線性相關(guān)的充分必要條件是至少

3、有一個(gè)向量可由其余向量線性表示”的逆否命題是(D).X(A):存在”改為“任意”就正確，中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)，但線性相關(guān).X(C): ：-1=10= £ L%不能由u2,u3線性表示，但a1,a2,a3線性相關(guān).4.(1989 I , 口，iv, V)設(shè)A是n階方陣，且A的行列式 A=0,則人中()(A)必有一列元素全為零.(B)必有兩列元素對應(yīng)成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合.(D)任一列向量是其余列向量的線性組合.【考點(diǎn)】向量組線性相關(guān)的判別定理.解 A=0u R(A)<n= A的列(或行)秩<n= A的歹U (或行)向量組線性相關(guān).選(C).5.

4、(1989iv)設(shè)A和B均為nn矩陣，則必有()(A) A + B = A + B .(B) AB =BA.(C) AB| = BA .(D) (A +B)=A+ B.【考點(diǎn)】矩陣的性質(zhì).解 AB =| A 陽 B艇(C).6 .(1989 V )設(shè)n元齊次線性方程組 Ax = 0的系數(shù)矩陣 A的秩為r,則Ax = 0有非零解的充分必 要條件是()(A) r = n.(B) r ：二 n.(C)r - n.(D) r - n.【考點(diǎn)】齊次線性方程組解的理論.解 齊次線性方程組 Am>nXnM =0m>1有非零解的充分必要條件是R(A)<n.選(B).7 .(1990 I ,

5、口)已知P1, P2是非齊次線性方程組 Ax = b的兩個(gè)不同的解，a1 ,a2是對應(yīng)齊次線性方程組Ax =0的基礎(chǔ)解系，k1,k2為任意常數(shù)，則方程組Ax =b的通解(一般解)必是(),、！，2. 一x -I - ：2(A) kr i k2(: 1: 2) - .(B)kr i k2(: 1 - : 2).22P _PP +P(C) kr1 - k2( 11:2)12.(D) k1 , k2( ：1 -：2) , 12 .22【考點(diǎn)】非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).解 %, % a線性無關(guān)且為對應(yīng)齊次線性方程組的解，故a1，ct 1 a 2是對應(yīng)齊次線性方程組一1 F A F A FAx = 0的

6、基礎(chǔ)解系；又慶12=12=b，故12為Ax = b的一個(gè)特解；由非齊次線222性方程組解的結(jié)構(gòu)，知選(B).P -PX(A): -2 為 Ax = 0 的解.21 ；：2x(C): P1 + 口2為 Ax =2b 的解，且 12 為 Ax = 0 的解.2X(D): a1, P1 P2不一定線性無關(guān).8.(1990 IV , V)向量組口1,口2,111°%線性無關(guān)的充分條件是()(A) a1,a2,ll 1as均不為零向量.(B) 1, 2,l 11cs任意兩個(gè)向量的分量不成比例.(C)a1,a2,m,c<s中任意一個(gè)向量均不能由其余s-1個(gè)向量線性表示.(D)«1

7、,«2,lll,«s中有一部分向量線性無關(guān)【考點(diǎn)】向量組線性無關(guān)的性質(zhì)解 向量組o(1,a2,H|, 0ts線性無關(guān)的充分必要條件是a1,a2,|,0ts中任意一個(gè)向量均不能由其余s1個(gè)向量線性表示.選(C).X(A):如 a1X(B):如 g I,a3 = ' 均不為零向量，但覆1,a2,汽3線性相關(guān).X(D):如。10-中a1線性無關(guān).9.(1990 V )設(shè)A是n階可逆矩陣-* , A是A的伴隨矩陣，則(.*(A) A一*(B) AA .(C) A = A .一 *(D) AA-中任意兩個(gè)向量的分量不成比例參考 1.(1987 I , 口).選(A).10.(

8、1991 i , 口)設(shè)n階方陣A,B,C滿足關(guān)系式ABC = E ,其中E是n階單位陣,則必有()(A) ACB = E .(B) CBA = E .(C) BAC = E .(D) BCA = E .【考點(diǎn)】可逆矩陣的判別定理之推論.解由E =ABC = A(BC)知BC是A的逆矩陣選(D).*11.(1991 iv)設(shè)A為n階可逆矩陣,九是A的一個(gè)特征值,則A的伴隨矩陣 A的特征值之一是( )(A)九。An. (B)九,A . (C)九 A. (D)九|An.【考點(diǎn)】特征值的性質(zhì).解選(B).Ax=Kx=A(Ax)=A(碗=Ax"(Ax)= AxJ12.(1991 v )設(shè)A,

9、 B為n階方陣，滿足等式人8=。,則必有( )(a)A = 0 或 B=O.(b)A + B=0.(C)A=O 或 B=O.(D)A+B=O.【考點(diǎn)】矩陣的性質(zhì).解 選(C).AB=O= AB|=0= |A B =0.13.(1991 v)設(shè)A是m><n矩陣, Ax =0是非齊次線性方程組 Ax = b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則 下列結(jié)論正確的是()(A)若Ax = 0僅有零解，則Ax = b有唯一解.(B)若Ax =0有非零解，則Ax =b有無窮多個(gè)解.(C)若Ax = b有無窮多個(gè)解，則Ax = 0僅有零解.(D)若Ax =b有無窮多個(gè)解，則Ax = 0有非零解.【考點(diǎn)】非齊次

10、線性方程組解的理論.解 選(D). Ax =b有無窮多個(gè)解=R(A) = R(B)<n= R(A)<n= Ax = 0有非零解.x1x2 = 0x1x2 =0x(A)：如x x1 +2x2 =0僅有零解，但x1 +2x2 =0無解.x1x2 = 0x1x2 = 1x1 x2 = 0X(B):如 i2x1 2x2 = 0x1 x2 = 0有非零解，但* 1無解.2x1 2x2 = 2x(C)： Ax =b有無窮多個(gè)解，則Ax =0有非零解.14.(1992 I , n )要使】=一110 ,：2-0 11 都是線性方程組 Ax = 0的解-1J，只要系數(shù)矩陣A為11-2 rL勺2 o

11、_B-1-10 2(C) I|0 1-0(D) 4：0-2-1 I-2 .【考點(diǎn)】齊次線性方程組解向量的定義 解選(A).【注意】只需驗(yàn)證a。，。=。.15.(1992 iv)設(shè)A為mn矩陣，齊次線性方程組 Ax =0僅有零解的充分條件是(A) A的列向量線性無關(guān).(B)(C) A的行向量線性無關(guān).(D)【考點(diǎn)】齊次線性方程組解的理論A的列向量線性相關(guān).A的行向量線性相關(guān).，矩陣的秩及向量組的線性相關(guān)性解 Ax=0僅有零解u R(A)=n u A的列秩=n u A的列向量線性無關(guān).選(A).16.(1992V)設(shè)A,B,A + B, A4+B，均為n階可逆矩陣，則(A,+ B)等于(A) A4

12、 - B4.(B)A B.(C)A(A B)B.(D)(A B).【考點(diǎn)】逆矩陣的性質(zhì).解 選(C).(A(A B)B)二 B(A B)A4=(AB， E)A-1 ; A-1 B-1.或1(A B )A(A B) B =(E B A)(A B) B=B (A B)(A B) B = E.17.(1992 V)設(shè)“1,0(2,111,1Mm均為n維向量，那么，下列結(jié)論正確的是(A) 若 kiCti +k2a2 +IH +km&m =0 ,則 02,111 ,0fm 線性相關(guān).(B)若對任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,|,km ,都有kiCti十k以2111 +km<Xm #0 ,則

13、Ul'UzJILSm線性無關(guān).(C)若0tl, 口2,111 ,um線性相關(guān)，則對任意一組不全為零的數(shù) k1，k2,111 ,km，都有ki i k2： 2 HI km： m =0.(D)若 0 3 +0 M2 IH 0 ：m=0,則ai,a21|l,am線性無關(guān).【考點(diǎn)】向量組線性相(無)關(guān)的定義.解選(B).由線性相關(guān)定義的逆否命題可得.1 2 318.(1993I , 口)已知Q = 2 4 t下為3階非零矩陣，且滿足PQ=OMU ()3 6 9_(A) t =6時(shí)P的秩必為1.(B)t=6時(shí)P的秩必為2.(C)t#6時(shí)P的秩必為1.(D)t06時(shí)P的秩必為2.【考點(diǎn)】矩陣的秩及

14、其性質(zhì).解 P Q = O= R P R Q _ 3= 1 M R( P)< 3- R( Q當(dāng) t =6時(shí)，R(Q) =1= 1ER(P)E2n R(P) = 1 或 2,則(A)和(B)都錯(cuò)；當(dāng) t #6時(shí)，R(Q) = 2=1 <R(P) M1= R(P) =1 .選(C).【注】 Am梏Bs殉=0= R(A)+R(B)Ws.Am>sBs殉=0,則B的列向量組為Am送Xs>n =。的解向量.19 .(1993 -IV) n階方陣A具有n個(gè)不同的特征值是 A與對角陣相似的()(A)充分必要條件.(B) 充分而非必要條件.(C)必要而非充分條件.(D)既非充分也非必要條

15、件.【考點(diǎn)】矩陣能對角化的判別定理(充分條件).解選(B).20 .(1993 V )若0tl ,4，, P1，P2都是四維列向量，且4階行列式1alp2P 3,醫(yī)=m,%，%,% =n,則4階行列式 區(qū),%,%44+久)等于()(A) m n.(B) -(m n).(C) n - m.(D) m - n.【考點(diǎn)】矩陣的運(yùn)算及行列式的性質(zhì).解選(C). %,%,%,(，+£)1=1%,%4, 3臼%產(chǎn)2,%,支=-a 1, a 2,。3 ,P1 +口1,口2,2,口3 = n - m.121.(1993 V)設(shè)九=2是非奇異矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣(一A2)有一特征值等于()3(A

16、) 4. (B)-. (C)1 . (D)1 .3424【考點(diǎn)】特征值的性質(zhì).191 9413解 A有一特征值一人=，則(一A ),有一特征值一.選(B).3333422.(1994 I , 口)已知向量組0(1,0，口3，口4線性無關(guān)，則向量組()(A) «1 +«2,«2 +«3,«3 +4,4 十a(chǎn)1 線性無關(guān).(B) a _02/2 儀3,儀3 儀4,儀4 儀1線性無關(guān).(C)«1 +«2,«2 +«3,«3 +Cf4,«4 f 線性無關(guān).(D)«1 +口2,豆2 十

17、口3,口3 -«4,«4 -«1 線性無關(guān).【考點(diǎn)】判別向量組線性相(無)關(guān)的方法.解 X(A):(：1： 2) (：3 - ： 4)二(二 2: 3)(二 4: 1),則四十口2,62十口3,口3 +C(4,a4 +a1線性相關(guān).對(B):(二 1 )(二2 -二 3) 一(二 3 - 二 4) -(二 4 -11),則叫-«2,«2 -«3,«3 -«4,«4 一儀1線性相關(guān).X(D):(：1： 2)4： 23)二-(二3-14)-(二4-11),則叫 +«2,«2 +«

18、3,«3 -a4,a4 一口1 線性相關(guān).故選(C).或X(A):10 0 1110 0%+%,% +%尸3 +34尸4 +% =%,3243p4,0 1109 0 11110 0 1110 0|0 1 1 0_0 0 1 1_1001010-1|0011_0000 _二.)=3 ：二頌：1 ' ： 2,：-2 - ： 3,： 3 - ： 4,： 4 ：1所以 R(«1 +«2, 口2十 口3, «3+ *4 口4+ 線性相關(guān).同理可討論(B),(C),(D).【注意】判別向量組線性相(無)關(guān)的常見方法如下(1)用定義：一般對抽象的向量組.理論卞

19、g據(jù)：n維向量組0(1,0(2,111,am線性相(無)關(guān)u 齊次線性方程組 卬1十x20t2+IM+xmam = 0有非零解(只有零解).(2)用向量組的秩：對具體的向量組直接求秩；對抽象的向量組用矩陣的秩的性質(zhì)推導(dǎo)出來.理論卞g據(jù)：向量組叫，ct2MLsm線性相(無)關(guān)仁 R(A) <m(R(A) = m).(3)用相關(guān)理論推導(dǎo).(4)特殊情形：若向量組?1,?2,|, Pm可由豆192,川,線性表示，且1alp2,1m,10fm線性無關(guān)時(shí)，設(shè)：1；2lm J l-1,：-2JH,- mlK則向量組P1,p2,IH,Pm線性相(無)關(guān)U R(K)<m(R(K) = m).23.

20、(1994 -IV )設(shè)A是mn矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣B = AC的秩為r1, 則()(A) r > r1. (B) r <r. (C) r = r1. (D) r 與 r,的關(guān)系依 C 而定.【考點(diǎn)】矩陣秩的性質(zhì).解r1 = R(均=R AC= R A=選rC).【注】設(shè)P,Q為可逆矩陣，則R(A) = R(PA) = R(AQ) = R(PAQ).24.(1994 V)設(shè)A, B都是n階非零矩陣，且AB =0,則A和B的秩()(A)必有一個(gè)等于零.(B)都小于n. (C) 一個(gè)小于n, 一個(gè)等于n. (D)都等于n.【考點(diǎn)】矩陣秩的性質(zhì).解 AB= 0=

21、R A+ R BW %R(A)之 1,R(B)，(A=0,B#0),則R(A)：二 n, R(B)：二 n.選(B).25.(1994 V)設(shè)有向量組必=(1,1,2,4), % =(0,3,1,2), % =(3,0,7,14),0(4 =(1,-2,2,0), «5 =(2,1,5,10),則該向量組的最大線性無關(guān)組是()1.1,1,： 4,： 5.(A) ：1, ： 2, ： 3. (B)：1, ：- 2, 44 . (C)：- 1, ：- 2, ：- 5. (D)【考點(diǎn)】具體向量組的最大線性無關(guān)組的求法解 A =：；,：,；,：,；,：； =1-1120 33 01 72 1

22、41 2-2 12 50 101 0 30 1 1|0 0 0_0 0 01 20 1-1 00 0則向量組的最大線性無關(guān)組是ot1,a2,a4 .選(B).【注意】(1)初等巨變換保持矩陣的行包堇組等價(jià)，保持矩陣的現(xiàn)胞量組的線性相關(guān)性不變(2)初等烈變換保持矩陣的列回量組等價(jià)，保持矩陣的彳亞量組的線性相關(guān)性不變26.(1995 I , 口)設(shè)%a12a13 'a21a22a23010、A =a21a22a23,B =a11a12a13,P =100031a32a33 )© 十a(chǎn)11a32 +a12a33 + a13 /100b。0 0、P2 = 010<1 0L則必有

23、()(A)ARP2 = B.(B)AP2R = B.(C)PP2A = B.(D)P2PA = B.【考點(diǎn)】初等變換與初等矩陣的關(guān)系.解 B可將A的第一行加到第三行，再將A的第一行與第二行交換得到.故選(C).【注】在矩陣的左(右)邊乘以一個(gè)初等矩陣，相當(dāng)于對矩陣作相應(yīng)的初等行(列)變換.27.(1995 IV , V)設(shè)矩陣Am坨的秩為R(A) = m < n,1m為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是()(A) A的任意 m個(gè)列向量必線性無關(guān).(B) A的任意一個(gè) m階子式不等于零.(C)若矩陣B滿足BA = 0,則B =0 .(D) A通過初等行變換，必可以化為(I m O )的形式.

24、【考點(diǎn)】向量組線性無關(guān)的判別，矩陣秩的定義及矩陣的行階梯形和標(biāo)準(zhǔn)形.解 選(C). BA=0= ATBT =O .由R(AT) = m,則齊次線性方程組 ATx = O只有零解，即BT的列向量全為零，故BT = O =, B -O .28.(1995V)設(shè)n維行向量 011TT_二。|,0,萬)，矩陣 A = I a a , B = I + 2a 久，其中 I 為n階單位矩陣，則AB等于()(A)0.(B) -I .(C) I .(D) I【考點(diǎn)】矩陣的運(yùn)算.解選(C).(A) a1a2a3a4 - bb2b3b4.(B) a)a2O3a4bib2b3b4.(C)(a1a2 -MXa3a4 -

25、b3b4).(D)(a2a3 -b2b3)(a1a4 -bK).&00bi0a2b200b3a30b400a429.(1996 I , II )四階行列式的值等于()【考點(diǎn)】行列式的計(jì)算.解 選(D).將行列式按第一行展開. . * 30.(1996IV ,V)設(shè)n階矩陣A非奇異，A是A的伴隨矩陣，則()(A) (A ) = An1 An11(B) (A )= A A(C)(A ) = AT A.n -2(D)(A ) = A A.【考點(diǎn)】矩陣運(yùn)算的性質(zhì).1，一、解選(C). A = A A = (A )=A (A)111=A A (A A )An 11n A A AA= An 22.

26、A.31.(1996 IV ,V)設(shè)有任意兩個(gè)n維向量組 a1,|l,|Mm和P1,|l,Pm，若存在兩組不全為的數(shù)XJ|,M 和 k1*l,km，使(11 1)1 IH ( m km)： m(1 - 3 ：1 川(m - km) m =0 則()(A)%川1,4和?1,|, /都線性相關(guān).0)%*|,%和B1MI, Bm都線性無關(guān).(C)%+B1，M«m+BmP1 邛1，1"，4-以線性無關(guān).(D)% +Q,川,% +Bm,% 邛1,|% -/線性相關(guān).【考點(diǎn)】向量組線性相(無)關(guān)的定義.解由(% +3%+HI十& +km)CCm +4匕用十川+ (%kjBm =

27、0,得,(1，：1)，|，,m(。,： m)，(1 - ：1)，I”，kmC m - ：m) = O, 所以。1 +K, lIRm +Pm,四，i,|,C(m -線性相關(guān)選(D).aibiCi32.(1997 I )設(shè) / =a2 ,口2 = b2，口3 = C2，則三條直線 :a3 jJb3 j jax+by+g =0(i =1,2,3)(其中 ai2 +b2 ¥0,i =1,2,3)交于一點(diǎn)的充分必要條件()(A) 0(1,6 2,0(3線性相關(guān)., , ,(B)% ,ct2 ,a3線性無關(guān).I , 2 , 3(C)秩 R(a1,a2,a3)二秩 R(a1,o(2) .(D) %

28、,%,% 線性相關(guān)，a口？線性無關(guān).【考點(diǎn)】齊次線性方程組解的理論.解三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件是線性方程組a1x b1y g =0a2x b2y c2 = 0a3x b3y C3 =0有惟一解二 R(: 1,1 2)= RG i 2, t 3) =20(%,4) =2u 0tl,口2線性無關(guān)；¥(%,%,-c(3) =2u Rg,%,%) =2U %,%,一線性相關(guān).33.(1997 HI , IV)設(shè)向量組覆1,0(2,0(3線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是()網(wǎng)：1 . ：2,：2 - ：-3,：3 -M(B)、 ：-2,?2 ' ：'3,?1 

29、9; 2 23(C)M 2-2,2、2 3),3.二 1(D) M .二 2二3,2、-3%. 22 3,3 1 51 2 一5二 3解 參考 22.(1994I , 口).選(C).34.(1997W)設(shè)A,B為同階可逆矩陣，則()(A)AB=BA(B)存在可逆陣 P ,使 P，AP = B(C)存在可逆陣C ,使C AC = B(D)存在可逆陣P和Q ,使PAQ = B【考點(diǎn)】矩陣等價(jià)，合同,相似的判別.解 A, B為同階可逆矩陣，則A, B都與同階的單位矩陣等價(jià)，從而A,B等價(jià).故選(D).【注意】兩個(gè)同型矩陣等價(jià)的充分必要條件是它們的秩相等.如果不是同型矩陣，則必要性不成立.35.(i

30、997 IV )非齊次線性方程組 Ax = b中未知量個(gè)數(shù)為 n ,方程個(gè)數(shù)為 m,系數(shù)矩陣A的秩為r, 則()(A) r = m時(shí),方程組Ax = b有解.(B) r = n時(shí),方程組Ax =b有惟一解.(C) m = n時(shí),方程組Ax =b有惟一解.(D) r < n時(shí)方程組Ax = b有無窮多解.【考點(diǎn)】線性方程組解的理論.解 選(A). m =R(A) m R(B) Mm= R(A) = R(B) = m.ai36.(i998 I )設(shè)矩陣 a2biCi33b2 b3C2是滿秩的則直線x- a3a1 a2y -b1一b _ b2z-cC與直線C2x-q y - bziCa2 -

31、a3b2 - b3c2- c3(C)平行但不重合.(D)異面.(A)相交于一點(diǎn).(B)重合.【考點(diǎn)】空間兩條直線位置的判別解設(shè) P = (ai, b),G), Q = (a3 ,b3, c3),§ 二(a -a2,t -b2，c1 一C2),S2 =(a2 -23也-b3G -C3).由Si,S2,QPa2 b2:a3 b3ai -a2a2 一 a3a3 - aiC2 tb1 - b? j - C2b2 - b3 C2 - C3b3 - bi C3 - Cia2 - a3C3 j- a3bi -b2b2 - b3b3=0= 8bs2,QP共面,則兩直線共面Ci -C2C2 -C3 ,

32、C3.又則G, S2不平行，即兩直線不平行.選(A).37.(1998一口)設(shè)A是任一 n(n>3)階方陣一* .一 一,A是其伴F1矩陣，又k為常數(shù)，且k # 0,±i，則必有*(kA)=()*n -i *n *-i *(A) kA .(B) k A .(C)k A .(D) k A .：22X3 = 0：2 + X3 = 0的系數(shù)矩陣記為 A .若存在三階矩陣 B # 0 .x3 = 0九=2 且 B # 0 .九=1且B 0 0.1論.解=|A = 0=九=1.若 B =0,由 AB =0得 A = 0 ,1aaHIaa1aHIaaa1IIIa ，如果矩陣 A的秩為n1,

33、則a必為+44F+4riG+11Faaa|l1(D).n T1, ,.當(dāng)a =1時(shí)，顯然R(A) = 1 .故選(B).1 - n；a, P, 6線性相關(guān)，則()【考點(diǎn)】伴隨矩陣的定義.*. n 1 . *解 (kA) = k A (由伴隨矩陣的定義得到).選(B).或由(kA)(kA)* = kAE=knAE = knAA* = (kA)(knA*)看出.1工區(qū)】38.(1998 m )齊次線性方程組 ，x1 +4Xi + X2使得 AB=0()(A)九=2 且 B = 0.(B)(C) K =1 且 B| =0.(D)【考點(diǎn)】矩陣的性質(zhì)，齊次線性方程組解的孑解 AB=0,B=0= Ax=0

34、T 非零 矛盾.故選(C).I39 .(1998W )設(shè) n(n 之 3)階矩陣 A =I()(A)1.六.(O -1 .【考點(diǎn)】含參數(shù)的矩陣的秩的討論.解 R( A) < n=A = 0 = a =我40 .(1998 IV )若向量組, P , 丁線性無關(guān)(A)a必可由B,y,6線性表示.(B) B必不可由a ,?力線性表示(C) 6必可由a , P, 7線性表示.(D) 6必不可由a , P, /線性表示.【考點(diǎn)】向量組線性相(無)關(guān)的性質(zhì).解 巴 P, 7線性無關(guān)，有巴 P線性無關(guān)；又a,P,6線性相關(guān)，得6必可由線性表示，也必可由% % ?線性表示.選(C).41.(1999

35、I )設(shè)A是m父n矩陣，B是n父m矩陣，則()(A)當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式AB #0.(B)當(dāng)m>n時(shí)必有行列式AB=0.(C)當(dāng)n > m時(shí)，必有行列式AB # 0.(D)當(dāng)n > m時(shí)必有行列式AB = 0.【考點(diǎn)】矩陣秩的性質(zhì).解 R( A B) < m i n RA )RB-)m im.n(B).f (x)，則方程f (x) = 0的根的個(gè)數(shù)為42.(1999 n )記行列式x-2x -1x-2x-32x-22x-12x-22x-33x-33x-24x -53x-54x4x-35x-74x -3)(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【考點(diǎn)】行列式的計(jì)算

36、.r1工2 r<( -x) 解 f (x)=43.(1999 m ,2x-22x-12x-22x33x-33x-24x -53x -5= 5x(x1).選(B).4x4x-35x -74x-3IV )設(shè)向量向量組a1,a2,IH,am線性表示，但不能由向量組(I):%,磔2,川，1am工線性表示北向量組(口):31,吃,川,明,，日，則()(A) am不能由(i )線性表示，也不能由(口)線性表示.(B) 0cm不能由(I )線性表示，但可由(口)線性表示.(C)汽m可由(I )線性表示 也可由(口)線性表示.(D) "m可由(I )線性表示，但不可由(口)線性表示.【考點(diǎn)】向

37、量組的線性表示的定義及其判別 .解 方法一：若m可由(I )線性表示，則R( 1, 2, Hl =")=RG2,W,： m" m)R(：1,： 2, Hl 二 m"m,，= R(W 川,、一)與P不能由ajfJILam線性表示，矛盾，則um不能由(I )線性表示.故(C),(D)錯(cuò).且R(：1,： 2,IIL : m4,： m) =R(：1,： 2,lH,： m。1,由P不能由巴 ,口2 J M,0tm口線性表示，則R（： 1,二 2, HL： m，）=R（二.2/11,二 m二）1.所以R( 1, 2, IH，1 mJ：) R(：-l，：-2，H|，：mJ1，：

38、m)=R('，1，,，2 , I L ,，m _1,，m , - ) = R(-，1 ,'，2 , I H ,'，m，-,*m )，則0tm可由a1,a2,|,amJL, P線性表示.故選(B).方法二：P可由向量組 3,a2, UI, am線性表示 若otm可由口1,口2,1 II,0f m線性表示，則P可由向 量組aL,a2,| |, am線性表示，矛盾.故(C),(D)錯(cuò).P可由向量組久1,0(2,”|,0線性表示，則存在一組數(shù)ki,“|,km，km,使得:=kl> III - kmu m- km： m，其中0 . km = 0 P可由向量組ai«

39、2,IH,«mJ線性表示，矛盾.汽m可由口 1 ,口 2,口 ,豆m，P線性表示.故(A)錯(cuò).選(B).44.(1999 m )設(shè)A, B為n階矩陣，且A與B相似，E為n階單位矩陣，則()(A) E - A = E - B .(B) A與B有相同的特征值和特征向量.(C) A與B都相似于一個(gè)對角矩陣.(D)對任意常數(shù)t ,tE A與tE - B相似.【考點(diǎn)】矩陣相似的性質(zhì).解 選(D). A與B相似，存在可逆矩陣P ,使得P,AP = B，則tE -B KE-P】AP=P(tE)P-P,AP=P(tE-A)P, 即tE A與tE B相似.XA)： EA=EB= A=B.X(B)： A

40、與B相似，則A與B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.x(C)： A與B不一定能對角化.45.(2000 I )n維列向量組a1Mlpm(m <n)線性無關(guān)，則n維列向量組P1MLpm線性無關(guān)的充分必要條件為()(A)向量組CJILctm可由向量組P1,|j|,Pm線性表示.(B)向量組p1|l,Bm可由向量組口1, HI,1Mm線性表示.(C)向量組0tl,|pm與向量組3,用,“等價(jià).(D)矩陣 A=(ai,|,c(m)與矩陣 B =(B1川 |,Bm)等價(jià).【考點(diǎn)】向量組線性相(無)關(guān)的判別.解選(D).(A)是充分非必要條件.(1) (A)是充分條件：m = Rg川 gm) W

41、R(Pi,|,Pm) wm= R(-J| |, 5) = m.-11-01一1(2) (A)是非必要條件：如口二=0、口-2 =1線性無關(guān)，耳=0：0一1.0一I6不能由月，P2線性表示.(B)是既非必要也非充分條件.(1) (B)是非必要條件：如0tl =一11 o產(chǎn)-0JPl=i線性無關(guān)，F(xiàn)1-0J“I=o線性無關(guān)，但除外JJ不能由口1,口2線性表示.(2) (B)是非充分條件：如%一11o ,：0一01、=i線性無關(guān)，B1=0J0 ¥L0J0邛1邛2可由920J線性表示，但P1, P2線性相關(guān).(C)是充分非必要條件.(C)是充分條件：R(B1,|,Bm) = R(a1,IHP

42、m)011線性無關(guān)，耳=0 ,P2S5一。1=0線性無關(guān)，但口心口JJ一1(C)是非必要條件：如口1 = 0 ,%L0J不能由£,久線性表示，則%,%與3,3不等價(jià).(D)是充分必要條件.向量組 PJII, Bm 線性無關(guān)仁 R(P1,|,Pm) = my R(a1,|2m)= R(3M|,Pm)=m=R(A) uR(B) ：= A > B .46.(2000 W , IV )設(shè)%產(chǎn)2P3是四元非齊次線性方程組Ax= b的三個(gè)解向量，且秩(A)=3, % =(1,2,3,4)T,a2 +a3 = (0,1,2,3)T ,C表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax = b的通解x =()【

43、考點(diǎn)】線性方程組解的性質(zhì)及非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)解 選(C). R(A)=3= Ax =0的基礎(chǔ)解系含4 R(A)=1個(gè)解向量 之可取=21 -(：2 I) =(2,3,4,5)T.47.(2000 m)設(shè)A為n階實(shí)矩 陣，AT是A的轉(zhuǎn)置 矩陣，則對于線性 方程組(i )： Ax = 0和(口)： AT Ax =0 ,必有()(A)( n )的解是(i)的解,(i )的解也是(口 )的解.(B)( 口)的解是(I )的解，但(I )的解不是(口 )的解.(C)( I)的解不是(口 )的解,(口 )的解也不是(I )的解.(D)( I)的解是(口 )的解，但(口 )的解不是(I)的解.【考點(diǎn)】

44、Ax = 0與AT Ax = 0解的關(guān)系.解選(A).【注意】Ax =0與AT Ax =0同解.事實(shí)上(1) Ax=0= (ATA)x=父(Ax) =0,即 Ax =0 的解是 ATAx = 0 的解; AT Ax = 0 = xT AT Ax = 0 = (Ax)T Ax = 0 二 | Ax| = 0= Ax = 0 ,即 AT Ax = 0 的解是Ax = 0的解.1148.(2001 I )設(shè) A =J1 11 11 11 11111.00 00 00 00 0010，則A與B (00(D)不合同且不相似(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似【考點(diǎn)】實(shí)對稱矩陣的對角化

45、解 選(A). A為實(shí)對稱矩陣且 A的特征值為4,0,0,0【注意】實(shí)對稱矩陣既正交合同也正交相似于對角矩陣ana12a13a14fa14a13a12a11殳A =a21a22a23a24,B =a24a23a22a2149.(2001-m, iv)ia31a32a33a34a34a33a32a31a41a42a43a44_1 Ia44a43a42a41 .0 0 00 1 0|0 0 1J 0 011P210|00 0 00 1 01 0 00 0 1其中A可逆，則B° =（）(D) P2A%.111(A) A PP2.(B)PA P2.(C)RP2A .【考點(diǎn)】初等矩陣與初等變換

46、的關(guān)系及乘積矩陣的求逆.解選（C）. B由A的第二列與第三列交換，再將第一列與第四列交換得到，則B = AF2R= B'= RP2A.A二八50 .（2001皿）設(shè)A是n階矩陣，a是n維列向量.若秩| T=秩（A）,則線性方程組（）0一（A） Ax = a必有無窮多解.（B） Ax = 0（必有惟一解.（C） I A "，X = 0僅有零解.（D）A "，X = 0必有非零解.hT 0 ,y0 一 y【考點(diǎn)】線性方程組解的理論.A%l、A 上 11 x 一解 秩| 丁=秩（A） En <n+1,則| 丁 h j=0必有非零解.選（D）.MT 0_MT 0y_5

47、1 .（2002i）設(shè)有三張不同平面的方程ai1x+ ai2y+ai3z = b, i =1,2,3 ,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為（）【考點(diǎn)】線性方程組解的理論.a11xa12yaz 二b1解方程組a21x +a22y +a23z =b2有無窮多解.選（B）.a31 xa32 ya33z = b3【注意】a11x + a12y + a13z = b1(1)三張不同平面 ai1x+ai2y+ai3z = h,i =1,2,3 相交于一點(diǎn) u <a21x + a22y+a23z = b2有 a31xa32 ya33z = b3惟一解；l

48、aiix 42 y a13z = bi(2)三張不同平面 ai1x+ai2y+ai3z = h ,i =1,2,3 相交于直線 u <a21x + a22y+a23z = b2 有 a31x a32 y a33z= b3無窮多解；lanx ai2y az = b(3)三張不同平面 aij + ai2y+ ai3z = bi,i =1,2,3無交點(diǎn) u <a21x+ a22y+a23z = b2無解.a3ix a32 y a33z = b352 .(2002口)設(shè)向量組口1,口243線性無關(guān)，向量 P1可由口1,口2,支3線性表示，而向量 P2不能由0(1 ,0( 2 , Ct 3線

49、性表示，則對于任意常數(shù)k ,必有()3(A) %,%,%上月+日2線性無關(guān).(B) %,Ct 203*1 +呂2線性相關(guān).(C)ct1,a2,a3, P1 +2線性無關(guān).。)%,b2,%, F1 +kP2線性相關(guān).【考點(diǎn)】向量組線性相(無)關(guān)與線性表示之間的關(guān)系.解 令k =0,則%,口2,0(3,2線性無關(guān)，(B)錯(cuò)；叫，口2,0f 3, P1線性相關(guān)，(C)錯(cuò).令k =1，若%尸243, P1 +k22線性相關(guān)，則卜2能由,a 2 P 3線性表示，(D)錯(cuò).選(A).53.(2002W)設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣,則線性方程組(AB)x=0()(A)當(dāng)n a m時(shí)僅有零解.(B)當(dāng)n &

50、gt; m時(shí)必有非零解.(C)當(dāng)m a n時(shí)僅有零解.(D)當(dāng)m > n時(shí)必有非零解.【考點(diǎn)】矩陣的秩的性質(zhì)與齊次線性方程組解的理論.解 R( AB)< mi nR A )R B )又nAB 為 m 階方陣.選(D).【注意】 R(Amn) Eminm,n;(2) R(AB) -min R(A), R(B).54.(2002 m )設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，P是n階可逆矩陣.已知n維列向量口是A的屬于特征值 人的特征向量，則矩陣(PAP)T屬于特征值 人的特征向量是()1 T1、T(A) P .(B) P .(C) P： .(D) (P ) .【考點(diǎn)】矩陣的運(yùn)算及矩陣的特征值與特征向量

51、的定義.解Act =>“c(,(p'ap)t =PTA(Pt)：從后式看出要利用前式，必須消去(PT)：即在a的前面乘以PT .選(B).或(PAP)t(Pt： ) =PtA(Pt)Pt:= PT a： = (PT：).【注意】在做選擇題及填空題時(shí)，要有意識(shí)地培養(yǎng)“只求目的，不擇手段”*A O55.（2002IV ）設(shè)A,B為n階矩陣，A , B分別為A, B對應(yīng)的伴隨矩陣，分塊矩陣C = lOB.一 . . . *則C的伴隨矩陣C =()(A)(C)AB* , OO*B BO*B A；B B*(B)OMBAOAA* 一【考點(diǎn)】伴隨矩陣的性質(zhì)*解 方法一：根據(jù)AA =| A E驗(yàn)

52、證.選（D）.（此方法在解決這類問題時(shí)一般較麻煩).-I ，、，1,*如.方法二：若A 易求得，由A = A A最簡便顯然AOB； = |BOA I AB* J56.（2003I , 口）設(shè)向量組I :叫，久2,|,%可由向量組I : B1,B2Ml，久線性表示，則（）（A）當(dāng)r < s時(shí)，向量組口必線性相關(guān).（B）當(dāng)r > s時(shí),向量組口必線性相關(guān)（C）當(dāng)r <s時(shí),向量組I必線性相關(guān).（D）當(dāng)r >s時(shí),向量組I必線性相關(guān)【考點(diǎn)】向量組線性表示與向量組秩的關(guān)系 .解 R（ l;2 川:,r ）R （Lls”9.選（D）.57.（2003 I ）設(shè)有齊次線性方程組 A

53、x = 0和Bx = 0 ,其中A, B均為mM n矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題:若Ax = 0的解均是Bx = 0的解，則秩（A）之秩（B ）.若秩（A）之秩（B）,則Ax = 0的解均是Bx = 0的解.若Ax =0與Bx =0同解，則秩（A）=秩（B）.若秩（A）=秩（B）,則Ax = 0與Bx = 0同解.以上命題正確的是（）（A）（B）（C）（D）【考點(diǎn)】線性方程組解的理論.解 若Ax =0的解均是Bx=0的解，則Ax =0的基礎(chǔ)解系必是 Bx = 0的基礎(chǔ)解系的一部分，故 Ax = 0的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)必小于Bx = 0的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)，即n -R(A) < n -R(B)= R(A)