高等數(shù)學(xué)：14-3 有限區(qū)間上定義的函數(shù)的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)(1-29)

1、14.3 有限區(qū)間上定義的函數(shù)有限區(qū)間上定義的函數(shù) 的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題問(wèn)題研究有限區(qū)間定義的非周期函數(shù)是否可以研究有限區(qū)間定義的非周期函數(shù)是否可以展開(kāi)為付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)為付里埃級(jí)數(shù) ?研究的方法研究的方法通過(guò)延拓的方法通過(guò)延拓的方法 , 將非周期函數(shù)延拓成將非周期函數(shù)延拓成周期函數(shù)周期函數(shù) , 利用上節(jié)的結(jié)果利用上節(jié)的結(jié)果1 定義區(qū)間長(zhǎng)為定義區(qū)間長(zhǎng)為 2 的情形的情形(1) f (x) 在在 ( , 上有定義上有定義 , 且可積且可積 引進(jìn)輔助函數(shù)引進(jìn)輔助函數(shù) )(*xf xf , )( xxf , )(用周期延拓法延拓到用周期延拓法延拓到 R 上上函數(shù)函數(shù) f*(x) 稱為稱

2、為 f (x) 的以的以 2 為周期的為周期的周期延拓周期延拓 由于由于 f*(x) 是是 R 上的以上的以 2 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) 利用上節(jié)的結(jié)果得利用上節(jié)的結(jié)果得 f*(x) 的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式 )sincos()(102nnnnxbnxaaxf(1) nxdxxfnxdxxfancos)(cos)(11 nxdxxfnxdxxfbnsin)( sin)(11注意到在注意到在 ( , 上上)()(xfxf可根據(jù)可根據(jù) f (x) 在在 ( , 上的情況上的情況 , 利用收斂性利用收斂性定理定理 ( 狄利克雷定理狄利克雷定理 ) 確定確定 (1) 式等式成立的

3、范圍式等式成立的范圍 ,從而得到從而得到 f (x) 在在 ( , 上的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式上的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式 )sincos()(102nnnnxbnxaaxf, , , , cos)(2101nnxdxxfan , , , sin)( 211nnxdxxfbn (2) (2) f (x) 在在 ( a , a + 2 上有定義上有定義 , 且可積且可積 得其周期延拓函數(shù)得其周期延拓函數(shù) f*(x) 可類(lèi)似地將可類(lèi)似地將 f (x) 以以 2 為周期延拓到為周期延拓到 R 上上得到得到 f (x) 的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式 注意到在注意到在 ( a , a +2 上上)()(xfx

4、f可根據(jù)可根據(jù) f (x) 在在 ( a , a +2 上的情況上的情況 , 利用收斂性利用收斂性定理定理 ( 狄利克雷定理狄利克雷定理 ) 確定確定 (3) 式等式成立的范圍式等式成立的范圍 ,從而得到從而得到 f (x) 在在( a , a +2 上的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式上的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式 )sincos()(102nnnnxbnxaaxf 2211aaaannxdxxfnxdxxfacos)(cos)( 2211aaaannxdxxfnxdxxfbsin)( sin)(3) )sincos()(102nnnnxbnxaaxf, , , , cos)(21012nnxdxxfaaan , ,

5、 , sin)( 2112nnxdxxfbaan (4) 至此至此 , 我們解決了定義區(qū)間長(zhǎng)為我們解決了定義區(qū)間長(zhǎng)為 2 的函數(shù)的函數(shù)f (x) 的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式問(wèn)題的付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)式問(wèn)題 例例將函數(shù)將函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 ( , ) 上展成上展成 22xxf )(付里埃級(jí)數(shù)付里埃級(jí)數(shù) , 并作出和函數(shù)并作出和函數(shù) S(x) 的圖形的圖形解解22203411 dxxdxxfa)()(3141122nnnxdxxa)(cos)( 0122 nxdxxbnsin)(yx )(xf 3 3)(xf由于由于 f (x) 在在 ( , ) 上連續(xù)上連續(xù) , 且分段單調(diào)且分段單調(diào) , 故有故有 , cos

6、)()( 12121432nnxnxnxf 00021)()()( ffS00021)()()( ffSyx 3 3 )(xS , cos)()( 12121432nnxnxnxf 例例將函數(shù)將函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 0 , 2 上展成付里埃級(jí)數(shù)上展成付里埃級(jí)數(shù) , 并作出并作出 x0 , 22xx , )(xf和函數(shù)和函數(shù) S(x) 的圖形的圖形解解 2001dxxfa)( 201nxdxxfancos)( 232120)( dxxdx 211nn)( 2021cos)(cosnxdxxnxdx 201nxdxxfbnsin)(n1 2021sin)(sinnxdxxnxdxyx 2)(xf由于由

7、于 f (x) 在在 ( 0 , 2 ) 上連續(xù)上連續(xù) , 且分段單調(diào)且分段單調(diào) , 故有故有 , sincos)()( 1220111443nnxnxnnxnxf 20)(xf 20000210 )()()( ffS20202212 )()()( ffS , sincos)()( 1220111443nnxnxnnxnxf yx 20 2)(xS2 定義區(qū)間長(zhǎng)為定義區(qū)間長(zhǎng)為 的情形的情形研究的方法研究的方法將在定義域區(qū)間長(zhǎng)為將在定義域區(qū)間長(zhǎng)為 的函數(shù)的函數(shù) f (x) 延拓延拓為定義域區(qū)間長(zhǎng)為為定義域區(qū)間長(zhǎng)為 2 的函數(shù)的函數(shù) )(xf周期延拓周期延拓R 上的周期函數(shù)上的周期函數(shù) )(xf利

8、用上面的結(jié)果獲得利用上面的結(jié)果獲得 的展開(kāi)式的展開(kāi)式 )(xf根據(jù)定義區(qū)間上根據(jù)定義區(qū)間上 獲得獲得 f (x) 的的)()(xfxf付里埃展開(kāi)式付里埃展開(kāi)式設(shè)設(shè) f (x) 在在 0 , 上定義上定義 將將 f (x) 延拓到延拓到 ( , 0 )(xf( 方法無(wú)限多方法無(wú)限多 )奇延拓奇延拓簡(jiǎn)單而常用的方法是將簡(jiǎn)單而常用的方法是將 f (x) 奇奇(偶偶) 延拓到延拓到 ( , 0 )將將 f (x) 奇延拓到奇延拓到 ( , 0 ) , 利用上段的利用上段的結(jié)果得結(jié)果得, , , , cos)(21001nnxdxxfan 021nxdxxfnxdxxfbnsin)(sin)( 獲得獲得

9、 f (x) 的展開(kāi)式的展開(kāi)式 sin)(1nnnxbxf, , , sin)(2120nnxdxxfbn ( 展為正弦級(jí)數(shù)展為正弦級(jí)數(shù) )偶延拓偶延拓將將 f (x) 偶延拓到偶延拓到 ( , 0 ) , 利用上段的利用上段的結(jié)果得結(jié)果得 cos)(cos)( 021nxdxxfnxdxxfan01 nxdxxfbnsin)( 獲得獲得 f (x) 的展開(kāi)式的展開(kāi)式 ( 展為余弦級(jí)數(shù)展為余弦級(jí)數(shù) ) cos)(102nnnxaaxf, , , cos)(2120nnxdxxfan 例例將函數(shù)將函數(shù) f (x)= x2 展開(kāi)為付里埃級(jí)數(shù)展開(kāi)為付里埃級(jí)數(shù)(1) 按余弦展開(kāi)按余弦展開(kāi) (2) 按正

10、弦展開(kāi)按正弦展開(kāi) (3) 在在 ( 0 , 2 ) 內(nèi)展開(kāi)內(nèi)展開(kāi)作出以上三種和函數(shù)的圖形作出以上三種和函數(shù)的圖形 , 并利用這些展開(kāi)式并利用這些展開(kāi)式求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 的和的和 121211212111nnnnnnn)( , )( , 解解(1) 此時(shí)認(rèn)為此時(shí)認(rèn)為 只在只在 0 , 上定義上定義 2xxf)(并將并將 f (x) 偶延拓到偶延拓到 ( , 0 ) , 則則 , , , 210nbn3222020 dxxa20204122nnxdxxnxdxxfann)(coscos)( 由由 在在 0 , 上連續(xù)上連續(xù) , 單調(diào)單調(diào)2xxf)( xnxnxxfnn01431222 , cos)()

11、(yx )(xf2 3 3)(xfyx )(xS 3 3 xnxnxxfnn01431222 , cos)()(6)并將并將 f (x) 奇延拓到奇延拓到 ( , 0 ) , 則則 , , , , 2100nan(2) 此時(shí)認(rèn)為此時(shí)認(rèn)為 只在只在 0 , 上定義上定義 2xxf)( 02022nxdxxnxdxxfbnsinsin)()()(1142131nnnn 由由 在在 0 , 上連續(xù)上連續(xù) , 單調(diào)單調(diào)2xxf)( xnxnnxxfnnn011421132 , sin)()()(yx 3 3)(xS xnxnnxxfnnn011421132 , sin)()()( 并將并將 f (x)

12、 周期延拓到周期延拓到 R , 則則 (3) 此時(shí)認(rèn)為此時(shí)認(rèn)為 只在只在 0 , 2 上定義上定義 2xxf)(38122020 dxxa220220411nnxdxxnxdxxfan coscos)(nnxdxxnxdxxfbn 41120220sinsin)(由由 在在 0 , 2 上連續(xù)上連續(xù) , 單調(diào)單調(diào)2xxf)( 2044341222xnxnnxnxxfn , )sincos()(yx 2 4)(xS 4 2 2044341222xnxnnxnxxfn , )sincos()(在在 (6) 式中令式中令 x = , 則有則有 1222143nn 61212 nn在在 (6) 式中令

13、式中令 x = 0 , 則有則有 )(1221430nnn 1221112nn n() 1212121211212121111nnnnnnnnnnn)()()( 8121212 nn)( 3 定義區(qū)間為一般區(qū)間的情形定義區(qū)間為一般區(qū)間的情形(1) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 ( a , a + 2l ) 的情形的情形 研究的方法研究的方法將函數(shù)將函數(shù) f (x) 以以 2l 為周期為周期 周期延拓周期延拓得得 R 上的上的 2l 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) )(xf利用上面的結(jié)果獲得利用上面的結(jié)果獲得 的展開(kāi)式的展開(kāi)式 )(xf根據(jù)定義區(qū)間上根據(jù)定義區(qū)間上 獲得獲得 f (x) 的的)()

14、(xfxf付里埃展開(kāi)式付里埃展開(kāi)式 )sincos()(102nnnlxnblxnaaxf laalaandxlxnxfldxlxnxfla2211 cos)(cos)(laalaandxlxnxfldxlxnxflb2211 sin)(sin)(f (x) 的展開(kāi)式的展開(kāi)式 ) ,(),()( (laaxxfxf2 )sincos()(102nnnlxnblxnaaxf laandxlxnxfla21 cos)(laandxlxnxflb21 sin)(2) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 ( 0 , l ) 的情形的情形 研究的方法研究的方法將將 f (x) 延拓到延拓到 ( l , 0 )(x

15、f( 方法無(wú)限多方法無(wú)限多 )周期延拓周期延拓得得 R 上的上的 2l 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) )(xf將函數(shù)將函數(shù) 以以 2l 為周期為周期 )(xf利用上面的結(jié)果獲得利用上面的結(jié)果獲得 的展開(kāi)式的展開(kāi)式 )(xf根據(jù)定義區(qū)間上根據(jù)定義區(qū)間上 獲得獲得 f (x) 的的)()(xfxf付里埃展開(kāi)式付里埃展開(kāi)式奇延拓奇延拓 sin)(1nnlxnbxf lndxlxnxflb02 sin)(偶延拓偶延拓 cos)(102nnlxnaaxf lndxlxnxfla02 cos)(例例將函數(shù)將函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 ( 1 , 1 上展成付里埃級(jí)數(shù)上展成付里埃級(jí)數(shù) , 并作出并作出01xx , 101xx , )(xf和函數(shù)和函數(shù) S(x) 的圖形的圖形解解11011dxxfa)(此時(shí)此時(shí) l = 1111001dxxxdx)(1111xdxnxfan cos)(011001xdxnxxdxnx cos)(cos1111xdxnxfbn sin)( nn 1131)(由于由于 f (x) 在在 ( 1 , 0) , (0 , 1) 上連續(xù)上連續(xù) , 單調(diào)單調(diào) ) , () , ( , sin)()(11100113121nnxxnnxf yx)(xS1122 ) , () , ( , sin)()( 11100113121nnxxnnxf 例例將函數(shù)將函