代數(shù)綜合問(wèn)題--知識(shí)講解（提高）

1、word中考沖刺：代數(shù)綜合問(wèn)題知識(shí)講解提高責(zé)編：常春芳【中考展望】初中代數(shù)綜合題，主要以方程、函數(shù)這兩局部為重點(diǎn)，因此牢固地掌握方程與不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判別式、函數(shù)的解析式確實(shí)定及函數(shù)性質(zhì)等重要根底知識(shí)，是解好代數(shù)綜合題的關(guān)鍵在許多問(wèn)題中，代數(shù)和幾何問(wèn)題交織在一起，就要溝通這些知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，以數(shù)形結(jié)合的方法找到解決問(wèn)題的突破口通過(guò)解綜合題有利于透徹和熟練地掌握根底知識(shí)和根本技能，更深刻地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力【方法點(diǎn)撥】(1)對(duì)“數(shù)學(xué)概念的深刻理解是解綜合題的根底；(2)認(rèn)識(shí)綜合題的結(jié)構(gòu)是解綜合題的前提；(3)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是解綜合題的關(guān)

2、鍵；(4)幫助學(xué)生建立思維程序是解綜合題的核心* 審題(讀題、斷句、找關(guān)鍵)；* 先宏觀(題型、知識(shí)塊、方法)； 后微觀(具體條件，具體定理、公式)* 由，想可知(聯(lián)想知識(shí))； 由未知，想須知(應(yīng)具備的條件)，注意知識(shí)的結(jié)合；* 觀察挖掘題目結(jié)構(gòu)特征； 聯(lián)想聯(lián)系相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)； 突破抓往關(guān)鍵實(shí)現(xiàn)突破； 尋求學(xué)會(huì)尋求解題思路(5)準(zhǔn)確計(jì)算，嚴(yán)密推理是解綜合題的保證【典型例題】類(lèi)型一、函數(shù)綜合1函數(shù)和ykx+1(k0)(1)假設(shè)這兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，a)，求a和k的值；(2)當(dāng)k取何值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象總有公共點(diǎn)?【思路點(diǎn)撥】此題是一次函數(shù)，反比例函數(shù)的綜合題此題考查了函數(shù)解析式的求法和利

3、用判別式判斷函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案與解析】 解：(1)兩函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，a)， 解得(2)將代入ykx+1，消去y，得k0，要使得兩函數(shù)的圖象總有公共點(diǎn)，只要0即可1+8k1+8k0，解得kk且k0時(shí)這兩個(gè)函數(shù)的圖象總有公共點(diǎn)【總結(jié)升華】?jī)蓤D象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常通過(guò)建立方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的判別式來(lái)判斷假設(shè)0，兩圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；假設(shè)0，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)；假設(shè)0，兩圖象沒(méi)有公共點(diǎn)舉一反三：【變式】如圖，一元二次方程的兩根，是拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，的橫坐標(biāo)，且此拋物線過(guò)點(diǎn)A3，6(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與線段AC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)P和點(diǎn)

4、Q的坐標(biāo)；(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo) 【答案】解：(1)解方程，得=-3，=1.拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：C-3，0，B1，0.將 A3，6，B1，0，C-3，0代入拋物線的解析式，得 解這個(gè)方程組，得 拋物線解析式為.(2)由，得拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為-1，-2，對(duì)稱軸為直線x=-1.設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,將A3，6，C-3，0代入,得解這個(gè)方程組，得 直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+3.由于Q點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)，故解方程組得 點(diǎn)Q坐標(biāo)為-1，2. (3)作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸交點(diǎn)即為所求的點(diǎn). 設(shè)直線的函數(shù)關(guān)

5、系式為y=kx+b. 解這個(gè)方程組，得 直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x.令x=0，那么y=0. 點(diǎn)M的坐標(biāo)為0，0.類(lèi)型二、函數(shù)與方程綜合2關(guān)于x的二次函數(shù)與，這兩個(gè)二次函數(shù)的圖象中的一條與x軸交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn) (1)試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)；(2)假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，試求B點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，對(duì)于經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減小?【思路點(diǎn)撥】此題是二次函數(shù)與一元二次方程的綜合題此題考查了利用一元二次方程根的判別式判斷二次函數(shù)圖象，與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)【答案與解析】解：(1)對(duì)于關(guān)于x的二次函數(shù)，由于(-m)24

6、×1×，所以此函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)對(duì)于關(guān)于x的二次函數(shù)，由于， 所以此函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的二次函數(shù)為(2)將A(-1，0)代入，得整理，得解之，得m0，或m2當(dāng)m0時(shí)，令y0，得解這個(gè)方程，得，此時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是B(1，0)當(dāng)m2時(shí)，令y0，得解這個(gè)方程，得x3-1，x43此時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是B(3，0)(3)當(dāng)m0時(shí)，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x0，所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小當(dāng)m2時(shí)，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x1，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小【總結(jié)升華】從題目的結(jié)構(gòu)來(lái)看，二次函數(shù)與

7、一元二次方程有著密切的聯(lián)系，函數(shù)思想是變量思想，變量也可用常量來(lái)求解舉一反三：【高清課堂:代數(shù)綜合問(wèn)題 例3】【變式】2022·門(mén)頭溝一模關(guān)于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=01求證該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；2如果拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與x軸交于A、B兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，且m為正整數(shù)，求此拋物線的表達(dá)式；3在2的條件下，拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，設(shè)此拋物線在3x之間的局部為圖象G，如果圖象G向右平移nn0個(gè)單位長(zhǎng)度后與直線CD有公共點(diǎn)，求n的取值范圍【答案】1證明： = (3m+1)24×m

8、15;3 =(3m1)2. (3m1)20， 0， 原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 2解：令y=0，那么 mx2+(3m+1)x+3=0. 解得 ，. 拋物線與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且m為正整數(shù)，m=1. 拋物線的表達(dá)式為. 3解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3，C0，3.當(dāng)y=0時(shí)，x1=3，x2=1.又點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，A3，0，B1，0. 點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，D1，0. 設(shè)直線CD的表達(dá)式為y=kx+b. 解得直線CD的表達(dá)式為y=3x+3. 又當(dāng)時(shí)，.A3，0，E，平移后，點(diǎn)A，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'3+n，0，E'，.當(dāng)直線y=3x+3過(guò)點(diǎn)A'3+n，0時(shí)，3(3+n)+3=0，

9、n=4. 當(dāng)直線y=3x+3過(guò)點(diǎn)E'，時(shí)，n=. n的取值范圍是n4. 類(lèi)型三、以代數(shù)為主的綜合題3如下圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OB (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求經(jīng)過(guò)A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式； (3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長(zhǎng)最??？假設(shè)存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 (4)如果點(diǎn)P是(2)中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？假設(shè)有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；假設(shè)沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 【思路點(diǎn)撥】(1)由AOB120°可

10、得OB與x軸正半軸的夾角為60°，利用OB2及三角函數(shù)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)利用待定系數(shù)法可求出解析式；(3)OB為定值，即求BC+CO最小利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可知點(diǎn)C為直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)；(4)利用轉(zhuǎn)化的方法列出關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式求解【答案與解析】 解：(1)B(1，) (2)設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)B(1，)，得所以(3)如下圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x-1，因?yàn)锳，O關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，BOC的周長(zhǎng)最小設(shè)直線AB的解析式為，那么 解得因此直線AB的解析式為當(dāng)時(shí)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4)如下圖，過(guò)P作y軸的平行線交AB于

11、D，設(shè)其交x軸于E，交過(guò)點(diǎn)B與x軸平行的直線于F設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x那么當(dāng)時(shí)，PAB的面積的最大值為，此時(shí)【總結(jié)升華】 此題為二次函數(shù)的綜合題，綜合程度較高，要掌握利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示坐標(biāo)軸上線段的方法因?yàn)榫€段的長(zhǎng)度為正數(shù)，所以在用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度時(shí)，我們用“右邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)減左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)，上邊點(diǎn)的縱坐標(biāo)減下邊點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而不用加絕對(duì)值號(hào)，此題中線段PD的長(zhǎng)為就是利用了這一規(guī)律 42022.北京東城一模在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，,與軸交于點(diǎn)1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；2假設(shè)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo);3在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使成為以為直角邊的直角三角形？假設(shè)存

12、在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【思路點(diǎn)撥】1點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得解析式；2利用軸對(duì)稱知識(shí)求三角形周長(zhǎng)最小值；3注意分類(lèi)討論滿足條件的直角三角形，不要漏解.【答案與解析】 解：1拋物線過(guò)點(diǎn)，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為. 2， 拋物線的對(duì)稱軸為直線.設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小.設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，代入的坐標(biāo)，那么解得所以，直線的函數(shù)表達(dá)式為.當(dāng)時(shí)，. 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 3存在. 當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，交對(duì)稱軸于點(diǎn).， .， .點(diǎn)的坐標(biāo)為. 設(shè)直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，代入的坐標(biāo)，那么解得所以，直線的函數(shù)表達(dá)式為.令，

13、那么. 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn). 與同理可得是等腰直角三角形，.點(diǎn)的坐標(biāo)為.，.直線的函數(shù)表達(dá)式為.令，那么.點(diǎn)的坐標(biāo)為. 綜上，在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使成為以為直角邊的直角三角形【總結(jié)升華】求最值問(wèn)題，在幾何和函數(shù)類(lèi)題目中經(jīng)?？疾?，通常利用軸對(duì)稱知識(shí)來(lái)解答此類(lèi)題型；點(diǎn)的存在性也是?？键c(diǎn)，注意解的多樣性，從而分類(lèi)討論，不要出現(xiàn)漏解情況.舉一反三：【變式】如下圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)； (3)假設(shè)E點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)點(diǎn)在拋物線上，如果A，C，E，F(xiàn)構(gòu)成平行四邊形，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)【

14、答案】解：(1)，C(0，3)又，A(1，0)又，AB4。B(-3，0)(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入得：a-1，b-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)(-1，4)(3)如圖1和圖2 當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時(shí)， (-1，0)，E2(，0)，E3(，0)當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，E4(3，0)5函數(shù)y1x，y2x2+bx+c，為方程的兩個(gè)根，點(diǎn)M(t，T)在函數(shù)y2的圖象上 (1)假設(shè)，求函數(shù)y2的解析式； (2)在(1)的條件下，假設(shè)函數(shù)y1與y2的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，當(dāng)ABM的面積為時(shí)，求t的值； (3)假設(shè)01，當(dāng)0tl時(shí)，試確定T，三者之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由 【思路點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)由得的兩根為，利用根的定義代入得到b，c的方程組可求出b，c值；第(2)問(wèn)分別求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線yx與x軸夾角為45°得到關(guān)于t的方程；第(3)問(wèn)利用求差法比擬T，的大小，注意對(duì)t的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)確實(shí)定相應(yīng)T，的大小關(guān)系【答案