人教A版高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例題講解

1、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例1.設(shè)函數(shù),，= /*)的定義域?yàn)镽,并且滿足/(x + y) = /(x)+/(y),嗎) = 1,當(dāng)X >0時(shí),/(¥)> 0.(1)求/(0)的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)如果/(x)+/'(2 + x)v2,求的取值范圍.分析：(3)，在求解與抽象函數(shù)一個(gè)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性把符號(hào)脫掉,使抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體的不等式，此時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域.解：(1)令x = y = 0,則有/(0) = /(0) + /(0) = 2/(0) /(0) = 0;(2)令)，=t廁有/(0) = /(x)+ /(-x

2、) = 0，/(-%) = -/(工) 函數(shù))，=/'(X)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 函數(shù))，=/(X)為奇函數(shù)；令則有段+ +啟+詹)=2傭=“、,，嗚卜，"停)=2任取 xltx2 e R.且 $ < x2，則 x2 -xt > 0.當(dāng) x > 0時(shí)，f(x) > 0,，/(x2-x1)>0，/(工)一 /(占)=(七一陽)+ 當(dāng))一 /(%,) = /(x2-x,)+ /(x,)-/(x,)= /(x2-xl)>0 /(*)</(%)函數(shù)),=/(幻在R上為增函數(shù) /(A-)+ /(2 + X)< 2, /(X + (2

3、 + V /(I,(：.f(2x + 2)<f - 3 /函數(shù))，= /«在R上為增函數(shù)2,?/. 2工+ 2<二,解之得:工一一. 331的取值范圍是(-00,-|、.總結(jié) 在求解與抽象函數(shù)一個(gè)的不等式時(shí),要用到函數(shù)的單調(diào)性,從而把抽象函數(shù)的不等式 轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.若函數(shù)的單調(diào)性未知,則在解不等式前要先用定義法確定函數(shù)的 單調(diào)性,注意函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間.例2.已知函數(shù)/是定義在(-s,0)U(0,*o)上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)滿足 f(ab) = f(a)+ f(b)，且當(dāng) X > 1 時(shí)，有 f(x) > 0.(1)判斷并證明函數(shù)/

4、(X)的奇偶性；(2)證明函數(shù)/在(0,2)上為增函數(shù)，并求不等式的解集.分析：(1),函數(shù)/(X)滿足f(ah)= /(«)+ /(),為“和型”抽象函數(shù)，在判號(hào)時(shí)常利用 條件變形為：/U,)=/)+/(M)-)=/|上.解:(1)函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，理由如下:f(x)是定義在(-s,0)U(0,2)上的函數(shù)其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.令。=。=1,則有/=/(1) + /(I) = 2/(1), /(I) = 0令 a = b = -l，則有 /(I) = /(-I) + /(-I) = 2/(-1) = 0,. /(-I) = 0令。=%力=T,則有 f(-x) = /(x)+/(

5、-l)，函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；(2)證明:任取M.(。，),且再 <羽,則±>1. ,演/ 、r 當(dāng)X>1 時(shí)，有/(%)>(),/ 二 >0.XJ ， 7(a) 一 /(占)=/ ± . x) 一 /O'； )=/(+/U,) - /U.)=/>° 5 ) <XJ(xj 函數(shù)/(x)在(0,e)上為增函數(shù).由(1)知:/=0 /(A-I)<o,r. /(x-i)</(D./(|x-l|)</(l),函數(shù)/(X)在(。，)上為增函數(shù) 打一1|<1,解之得:0vxv2. 不等式-1) v 0的

6、解集為(0,2).注意：根據(jù) f(ab) = f(a) + f(b)，令 a =。= 0 ,則 /(0) = /(0) + /(0) = 2/(0),得到 /(0) = 0,但是x = 0不在函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)，所以不能用來求解(2)中的不等 式.例3.已知函數(shù)/(幻是定義在-2,2上的奇函數(shù)，當(dāng)xe-2,0時(shí)，函數(shù) 3f(x) = x2 - x + a (a e R).(1)求/(x)在-2,2上的解析式;(2)求/(x)在-2,2上的值域.第1貞結(jié)論（1）若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則/（0） = 0.（2）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)（一個(gè)是函數(shù)的最大值,另一個(gè)是函數(shù)的最

7、小值）利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的一般方法是：（1）“求誰設(shè)誰”，即求函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上的解析式,就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上；（2）利用已知區(qū)間的函數(shù)解析式矩形化簡,得到了（-幻的解析式；（3）利用函數(shù)/（X）的奇偶性寫出-/（X）或/（X）,即可得到函數(shù)/（為的解析式.注意:若fW是R上的奇函數(shù)時(shí),不要遺漏 = 0的情形.解：（1） .函數(shù)/（X）是定義在-2,2上的奇函數(shù)，/(0)= 0,J4 = 0 當(dāng) x e - 2,0時(shí)，函數(shù) “X)= / - 5 X.2當(dāng) x g 0,2時(shí),一 x e 2,03q'/ J) = (- X)2 -(-X)= X2 +- = -/W 乙乙f(x) = -

8、X2£ 0,2.3x2 e - 2,0fM =0,x = 03_ X XyX C 0,2(2)當(dāng) xe -2,0H'L/(x) = x293-，其圖象的對(duì)稱軸為直線x = -164函數(shù)/（X）在區(qū)間-2,0上是減函數(shù) /（戈）皿=/（-2） = 7,即函數(shù)/（外在-2,2上的最大值為7.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 7*）麗=一/*）皿=一7fx)在-2,2上的值域?yàn)?7,7.例4.已知函數(shù)/(X)在(-1,1)上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)0 v x v 1時(shí),< 0,且對(duì)任意x、y e (一 1,1),都有 /(x) + /()，)= / '.U+-y>J證明：(1

9、) “X)為奇函數(shù);(2) /(外在(-1,1)上單調(diào)遞減.證明：(1) ,函數(shù)/3)的定義域?yàn)?-1,1) 其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.: 對(duì)任意 X、y (-1,1)，都有 f(x) + f(y) = j 令 X = y =。,則有 /(O) 4- /(O) = 2/(0), /(O) = 0令 y = -X 廁有 /(x) + /(-A) = /(O) = 0/(-a) = -fx 函數(shù)/(x)為奇函數(shù)；(2)任取須e(T，l)，且占va,則有7(& ) - /(須)=%)+ /(- 七)=/| V- U-x/工X X£(1,1),且凡 VX,，X)一% >0,1 XX

10、)>0,_ > 01-3 / X2 - X -(1- X1X2 ) = X2 - Xj - 1 + X1X2 = % (1 + 陽)一(1 +) = (1 + 須 Xx2 _ 1) V 0x - X/ 0 <- x < 1-x.x., 0 < < 1/IJ .If 當(dāng)Ovx<l 時(shí)，/Wv0, / I AzlIlLo，/(s)- /(x) v。，fM > fM /(X)在(-1,1)上單調(diào)遞減.例5.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?V，。,且滿足對(duì)任意再e。，有：/(內(nèi)8)=/(兒)+ /(%).(1)求/的值；(2)判斷了。)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(

11、3)如果/(4) = 1 J(x 1)< 2,且/(x)在(0,4<o)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.解：(1)令x = y = l,則有/=/(1) + /(1) = 2/ /=0;(2)函數(shù)為偶函數(shù)，理由如下:由題意可知，函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.令 X = y = T,則有 /(I) = /(-1)+/(-1) = 2/(-1) = 0 /(-1) = 0令為=x,% =-1,則有/(x) = /(x) + /(l),； /(-x) = f(x) 函數(shù)/(X)為偶函數(shù)；(3) 7/(4) = 1, /(4x4) = /(4) + /(4) = 2/(4) = 2,A /(1