概率統(tǒng)計實驗12多準則決策問題

1、實驗十二 多準則決策問題一 實驗?zāi)康耐ㄟ^用層次分析法解決一個多準則決策問題, 學(xué)習(xí)層次分析法的基本原理與方法; 掌握用層次分析法建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟；學(xué)會用Mathematica解決層次分析法中的數(shù)學(xué)問題.二 學(xué)習(xí)Mathematica命令有時在計算中只需求出實數(shù)解, 而省略復(fù)數(shù)解, 則可以輸入調(diào)用只求實數(shù)解的軟件包. 輸入<<MiscellaneousRealOnly.m即可.三 實驗的基本原理與方法層次分析法是一種簡便、靈活而實用的多準則決策方法. 它特別適用于難以完全定量進行分析的，又相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜問題. 它把人的思維過程層次化、數(shù)量化, 是系統(tǒng)分析

2、的一個新型的數(shù)學(xué)方法.運用層次分析法建模，大體上可分四個基本步驟進行：1. 建立層次結(jié)構(gòu)首先對所面臨的問題要掌握足夠的信息. 搞清楚問題的范圍、因素、各因素之間的相互關(guān)系，及所要解決問題的目標(biāo). 把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個有層次的結(jié)構(gòu)模型. 在這個模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分. 這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次. 層次結(jié)構(gòu)一般分三類：第一類為最高層，它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)和結(jié)果，也稱目標(biāo)層；第二類為中間層，它是為了實現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，如：準則、子準則，也稱準則層；第三類為最低層，它包括了為實現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，也稱方案層.決策目標(biāo)方案2方案m方案1準

3、則1準則n準則2 圖1 圖26.1層次結(jié)構(gòu)應(yīng)具有幾個特點：(1) 從上到下順序地存在支配關(guān)系，并用直線段表示.(2) 整個結(jié)構(gòu)中層次數(shù)不受限制.2. 建立判斷矩陣判斷矩陣是層次分析的關(guān)鍵. 假定以上一層次的元素O為準則，所支配的下一層次的元素為，n個元素對上一層次的元素O有影響，要確定它們在O中的比重采用成對比較法即每次取兩個元素和，用表示與對O的影響之比，全部比較的結(jié)果可用矩陣表示，矩陣稱為判斷矩陣定義1 若判斷矩陣滿足下列條件：則稱判斷矩陣為正互反矩陣.怎樣確定判斷矩陣的元素取值？當(dāng)某層的元素對于上一層某元素O的影響可直接定量表示時（如利潤多少），與對O的影響之比可以直接確定，的值也易得到

4、但對于大多數(shù)社會經(jīng)濟問題，特別是比較復(fù)雜的問題，元素和對的重要性不容易直接獲得，需要通過適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q通常取數(shù)字及其倒數(shù)作為的取值范圍這是因為在進行定性的成對比較時，人們頭腦中通常有5個明顯的等級：表1 成對比較的尺度與對O的影響比相同稍強強很強絕對地強（尺度）13579在每兩個等級之間各有一個中間狀態(tài)，共19個尺度. 另外心理學(xué)家認為進行成對比較的因素太多，將超出人們的判斷比較能力，降低精確. 實踐證明，成對比較的尺度以7為宜. 故的取值范圍是1，2，及其倒數(shù)1，3. 計算層次單排序并做一致性檢驗層次單排序是指同一層次各個元素對于上一層次中的某個元素的相對重要性進行排序. 具體做法是：根據(jù)同

5、一層n個元素，對上一層某元素O的判斷矩陣求出它們對于元素O的相對排序權(quán)重，記為：.寫成向量形式： ，稱為的排序權(quán)重向量. 其中表示第個元素對上一層中某元素O所占的比重. 從而得到層次單排序. 層次單排序權(quán)重向量可有幾種方法求解，常用的方法是利用判斷矩陣的特征值與特征向量來計算排序權(quán)重向量.為此引出矩陣的特征值與特征向量的有關(guān)理論.定義2 如果一個正互反矩陣滿足，則稱矩陣具有一致性，稱元素的成對比較是一致的; 并且稱為一致矩陣.根據(jù)矩陣理論，可以得到如下幾個定理.定理1 階正互反矩陣的最大特征根，當(dāng)時，是一致的.定理2 階正互反矩陣是一致矩陣的充分必要條件是最大特征值.計算排序權(quán)重向量方法和步驟

6、：設(shè)是階判斷矩陣的排序權(quán)重向量，當(dāng)為一致矩陣時，根據(jù)階判斷矩陣構(gòu)成的意義，顯然有 （1）因而滿足 . 這里是矩陣的最大特征根，是相應(yīng)的特征向量；當(dāng)為一般的判斷矩陣時. 其中是的最大特征值（也稱主特征根），是相應(yīng)的特征向量（也稱主特征向量）. 經(jīng)歸一化后（即：），可近似作為排序權(quán)重向量，這種方法稱為特征根法.一致性檢驗：在判斷矩陣的構(gòu)造中，并沒有要求判斷矩陣具有一致性的特點. 這是由于客觀事物的復(fù)雜性與人的認識的多樣性所決定.特別是在規(guī)模大、因素多的情況下，對于判斷矩陣的每個元素來說，不可能求出精確的.但要求判斷矩陣大體上應(yīng)該是一致的. 一個經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤. 利用上述方

7、法計算排序權(quán)向量，當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時，其可靠程度也出現(xiàn)問題. 因此需要對判斷矩陣的一致性進行檢驗. 其步驟如下：（1）計算一致性指標(biāo) （2）當(dāng)時，即時，判斷矩陣是一致的. 當(dāng)值越大，判斷矩陣的不一致的程度越嚴重. （2）查找相應(yīng)的平均隨機一致性指標(biāo)下表給出了（從111）階正互反矩陣，用了100150個隨機樣本矩陣算出的隨機一致性指標(biāo)表2 矩陣階數(shù)與隨機一致性指標(biāo)矩陣階數(shù)1234567891011000.580.91.121.241.321.411.451.491.51（3）計算一致性比例 （3）當(dāng)時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正. 4. 計算層次總排序權(quán)

8、重并做一致性檢驗在得到了某層元素對其上一層中某元素的排序權(quán)重向量后，還需要得到各層元素，特別是最低層中各方案對于目標(biāo)層的排序權(quán)重，即層次總排序權(quán)重向量，從而進行方案選擇. 層次總排序權(quán)重要自上而下地將層次單排序的權(quán)重進行合成得到. 考慮3個層次的決策問題. 若第一層只有1個元素，第二層有個元素，第三層有個元素，設(shè)第二層對第一層的層次單排序的權(quán)重向量為：第三層對第二層的層次單排序的權(quán)重為：以為列向量構(gòu)成矩陣 （4）則第三層對第一層的層次總排序權(quán)重向量為 （5）一般地，若有s層，則第k層對第一層的總排序權(quán)重向量為 （6）其中是以第k層對第k-1層的排序權(quán)向量為列向量組成的矩陣，是第k-1層對第一層

9、的總排序權(quán)重向量. 按照上述遞推公式，可得到最下層（第層）對第一層的總排序權(quán)重向量為 （7）層次總排序權(quán)重向量也要進行一致性檢驗. 具體方法是從最高層到最低層逐層進行.定義3：若考慮的決策問題共有層. 設(shè)第（）層的一致性指標(biāo)為; 第層的隨機一致性指標(biāo)為 ，令 （8） （9）則第層對第一層的總排序權(quán)向量的一致性比率為. （10）其中為由（3）式計算的第二層對第一層的排序權(quán)向量的一致性比率.當(dāng)最下層對第一層的總排序權(quán)向量的一致性比率時，認為整個層次結(jié)構(gòu)的比較判斷可通過一致性檢驗.四 實驗內(nèi)容電腦的選購問題.在選購電腦時，人們希望花最少的錢買到最理想的電腦. 下面通過層次分析法建立數(shù)學(xué)模型，以此確定

10、欲選購的電腦. 模型建立的步驟可以分成四步：1. 建立購機的層次結(jié)構(gòu)模型；2. 構(gòu)造成對比較矩陣；3. 計算排序權(quán)重向量并做一致性檢驗；4. 計算層次總排序權(quán)重向量并做一致性檢驗. 下面按上述各步驟一一討論研究. 1. 建立購機的層次結(jié)構(gòu)模型 選擇的目標(biāo) 售后服務(wù)外觀質(zhì)量價格性能品牌1品牌2品牌3圖 26.2層次共有三層：最高層是“目標(biāo)層”（用符號O表示最終的選擇目標(biāo)）；中間層是“準則層”（分別用符號表示“性能”、“價格”、“質(zhì)量”、“外觀”、“售后服務(wù)”五個判斷準則）；最低層是“方案層”（分別用符號表示選定的三種品牌機：品牌1、品牌2、品牌3作為候選機型）. 選定了上述三種品牌機后，就要根據(jù)

11、準則進行評定. 2. 建立成對比較矩陣（1）建立“準則層”對“目標(biāo)層”的成對比較矩陣根據(jù)表1的定量化尺度，根據(jù)建模者的個人觀點，設(shè)“準則層”對“目標(biāo)層”的成對比較矩陣為 （11）（2）建立“方案層”對“準則層”的成對比較矩陣 3. 計算排序權(quán)重向量并做一致性檢驗利用Mathematica的Eigensystem命令可得到矩陣A的最大特征值及特征值所對應(yīng)的特征向量. 輸入：<<MiscellaneousRealOnly.m(*調(diào)用只求實數(shù)運算的軟件包*)A=1.0, 5, 3, 9, 3, 1/5, 1, 1/2, 2, 1/2, 1/3, 2, 1, 3, 1, 1/9, 1/2,

12、 1/3, 1, 1/3, 1/3, 2, 1, 3, 1;（*以小數(shù)形式1.0輸入, 進行近似計算，可避免精確解太長、太復(fù)雜*）T=EigensystemA/Chop(*輸入/Chop,把與零非常接近的數(shù)換成零*)輸出為：5.00974, Nonreal, Nonreal, 0, 0, 0.88126, 0.167913, 0.304926, 0.0960557, 0.304926, 0.742882, Nonreal, Nonreal, Nonreal, Nonreal, 0.742882, Nonreal, Nonreal, Nonreal, Nonreal, -0.993398, 0,

13、 0.0673976, 0.0662265, 0.0650555, -0.65676, 0, 0.57431, 0.043784, -0.486742(輸出中的Nonreal表示復(fù)數(shù))得到A的最大特征值，以及所對應(yīng)的特征向量輸入Clearx;x=T2,1;ww2=x/ApplyPlus, x得歸一化后的特征向量：計算一致性指標(biāo) 其中，, 得 =0.002435.查表得到相應(yīng)的隨機一致性指標(biāo)得到一致性比例=0.002174故，通過了一致性檢驗. 此時可以認為A的一致性程度在容許的范圍之內(nèi)，可以用其歸一化后的特征向量作為其排序權(quán)向量.再求矩陣的最大特征值及特征值所對應(yīng)的特征向量. 輸入命令B1=B

14、3=1.0, 1/3, 1/5, 3, 1, 1/2, 5, 2, 1;B2=TransposeB1;B4=1.0, 5, 3, 1/5, 1, 1/2, 1/3, 2, 1;B5=1.0, 3, 3, 1/3, 1, 1, 1/3, 1, 1;T1=EigensystemB1/ChopT2=EigensystemB2/ChopT3=EigensystemB3/ChopT4=EigensystemB4/ChopT5=EigensystemB5/Chop輸出分別為3.00369,Nonreal,Nonreal,0.163954,0.46286,0.871137,Nonreal,Nonreal,0

15、.871137,Nonreal,Nonreal,0.871137;3.00369,Nonreal,Nonreal,0.928119,0.328758,0.174679,0.928119,Nonreal,Nonreal,0.928119,Nonreal,Nonreal3.00369,Nonreal,Nonreal,0.163954,0.46286,0.871137,Nonreal,Nonreal,0.871137,Nonreal,Nonreal,0.8711373.00369,Nonreal,Nonreal,0.928119,0.174679,0.328758,0.928119,Nonreal,

16、Nonreal,0.928119,Nonreal,Nonreal3.,0,0,0.904534,0.301511,0.301511,-0.973329,0.162221,0.162221,-0.170182,-0.667851,0.724578從輸出可以分別得到的最大特征值為，以及上述特征值所對應(yīng)的特征向量為其中 為了求得歸一化后（即：）的特征向量：輸入Clearx1,x2,x3,x4,x5;x1=T12,1;w1=x1/ApplyPlus, x1x2=T22,1;w2=x2/ApplyPlus, x2x3=T32,1;w3=x3/ApplyPlus, x3x4=T42,1;w4=x4/App

17、lyPlus, x4x5=T52,1;w5=x5/ApplyPlus, x5得 為計算一致性指標(biāo),其中，輸入lamda=T11,1, T21,1, T31,1, T41,1, T51,1CI=(lamda-3)/(3-1)/Chop得查表得到相應(yīng)的隨機一致性指標(biāo)計算一致性比例輸入CR=CI/0.58得.故，通過了一致性檢驗. 此時可以認為的一致性程度在容許的范圍之內(nèi)，可以用其特征向量（歸一化后）作為其排序權(quán)向量. 4. 計算層次總排序權(quán)重向量并做一致性檢驗列表表示各數(shù)據(jù)如下：表3 購買個人電腦問題第三層對第二層的排序權(quán)重計算結(jié)果k123450.1094520.6483290.1094520.6483290.60.3089960.2296510.3089960.122020.20.5815520.122020.5815520.2296510.2 3.00369 3.00369 3.00369 3.00369 3.以矩陣表示第三層對第二層的排序權(quán)重計算結(jié)果為即是第三層對第二層的權(quán)重向量為列向量組成的矩陣. 最下層（第三層）對最上層（第一層）的總排序權(quán)向量為為了計算上式, 輸入W3=Transposew1