函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、周期性_第1頁(yè)
函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、周期性_第2頁(yè)
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1、 函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、周期性基本知識(shí)一、 同一函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題(即函數(shù)自身)1、 周期性:對(duì)于函數(shù),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有都成立,那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù),不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù),就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期。2、 對(duì)稱(chēng)性定義(略),請(qǐng)用圖形來(lái)理解。3、 對(duì)稱(chēng)性:我們知道:偶函數(shù)關(guān)于y(即x=0)軸對(duì)稱(chēng),偶函數(shù)有關(guān)系式 奇函數(shù)關(guān)于(0,0)對(duì)稱(chēng),奇函數(shù)有關(guān)系式 上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓展?答案是肯定的 探討:(1)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng) 也可以寫(xiě)成 或 簡(jiǎn)證:設(shè)點(diǎn)在上,通過(guò)可知,即點(diǎn)上,而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)。

2、得證。 若寫(xiě)成:,函數(shù)關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng) (2)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 或 簡(jiǎn)證:設(shè)點(diǎn)在上,即,通過(guò)可知,所以,所以點(diǎn)也在上,而點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)。得證。 若寫(xiě)成:,函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng) (3)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng):假設(shè)函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng),即關(guān)于任一個(gè)值,都有兩個(gè)y值與其對(duì)應(yīng),顯然這不符合函數(shù)的定義,故函數(shù)自身不可能關(guān)于對(duì)稱(chēng)。但在曲線c(x,y)=0,則有可能會(huì)出現(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng),比如圓它會(huì)關(guān)于y=0對(duì)稱(chēng)。4、 周期性: (1)函數(shù)滿足如下關(guān)系系,則 A、 B、 C、或(等式右邊加負(fù)號(hào)亦成立) D、其他情形 (2)函數(shù)滿足且,則可推出即可以得到的周期為2(b-a),即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對(duì)稱(chēng),則函數(shù)一定

3、是周期函數(shù)” (3)如果奇函數(shù)滿足則可以推出其周期是2T,且可以推出對(duì)稱(chēng)軸為,根據(jù)可以找出其對(duì)稱(chēng)中心為(以上) 如果偶函數(shù)滿足則亦可以推出周期是2T,且可以推出對(duì)稱(chēng)中心為,根據(jù)可以推出對(duì)稱(chēng)軸為 (以上) (4)如果奇函數(shù)滿足(),則函數(shù)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)滿足(),則函數(shù)是以2T為周期的周期性函數(shù)。定理3:若函數(shù)在R上滿足,且(其中),則函數(shù)以為周期. 定理4:若函數(shù)在R上滿足,且(其中),則函數(shù)以為周期. 定理5:若函數(shù)在R上滿足,且(其中),則函數(shù)以為周期.二、 兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)性1、 與關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)。換種說(shuō)法:與若滿足,即它們關(guān)于對(duì)稱(chēng)。2、 與關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)。換種說(shuō)法:

4、與若滿足,即它們關(guān)于對(duì)稱(chēng)。3、 與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。換種說(shuō)法:與若滿足,即它們關(guān)于對(duì)稱(chēng)。4、 與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。換種說(shuō)法:與若滿足,即它們關(guān)于對(duì)稱(chēng)。5、 關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)。換種說(shuō)法:與若滿足,即它們關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)。6、 與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。7、 函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng):定理1:如果函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).推論1:如果函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).推論2:如果函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(y軸)對(duì)稱(chēng).特別地,推論2就是偶函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理1的簡(jiǎn)化.8、 函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱(chēng):定理2:如果函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).推論3:如果函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).推論4:如果函數(shù)

5、滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).特別地,推論4就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡(jiǎn)化.三、試題1已知定義為R的函數(shù)滿足,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如果,且,則的值(A ).A恒小于0 B恒大于0 C可能為0 D可正可負(fù).分析:形似周期函數(shù),但事實(shí)上不是,不過(guò)我們可以取特殊值代入,通過(guò)適當(dāng)描點(diǎn)作出它的圖象來(lái)了解其性質(zhì).或者,先用代替,使變形為.它的特征就是推論3.因此圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上也單調(diào)遞增.我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個(gè)單位.,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,又由,有,.選A.當(dāng)然,如果已經(jīng)作出大致圖象后,用特殊值代人也可猜想出答案為A.2:在R上定義的

6、函數(shù)是偶函數(shù),且.若在區(qū)間上是減函數(shù),則( B )A.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù)分析:由可知圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),即推論1的應(yīng)用.又因?yàn)闉榕己瘮?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),可得到為周期函數(shù)且最小正周期為2,結(jié)合在區(qū)間上是減函數(shù),可得如右草圖.故選B3.定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為,則可能為( D ) A.0 B.1C.3D.5 分析:, ,則可能為5,選D.4已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱(chēng),且當(dāng)時(shí),.求的值.分析:由推論1可知,的圖

7、象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),即,同樣,滿足,現(xiàn)由上述的定理3知是以4為周期的函數(shù).,同時(shí)還知是偶函數(shù),所以.5,則,中最多有( B )個(gè)不同的值.A.165B.177C.183D.199 分析:由已知.又有,于是有周期352,于是能在中找到.又的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),故這些值可以在中找到.又的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),故這些值可以在中找到.共有177個(gè).選B. 6:已知,則( A ).A. B. C. D.3 分析:由,知,.為迭代周期函數(shù),故,.選A.7:函數(shù)在R上有定義,且滿足是偶函數(shù),且,是奇函數(shù),則的值為 .解:,令,則,即有,令,則,其中,. 或有,得.8設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),則( c )A0B1CD5分析:答案

8、為B。先令f(1)= f(-1+2)=f(-1)+f(2)=1/2,根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得f(-1)=-1/2,所以,f(2)=1,f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+f(2)+f(2)=5/2,所以,答案為c。9 設(shè)f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù),f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減,且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng),則下面正確的結(jié)論是 ( B )(A); (B);(C); (D)分析:答案為B。做這種帶周期性、單調(diào)性的試題,通常的做法是將f(x)設(shè)成正弦或余弦函數(shù),具體到本題,可將f(x)設(shè)成正弦函數(shù)或余弦函數(shù),令其周期為6,通過(guò)平移使其滿足在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減,根據(jù)圖像,即可

9、求出,答案為B。10設(shè)函數(shù)與的定義域是,函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù),是一個(gè)奇函數(shù),且,則等于(C)A. B. C. D.分析:答案為C. 本題是考察函數(shù)奇偶性的判定,并不難,根據(jù)奇偶性的定義,即可得出答案為C 高考資源網(wǎng) 11:已知函數(shù)f(x)在(1,1)上有定義,f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對(duì)任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減. 證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0. f(x)=f(x).

10、 f(x)為奇函數(shù). (2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減. 令0<x1<x2<1,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0,>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0,x2x1<1x2x1,0<<1,由題意知f()<0,即f(x2)<f(x1). f(x)在(0,1)上為減函數(shù),又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0 f(x)在(1,1)上為減函數(shù).12. 已知函數(shù)yf (x)是定義在上的周期函數(shù),周期T=5,函數(shù)是奇函數(shù)又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù),在1,4上是二次函數(shù),且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值. 證明:;求的解析式;求在4,9上的解析式.解:f (x)是以為周期的周期函數(shù),又是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),由題意可設(shè),由得,是奇函數(shù),又知yf (x)在0,1上是一次函數(shù),可設(shè),而,當(dāng)時(shí),f (x)=-3x,從而當(dāng)時(shí),故時(shí),f (x)= -3x,.當(dāng)時(shí),有,0. 當(dāng)時(shí),13設(shè)()是定義在R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)對(duì)任意,都有()()·(),且f(1)=()求;()證明

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