空間平面及其方程

1、第五節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角平面及其方程 第八八章 zyxo0mn一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxm設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzcyybxxam稱式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,),(zyxm任取點(diǎn)),(000zzyyxx法向量.量, ),(cban nmm000nmmmm0則有 故的為平面稱nkji例例1.1.求過三點(diǎn),1m又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1m2m3m解解: 取該平面 的法向量為)

2、,2,3, 1(),4, 1,2(21mm)3,2,0(3m的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程346231nn3121mmmm此平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxmkkkk的平面方程為說明說明:特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax時(shí),)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方

3、程為 pozyxrq分析:利用三點(diǎn)式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c二、平面的一般方程二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0dzcybxa任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzcyybxxa0000dzcybxa顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), )0(222cba),(cban 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.特殊情形特殊情形 當(dāng) d = 0 時(shí), a x + b y + c z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) a = 0 時(shí), b y + c z + d = 0 的法

4、向量平面平行于 x 軸; a x+c z+d = 0 表示 a x+b y+d = 0 表示 c z + d = 0 表示 a x + d =0 表示 b y + d =0 表示0dczbyax)0(222cba平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(icbn例例2. 求通過 x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 da故設(shè)所求平面方程為0zcyb代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得bc3化簡,得所求平面方程03 zy三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量

5、為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121ccbbaa222222cba212121cba兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111cban ),(2222cban 2121cosnnnn 2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121ccbbaa21/)2(212121ccbbaa),(:),(:2222211111cbancban1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n因此有例例4. 一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020cb

6、a即ca2的法向量,0cbaccab)()0(0) 1() 1() 1(2czcycxc約去c , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zcybxa)1, 1, 1(1m, )1, 1,0(2m和則所求平面故, ),(cban方程為 n21mmn且外一點(diǎn),求),(0000zyxp0dzcybxa例例5. 設(shè)222101010)()()(cbazzcyybxxa222000cbadzcybxad0111dzcybxa解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxp在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d .0p,則p0 到平面的距離為01prjppdnnnpp010

7、p1pnd, ),(cban (點(diǎn)到平面的距離公式)xyzo0m解解: 設(shè)球心為求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxrzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxm四面體的球面方程.從而)(半徑r2222)633()633(633)633(zyx例例6.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式0dczbyax)0(222cba1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzcyybxxa)0(abc0212121ccbbaa212121ccbbaa2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222dzcybxa),(2222cban , 0:11111dzcybxa),(1111cban )5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx063