最小二乘法擬合

1、 基本概念與數(shù)據(jù)處理 35 4.最小二乘法線性擬合我們知道，用作圖法求出直線的斜率a和截?fù)?jù)b，可以確定這條直線所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式，但用作圖法擬合直線時(shí)，由于作圖連線有較大的隨意性，尤其在測(cè)量數(shù)據(jù)比較分散時(shí)，對(duì)同一組測(cè)量數(shù)據(jù)，不同的人去處理，所得結(jié)果有差異，因此是一種粗略的數(shù)據(jù)處理方法，求出的a和b誤差較大。用最小二乘法擬合直線處理數(shù)據(jù)時(shí),任何人去處理同一組數(shù)據(jù)，只要處理過(guò)程沒(méi)有錯(cuò)誤，得到的斜率a和截?fù)?jù)b是唯一的。最小二乘法就是將一組符合Y=a+bX關(guān)系的測(cè)量數(shù)據(jù)，用計(jì)算的方法求出最佳的a和b。顯然，關(guān)鍵是如何求出最佳的a和b。(1) 求回歸直線設(shè)直線方程的表達(dá)式為： (2-6-1)要根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)

2、求出最佳的a和b。對(duì)滿(mǎn)足線性關(guān)系的一組等精度測(cè)量數(shù)據(jù)（xi，yi），假定自變量xi的誤差可以忽略，則在同一xi下，測(cè)量點(diǎn)yi和直線上的點(diǎn)a+bxi的偏差di如下： 顯然最好測(cè)量點(diǎn)都在直線上（即d1=d2=dn=0），求出的a和b是最理想的，但測(cè)量點(diǎn)不可能都在直線上，這樣只有考慮d1、d2、dn為最小，也就是考慮d1+d2+dn為最小，但因d1、d2、dn有正有負(fù)，加起來(lái)可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+ |d2|+ |dn|又不好解方程，因而不可行?，F(xiàn)在采取一種等效方法：當(dāng)d12+d22+dn2對(duì)a和b為最小時(shí)，d1、d2、dn也為最小。取（d12+d22+dn2）為最小值，求a和b的方法

3、叫最小二乘法。令 (2-6-2)D對(duì)a和b分別求一階偏導(dǎo)數(shù)為： 再求二階偏導(dǎo)數(shù)為：； 顯然： ； 滿(mǎn)足最小值條件，令一階偏導(dǎo)數(shù)為零： (2-6-3) (2-6-4)引入平均值： ； ； 則： （2-6-5）解得： （2-6-6） （2-6-7）將a、b值帶入線性方程，即得到回歸直線方程。(2) y、a、b的標(biāo)準(zhǔn)差在最小二乘法中，假定自變量誤差可以忽略不計(jì)，是為了方便推導(dǎo)回歸方程。操作中函數(shù)的誤差大于自變量的誤差即可認(rèn)為滿(mǎn)足假定。實(shí)際上兩者均是變量，都有誤差，從而導(dǎo)致結(jié)果y、a、b的標(biāo)準(zhǔn)差(n6)如下： (2-6-8) (根式的分母為n-2,是因?yàn)橛袃蓚€(gè)變量) (2-6-9) (2-6-10)(

4、3)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是衡量一組測(cè)量數(shù)據(jù)xi、yi線性相關(guān)程度的參量，其定義為： （2-6-11）r值在0<|r|1中。 |r|越接近于1，x 、y 之間線性好；r為正，直線斜率為正，稱(chēng)為正相關(guān)；r為負(fù)，直線斜率為負(fù)，稱(chēng)為負(fù)相關(guān)。|r|接近于0，則測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)分散或xi、yi之間為非線性。不論測(cè)量數(shù)據(jù)好壞都能求出a和b，所以我們必須有一種判斷測(cè)量數(shù)據(jù)好壞的方法，用來(lái)判斷什么樣的測(cè)量數(shù)據(jù)不宜擬合，判斷的方法是|r|<r時(shí)，測(cè)量數(shù)據(jù)是非線性的r稱(chēng)為相關(guān)系數(shù)的起碼值，與測(cè)量次數(shù)n有關(guān)，如下表2-2表2-6-2 相關(guān)系數(shù)起碼值rnrnrnr31.00090.798150.64140.99010

5、0.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在進(jìn)行一元線性回歸之前應(yīng)先求出r值，再與r比較，若|r|> r，則x和y具有線性關(guān)系，可求回歸直線；否則反之。例9：靈敏電流計(jì)的電流常數(shù)Ki和內(nèi)阻Rg的測(cè)量公式為測(cè)得的數(shù)據(jù)同例7，其中間處理過(guò)程如下，試用最小二乘法求出Ki和Rg，并寫(xiě)出回歸方程的表達(dá)式。解：測(cè)量公式與線性方程表達(dá)式y(tǒng)a+bx比較： 數(shù)據(jù)處理如表2-6-3：表2-6-3 Rs0.100 R14350.0 d40.0mmi12345678平均值

6、R2()400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125(1042)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2(V2)7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625R2U(102V)11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625 中間過(guò)程可多取位： 1.67125 225.0 3.34625 6.375×104 461.5625相關(guān)系數(shù)查表得知

7、，當(dāng)n=8時(shí)，r0=0.834，兩者比較r>r0，說(shuō)明x、y(即U、R2)之間線性相關(guān)，可以求回歸直線。求回歸方程的系數(shù)154.6192304 -33.4代換 33.4 154.6192304Ki3.7170×10-9A/mm計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差為：2.64561902； 2.300545589； 1.257626418計(jì)算不確定度：Rg2； 0.81； K 0.03×109A/mm測(cè)量結(jié)果表達(dá)式電流計(jì)內(nèi)阻： Rg(33±2) 6.1電流常數(shù)： K (3.72±0.03)×109A/mm 0.81回歸方程： R2155U33 5.計(jì)算器在數(shù)據(jù)處理中

8、的應(yīng)用在處理數(shù)據(jù)時(shí)，不同的計(jì)算器的編程方式各不相同，下面以震旦AURORA SC180型計(jì)算器為例作以介紹。 （1）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差S 標(biāo)準(zhǔn)偏差S的計(jì)算器運(yùn)行公式：因?yàn)?所以 （只有為xi單變量） 操作步驟和方法() 按MODE0鍵，計(jì)算器進(jìn)入單變量統(tǒng)計(jì)計(jì)算狀態(tài)。屏右上角顯示“STAT1”指示符。() 清除內(nèi)存數(shù)據(jù)：按INVON/C.CE鍵。() 數(shù)據(jù)輸入：依次先鍵入數(shù)值，然后按DATA鍵，每完成一次輸入的同時(shí)，屏幕均會(huì)顯示數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)n值。() 數(shù)據(jù)修正：按DATA鍵之前，要?jiǎng)h除錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，按ON/C.CE；按DATA鍵后要?jiǎng)h除錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，再次輸入該錯(cuò)誤值，然后按INVDEL。() 取分析結(jié)

9、果：INV：平均值INV：數(shù)據(jù)和INV2: 數(shù)據(jù)平方和INVS：測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差I(lǐng)NVn：數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)例10：一組等精度測(cè)量值為：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2，試求、2、S、n 。解：按 鍵顯 示MODE0ST1 0INVON/C.CE 083.1DATAn 183.3DATAn 283.3DATAn 383.7DATAn 483.9DATAn 583.6DATAn 683.4DATAn 783.4DATAn 883.1DATAn 983.2DATAn 10INV83.4INV834INV269556.22INVS0.26246

10、6929INVn10注：當(dāng)n6時(shí)，認(rèn)為S 。（2）最小二乘法求回歸直線 求回歸直線參量a、b、r的計(jì)算器運(yùn)行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含xi、yi兩個(gè)變量的公式： 操作步驟和方法：() 按MODE.，計(jì)算器進(jìn)入雙變量統(tǒng)計(jì)計(jì)算狀態(tài)。屏幕右上角顯示“STAT2”指示符。() 清除內(nèi)存數(shù)據(jù)：按INVON/C.CE鍵() 雙變量數(shù)據(jù)輸入：先鍵入x的值、 按a鍵， 然后鍵入y的值、 按b鍵，再按DATA鍵，完成輸入。屏幕會(huì)同時(shí)顯示數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，即n值。() 數(shù)據(jù)修正：同單變量數(shù)據(jù)輸入。() 取分析結(jié)果INVa：回歸直線的截距INVb：回歸直線的斜率INVr：相關(guān)系數(shù)

11、還可以取以下值： INV、INV、INVx、INVx2、INVy、INVy2、 INVxy， 以便計(jì)算、(計(jì)算器沒(méi)有該三項(xiàng)的計(jì)算程序)。例11： 靈敏電流計(jì)實(shí)驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)如下：RS0.100 R14350.0 d40.0mmR2（）400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0U（V）2.822.492.151.821.511.180.840.56要求所使用計(jì)算器具有計(jì)算最小二乘法的功能，求回歸直線以及電流計(jì)的電流常數(shù)Ki和內(nèi)阻Rg。解： 測(cè)量公式與線性方程表達(dá)式y(tǒng)a+bx比較yR2 xU，則：按 鍵顯 示MODE.ST2 0INVON/C.CE 02.82a40

12、0.0bDATAn 12.49a350.0bDATAn 22.15a300.0bDATAn 31.82a250.0bDATAn 41.51a200.0bDATAn 51.18a150.0bDATAn 60.84a100.0bDATAn 70.56a50.0bDATAn 8INVaa -32.12335698INVbb 153.8509241INVrr 0.9998323336查表知道，當(dāng)n8時(shí)，r00.834， r>r0，說(shuō)明U、R2之間線性相關(guān)。得到：回歸方程 R2154U32電流計(jì)內(nèi)阻 Rg32電流常數(shù) K3.74×109A/mm 習(xí) 題1指出下列測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字： (1

13、) I5010mA(2) C2.99792458×108m/s2按“四舍五入”修約法，將下列數(shù)據(jù)只保留3位有效數(shù)字：(1) 1.005(2) 979.499(3) 980.501(4) 6.275(5) 3.1343單位變換：(1) m3.162±0.002kg g mg T(2) (59.8±0.1)°( )(3) L98.96±0.04cm m mm µm4改錯(cuò)并且將一般表達(dá)式改寫(xiě)成科學(xué)表達(dá)式：(1) Y(1.96×1011±5.78×109)N/m2(2) L(160000±100)m5按

14、有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則計(jì)算下列各式：(1) 1000-5 (2) 3.2×1033.2 (3) tg3005 (4) (5) R15.10k，R25.10×102，R351。 求： RR1+R2+R3 (6) L1.674m-8.00cm 6求下列公式的不確定度：(1) (2) N(3) Lh+(4) Z7用分度值為1mm的米尺測(cè)量一物體長(zhǎng)度L，測(cè)得數(shù)據(jù)為：98.98cm、98.96cm、98.97cm、 98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm，試求、 L，并寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果表達(dá)式 ±L。8測(cè)量出一個(gè)鉛圓柱體的直徑為d(2.040±0.001)cm，高度為h(4.120±0.001)cm,質(zhì)量為m(149.10±0.05)g，試計(jì)算、，并表示測(cè)量結(jié)果。9某同學(xué)測(cè)量彈簧倔強(qiáng)系數(shù)的數(shù)據(jù)如下：F(g)2.004.006.008.0010.0012.0014.00y(cm)6.9010.0013.0515.9519.0022.0525.10其中F為彈簧所受的作用力，y為彈簧的長(zhǎng)度，已知y-y0()F，試用作圖法求彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k及彈簧的原來(lái)長(zhǎng)度y0。10用伏安法測(cè)電阻時(shí)，測(cè)出的數(shù)據(jù)如下，試求回歸直線，并求出測(cè)量結(jié)果R值。I(mA)2.004.006.008.0010.001