二元函數(shù)的極限

1、2 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限相類似， 二元函數(shù)的極限 同樣是二元函數(shù)微積分的基礎(chǔ). 但因自變量個數(shù) 的增多, 導(dǎo)致多元函數(shù)的極限有重極限與累次極 限兩種形式, 而累次極限是一元函數(shù)情形下所不會出現(xiàn)的. 一、二元函數(shù)的極限 二、累次極限 一、二元函數(shù)的極限 f2RD 0P定義定義1 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 定義在定義在上上, 為為 D 的的 一個聚點一個聚點, A是一實數(shù)是一實數(shù). 若若0,0, 使得當(dāng)使得當(dāng) 0(;)PUPD 時時, 都有都有 |()|,f PA 0lim( ).PPPDf PA 在對在對PD 不致產(chǎn)生誤解時不致產(chǎn)生誤解時, 也可簡單地寫作也可簡單地寫作 f0PP則稱則稱在

2、在 D 上當(dāng)上當(dāng)時以時以 A 為極限為極限, 記作記作 0lim().PPf PA 0P00( , ),(,)x yxy當(dāng)當(dāng) P, 分別用坐標(biāo)分別用坐標(biāo) 表示時表示時, 上式也上式也 常寫作常寫作 00( ,)(,)lim( ,).x yxyf x yA 例例1 依定義驗依定義驗證證22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy證證 因為因為 227xxyy22(4)2(1)xxyy|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2|2|1|3|.xxyyy不妨先限制在點不妨先限制在點( (2, 1) )的方鄰域的方鄰域 ( ,) |2|1, |1|1x yxy內(nèi)來討論內(nèi)來討論,

3、 于是有于是有|3|14|1|45,yyy |2|(2)(1)5|xyxy|2|1|57.xy2277|2|5|1|xxyyxy7 (|2|1|).xy0,min (1,),14 取取|2|, |1|xy 當(dāng)當(dāng)( ,)(2,1)x y 且且 時時, 就有就有 2277214.xxyy 這就證得這就證得 22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy所以所以例例2 2 設(shè)設(shè) 2222( ,)(0, 0),( ,)0,( ,)(0, 0),xyxyx yf x yxyx y， 證明證明( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 證證(證法一證法一) 0, 由由222222222202

4、xyxyxyxyxyxy222211(),22xyxy可知可知 222 ,0,xy 當(dāng)當(dāng)時時 便便有有22220,xyxyxy 故故( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 注意注意 不要把上面的估計式錯寫成：不要把上面的估計式錯寫成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy ( ,)(0, 0)x y ( ,)(0, 0),x y 因為因為的過程只要求的過程只要求 即即 220,xy 0.xy 而并不要求而并不要求 (證法二證法二) 作極坐標(biāo)變換作極坐標(biāo)變換 cos ,sin .xryr 這時這時 2222|( ,)0|xyf x yxyxy 2211|sin4

5、|,44rr ( ,)(0, 0)x y 0r 等價于等價于( 對任何對任何 ). 由于由于 因此，因此，220,2,rxy只須只須對任何對任何 都有都有 2( ,)(0,0)1|( ,)0|,lim( ,)0.4x yf x yrf x y 即即下述定理及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸下述定理及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸結(jié)結(jié)原則原則( (而且證明方法也相類似而且證明方法也相類似). ). 定理定理16.5 0lim( )PPP Df PA 的充要條件是：對于的充要條件是：對于 D 的的 任一子集任一子集 E, ,只要只要 仍是仍是 E 的聚點的聚點, ,就有就有0P0lim( ).P

6、PP Ef PA 1ED 01lim( )PPP Ef P 推論推論1 若若, P0 是是 E1 的聚點的聚點, 使使 不存在不存在, 則則0lim( )PPP Df P 也不存在也不存在 001212lim( )lim( )PPPPP EP Ef PAf PA與與120,E ED P 推論推論2 若若 是它們的聚點，使得是它們的聚點，使得12AA 0lim( )PPP Df P 都存在，但都存在，但, 則則不存在不存在推論推論3 極限極限 0lim( )PPP Df P 存在的充要條件是：存在的充要條件是：D 中任中任 一滿足條件一滿足條件00lim,nnnnPPPPP 且且點點列列的的 它

7、所它所 對應(yīng)的函數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)列()nf P都收斂都收斂 下面三個例子是它們的應(yīng)用下面三個例子是它們的應(yīng)用 22( ,)xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例例3 討論討論當(dāng)當(dāng)時是時是否否存在極限存在極限( 注注: 本題結(jié)論很重要本題結(jié)論很重要, 以后常會用到以后常會用到. ) 解解 當(dāng)動點當(dāng)動點 (x, y) 沿著直線沿著直線 而趨于定點而趨于定點 (0, 0) ymx時，由于時，由于2( ,)( ,)1mf x yf x mxm , 因此有因此有 2( ,)(0,0)0lim( ,)lim( ,).1x yxymxmf x yf x mxm 這說明動點沿不同斜率這說明動點沿不同

8、斜率 m 的直線趨于原點時的直線趨于原點時, 對應(yīng)對應(yīng) 的極限值不相同，因而所討論的極限不存在的極限值不相同，因而所討論的極限不存在210,( ,)0yxxf x y ，, ,， 其其余余部部分分. .4例例設(shè)設(shè)如圖如圖 16-15 所示所示, 當(dāng)當(dāng) (x, y) 沿任何直線趨于原點時沿任何直線趨于原點時, 相應(yīng)的相應(yīng)的 ( ,)f x y都趨于都趨于 0, 但這并不表明此函數(shù)在但這并不表明此函數(shù)在 ( , )(0, 0)x y 時的極限為時的極限為 0. 因為當(dāng)因為當(dāng) (x, y) 沿拋物線沿拋物線 2(01)ykxk ( ,)f x y 趨于點趨于點 O 時時, 將趨于將趨于1. 所所以極

9、限以極限 ( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在不存在. ( , )xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例例5 討論討論在在 時不時不 存在極限存在極限 解解 利用定理利用定理 16.5 的推論的推論 2, 需要找出兩條路徑需要找出兩條路徑, 沿沿 著著此二路徑而使此二路徑而使 ( ,)(0, 0)x y 時時, 得到兩個相異得到兩個相異 的極限的極限 第一條路徑簡單地取第一條路徑簡單地取,yx 此時有此時有 2( , )(0,0)0()limlim0.2x yxyxxyxxyx 第二條路徑可考慮能使第二條路徑可考慮能使( , )xyf x yxy 的分子與的分

10、子與 分母化為同階的無窮小分母化為同階的無窮小, 導(dǎo)致極限不為導(dǎo)致極限不為 0. 按此思按此思路路的一種有效選擇的一種有效選擇, 是取是取 2.yxx 此時得到此時得到222( , )(0,0)00()()limlimlim(1)1,x yxxyxxxyx xxxxyx 這就達(dá)到了預(yù)期的目的這就達(dá)到了預(yù)期的目的 ( 非正常極限非正常極限 ) 的定義的定義 定義定義2 設(shè)設(shè) D 為二元函數(shù)為二元函數(shù)f的定義域，的定義域， 000(,)P xy是是 D 的一個聚點的一個聚點. 若若 0,0,M 使得使得 0( ,)(;),( , ),P x yUPD f x yM 0PP 則稱則稱 f在在 D 上

11、當(dāng)上當(dāng) 時時, 有有非正常極限非正常極限 , 記記作作 00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x y ( , )f x y 下面再給出當(dāng)下面再給出當(dāng) 時時, 000( , )(,)P x yP xy或或 0lim( ).PPf P 仿此可類似地定義：仿此可類似地定義：00lim( )lim( ).PPPPf Pf P 與與例例6 設(shè)設(shè) 221( ,)23f x yxy . 證明證明 ( ,)(0,0)lim( ,).x yf x y 證證 此函數(shù)的圖象見圖此函數(shù)的圖象見圖16 -16. 2222234()xyxy 0,M 因因 , 故對故對只需取只需取 2211,022xyMM 當(dāng)當(dāng)

12、時時，就就有有22221123,.23xyMMxy 即即這就證得結(jié)果這就證得結(jié)果 二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿二元函數(shù)極限的四則法則與一元函數(shù)極限相仿, 特特 同同, 這里不再一一敘述這里不再一一敘述.( , )f x y( )f P看作點函數(shù)看作點函數(shù)別把別把 時時, 相應(yīng)的證法也相相應(yīng)的證法也相 二、累次極限是以任何方式趨于是以任何方式趨于 這種極限也稱為這種極限也稱為重重 00(,),xy的的極限極限. 下面要考察下面要考察 x 與與 y 依一定的先后順序依一定的先后順序, 相繼趨相繼趨 在上面的極限在上面的極限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y中中, 自變

13、量自變量 ( , )x y0 x于于 與與 時時 f 的極限的極限, 這種極限稱為這種極限稱為累次極限累次極限. 0y定義定義3 設(shè)設(shè),RxyEE , x0 是是 Ex 的聚點的聚點, y0 是是 Ey 的的 聚點聚點, 二元函數(shù)二元函數(shù) f 在集合在集合 xyDEE 上有定義上有定義. 若若 0()yyEyy 0lim( ,)xxxx Ef x y ，對每一對每一個個 , 存在極限存在極限 由于此極限一般與由于此極限一般與 y 有關(guān)有關(guān), 因此記作因此記作 0( )lim( ,);xxxx Eyf x y 而且進(jìn)一步存在極限而且進(jìn)一步存在極限 0lim( ),yyyy ELy 0()xx0(

14、)yy則稱此則稱此 L 為為 f 先對先對 后對后對的累次的累次 極限極限, 并記作并記作00lim lim( ,),yxyy xxy Ex ELf x y 或簡記作或簡記作00lim lim( ,).yy xxLf x y 類似地可以定義類似地可以定義先對先對 y 后對后對 x 的累次極限的累次極限: 00lim lim( ,).xx yyKf x y 累次極限與重極限是兩個不同的概念累次極限與重極限是兩個不同的概念, 兩者之間沒兩者之間沒 有蘊(yùn)涵關(guān)系有蘊(yùn)涵關(guān)系. 下面三個例子將說明這一點下面三個例子將說明這一點. 22( ,)xyf x yxy ( , )f x y例例7 設(shè)設(shè) . 由例由

15、例 3 知道知道 當(dāng)當(dāng)( , )(0, 0)x y 0y 時的重極限不存在時的重極限不存在. 但當(dāng)?shù)?dāng)時時, 有有 220lim0,xxyxy 從而又有從而又有 2200limlim0.yxxyxy 同理可得同理可得 這說明這說明 f 的兩個累次極限都存在而且相等的兩個累次極限都存在而且相等. 累次極限分別為累次極限分別為 2220000limlimlimlim(1)1,yxyyxyxyyyyxyy 2200limlim0.xyxyxy 2220000limlimlimlim(1)1.xyxxxyxyxxxxyx 例例8 設(shè)設(shè) , 它關(guān)于原點的兩個它關(guān)于原點的兩個 22( , )xyxyf x

16、 yxy當(dāng)沿斜率不同的直線當(dāng)沿斜率不同的直線,( ,)(0, 0)ymxx y 時時, 易易 知所得極限也不同知所得極限也不同. 因此該函數(shù)的重極限不存在因此該函數(shù)的重極限不存在. (下面的定理下面的定理 16.6 將告訴我們將告訴我們, 這個結(jié)果是必然的這個結(jié)果是必然的.) 例例 設(shè)設(shè)11( ,)sinsinf x yxyyx, 它關(guān)于原點的兩它關(guān)于原點的兩 個累次極限都不存在個累次極限都不存在. 這是因為對任何這是因為對任何 0,y 而而當(dāng)當(dāng)0 x 時時, f 的第二項不存在極限的第二項不存在極限. 同理同理, f 的第一的第一 項當(dāng)項當(dāng) 時也不存在極限時也不存在極限. 但但是由于是由于

17、0y 11sinsin|,xyxyyx故按定義故按定義1 知道知道 f 的重極限存在的重極限存在, 且且 ( ,)(0, 0)lim( ,)0.x yf x y 下述定理告訴我們下述定理告訴我們: 重極限與累次極限在一定條件重極限與累次極限在一定條件 下也是有聯(lián)系的下也是有聯(lián)系的. 定理定理16.6 若若 f (x, y) 在點在點 存在重極限存在重極限 00(,)xy00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y與累次極限與累次極限 00lim lim( ,).xx yyf x y則他們必定相等則他們必定相等. 證證 設(shè)設(shè)00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x yA 0,0

18、, 0( ,)(;)P x yUP 則則使得當(dāng)使得當(dāng)時時, 有有|( , )|.(1)f x yA 00|(2)xx 的的 x, 存在極限存在極限 另由存在累次極限之假設(shè)另由存在累次極限之假設(shè), 對任一滿足不等式對任一滿足不等式 0lim( ,)( ).(3)yyf x yx |( )|.(4)xA 0yy回到不等式回到不等式(1), 讓其中讓其中, 由由 (3) 可得可得故由故由 (2), (4) 兩式兩式, 證得證得0lim( )xxxA , 即即0000( ,)(,)lim lim( ,)lim( ,).xx yyx yxyf x yf x yA 由這個定理立即導(dǎo)出如下兩個便于應(yīng)用的推論

19、由這個定理立即導(dǎo)出如下兩個便于應(yīng)用的推論. 推論推論1 若累次極限若累次極限00lim lim( ,)xx yyf x y00lim lim( ,)yy xxf x y, 和重極限和重極限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y都存在都存在, 則三者相等則三者相等. 推論推論2 若累次極限若累次極限0000lim lim( ,)lim lim( ,)xx yyyy xxf x yf x y與與都存在但不相等都存在但不相等, 則重極限則重極限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y必不必不 存在存在. 請注意請注意: (i) 定理定理 16.6 保證了在重極限與一個累次保

20、證了在重極限與一個累次 極限都存在時極限都存在時, 它們必相等它們必相等. 但對另一個累次極限的但對另一個累次極限的 存在性卻得不出什么結(jié)論存在性卻得不出什么結(jié)論, 對此只需考察本節(jié)習(xí)題對此只需考察本節(jié)習(xí)題 之之 2(5). (ii) 推論推論 1 給出了累次極限次序可交換的一個充分給出了累次極限次序可交換的一個充分條件；條件； (iii) 推論推論 2 可被用來否定重極限的存在性可被用來否定重極限的存在性(如例如例8 ). 0000( , )(,)()f x yP xyUP在點的某鄰域內(nèi)在點的某鄰域內(nèi) 例例10 設(shè)設(shè) ,:有有定定義義 且且滿滿足足0lim( ,)( );xxf x yy 0

21、(ii)()UPx在內(nèi),關(guān)于一致地存在極限在內(nèi),關(guān)于一致地存在極限 0lim( ,)( ).yyf x yx 試證明試證明: 0000lim lim( ,)lim lim( ,).xxyyyy xxf x yf x y 證證 01 (lim( )0,(ii),yyyA 證明存在由條件證明存在由條件00,0|(xyy 對對一一切切存存在在公公共共的的只只要要并并0( , )() ),x yUP 使便有使便有00(i)(),UPyy 在內(nèi),對每個存在極限在內(nèi),對每個存在極限 |( , )( )|.2f x yx 00|,yy 于于是是當(dāng)當(dāng)時時 又又有有|( , )( ,)|( , )( )|f x yf x yf x