求解古典概型常見錯誤剖析

1、求解古典概型常見錯誤剖析古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其它概型的 基礎(chǔ)現(xiàn)將求解古典概型常見的錯誤剖析如下.一、“有序”與“無序”混同，導(dǎo)致基本事件的個數(shù)求 錯例1從10件產(chǎn)品（其中次品3件）中，一件一件地不 放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率.錯解因為第一次有10種取法，第二次有9種取法，第 三次有8種取法，第四次有7種取法，由乘法原理可知從10 件取4件共有10x9x8x7種取法，故從10件產(chǎn)品（其中 次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有 10x9x8x7個可能的結(jié)果設(shè)a= “取出的4件中恰有1件 次品”，則a含有c13xc37種結(jié)果（先從3件次品中取1 件

2、，再從7件正品中取3件），剖析該題錯在計算所有等可能結(jié)果的個數(shù)是用排列的 方法，即考慮了抽取的順序，而計算事件a所包含結(jié)果個數(shù) 時是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序.正解所有可能的結(jié)果共有a410個，事件a包含a14 a13 a37個結(jié)果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取 中有一次抽到次品，有a14種方式，對于每種方式，從3件 次品中取一件，再從7件正品中一件一件地取3件，共有a14 a13a37種取法).所以 p (a) =a14 a13 a37a410=12.二、"非等可能”與'等可能”混同，對古典概型的等 可能性理解不清例2擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求事件a二“出現(xiàn)

3、的點數(shù)之 和等于3”的概率.錯解擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和的可能數(shù)值為2, 3,4,12,事件a發(fā)生的結(jié)果只有一種，故p (a) =111.剖析公式p (a)二事件a所含的基本事件數(shù)基本事件的總數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)所述試驗的每個結(jié)果是等可能的時候才成立， 而取數(shù)值2和3不是等可能的，2只在點數(shù)為(1, 1)才出 現(xiàn)，而3卻在兩種情況(1, 2),(2, 1)時可出現(xiàn)，其它的情況類推.正解擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的等可能的情況：(1, 1), (1,2),，(1, 6), (2, 1), (2, 2),，(2, 6),，(6, 1), (6, 2),，(6, 6),結(jié)果總數(shù)為6x6=36.在這些結(jié)果 中，事件a

4、含有兩種結(jié)果(1, 2), (2, 1),故p (a) =236=118.三、對古典概型的有限性把握不準而將古典概型誤判為幾何概型圖1例3甲、乙二人玩數(shù)字游戲，先由兩人在心中各想 一個整數(shù)，分別記為x、y,當(dāng)x、yel, 5,且|x-y|wl 時，則稱甲、乙二人“心有靈犀”.求甲、乙二人“心有靈 犀”的概率.錯解設(shè)甲、乙二人“心有靈犀”為事件a,由于x、ywl, 5,且|x-y|wl,如圖1,由幾何概型概率公式得，p (a)二s 陰影 s 正方形=16-916=716.剖析本題沒有注意x、y的取值是整數(shù)，忽視了古典概 型的有限性.正解設(shè)甲、乙二人“心有靈犀”為事件a,由于x、ywl, 5,所以

5、滿足條件的整數(shù)對共有5x5對，滿足|x-y|w 1的 整數(shù)對共有 13 對，即(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4) 所以甲、乙二人“心有靈犀”的概率 p (a) =1325.四、混淆“無放回抽取”與“有放回抽取”而出錯例4從含有2件正品al, a2和一件次品b的三件產(chǎn)品 中每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取2次，記“取 出的兩件中恰有一件次品”為事件a,如果將“每次取出后 不放回”換成“每次取出后放回”，連續(xù)取2次，記“取

6、出的兩件中恰有一件次品”為事件b,則a. p (a) =p (b)b. p (a) p (b)d.無法確定錯解每次任取1件，取出后不放回地(或有放回地)連 續(xù)抽取兩次，所有可能的結(jié)果是(al, bl), (b, al), (a2, b), (b, a2), (al, a2)共6個基本事件；取出的2件恰有 一件次品的事件b包含的結(jié)果是(al, b), (a2, b), (b, al), (b, a2),共4個基本事件所以p (a) =p (b) =46=23,選a.剖析本題錯在混淆“每次取出后不放回”與“每次取 出后放回” 從3件產(chǎn)品中不放回地抽取2件和有放回地抽 取2件的基本事件都不是很大，可

7、以一一列舉出來.正解(1)每次任取1件，取出后不放回地連續(xù)抽取兩 次，所有可能的結(jié)果是(al, b), (b, al), (a2, b), (b, a2), (al, a2), (a2, al),共6個基本事件；取出的2件 恰有一件次品的事件a包含的結(jié)果是(al, b), (a2, b), (b, a2), (b, a2),共4個基本事件所以(2)有放回地連續(xù)抽取兩次，所有可能的結(jié)果是(al, b), (b, al), (al, al), (a2, b), (b, a2), (a2, a2), (al, a2), (a2, al), (b, b)共9個基本事件.取出的2件恰有 一件次品的事件b包含的結(jié)果是(al, b), (a2, b), (b, al), (b, a2),共4個基本事件.所以 p (b) =49.所以 p (a) >p (b),選 c.五、未能正確判斷事件的關(guān)系，導(dǎo)致概率計算錯誤例5同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求至少有一個5點 或6點的概率.錯解拋擲兩枚骰子，基本事件的總數(shù)為36.記一枚出現(xiàn) 5點為事件a, 枚出現(xiàn)6點為事件b,事件a與事件b包含 的基本事件都為11種情形而事件a與事件b是互斥事件， 由古典概型的