廣州大學2017-2018線性代數試題(A)

1、第 1 頁 共 12 頁線性代數a卷院、系領導審批并簽名a 卷廣 州 大 學 2017-2018學 年 第 一 學 期 考 試 卷課 程： 線性代數考 試 形 式：閉卷考試學院:_ 專業(yè)班級 :_ 學號:_ 姓名:_ 題 次一二三四五六七八九十總 分評卷人分 數15 15 10 8 12 10 6 12 12 100 得 分特別提醒： 2017 年 11 月 1 日起，凡考試作弊而被給予記過（含記過）以上處分的，一律不授予學士學位。一、填空題（每空3 分，本大題滿分 15 分）1設a為 n 階方陣，2a，則 2a . 2設111022003a，100210321b，則 ab .3矩陣abcda

2、的伴隨矩陣a . 4若向量組(1,2,3), (2,3,4), (2,2,)a線性相關，則 a . 5從2r的基1211,01到基1211,12的過渡矩陣為 . 二、選擇題（每小題3 分，本大題滿分 15 分）1有矩陣3 22 33 3,abc，下列矩陣運算不可行的是( ). （a）abc（b）bca（c）abc（d）bac2設 n階方陣,a b c滿足關系式abce(e是 n階單位陣 ) ，則必有 ( ). （a）acbe（b）cbae（c ）cabe（d）bace. 第 2 頁 共 12 頁線性代數a卷3設a是 mn矩陣，則線性方程組0ax( ). （a）當 nm時僅有零解（b）當 nm時

3、必有非零解（c）當 nm時僅有零解（d）當 nm時必有非零解4設a是 n 階方陣，()rrna，則在a的 n個列向量中 ( ). （a）必有 r 個列向量線性無關（b）任意 r 個列向量線性無關（c）任意 r 個列向量都構成最大線性無關組（d）任意一個列向量都可以由其它r 個列向量線性表示5設a與對角矩陣100000000相似，那么齊次線性方程組0ax的基礎解系所含解向量的個數為 ( ). （a）0 （b）1 （c ）2 （d ）3 三、 （本題滿分 10分）設12aoaoa，其中11111a，21031a，求2018a. 第 3 頁 共 12 頁線性代數a卷四、 （本題滿分 8 分）計算行列

4、式2112401412104212d. 五、 （本題滿分 12分）設110011101a，2axxa，求x. 第 4 頁 共 12 頁線性代數a卷六、 （本題滿分 10分）求非齊次線性方程組12341234123421,21,255xxxxxxxxxxxx的通解 . 七、 （本題滿分 6 分）試證明 n維列向量12,n線性無關的充分必要條件是det0d，其中ttt11121ttt21222ttt12nnnnnnd. 第 5 頁 共 12 頁線性代數a卷八、 （本題滿分 12分）設有向量組11320，270143，32101，45162，52141. （1）求此向量組的秩；（2）求此向量組的一個

5、最大無關組，并把其它向量用該最大無關組線性表示. 第 6 頁 共 12 頁線性代數a卷九、 （本題滿分 12分）求矩陣022222222a的特征值和特征向量 . 第 7 頁 共 12 頁線性代數a卷院、系領導審批并簽名a 卷廣 州 大 學 2017-2018學 年 第 一 學 期 考 試 卷參 考 解 答 及 評 分 標 準課 程： 線性代數考 試 形 式：閉卷考試學院:_ 專業(yè)班級 :_ 學號:_ 姓名:_ 題 次一二三四五六七八九十總 分評卷人分 數15 15 10 8 12 10 6 12 12 100 得 分特別提醒： 2017 年 11 月 1 日起，凡考試作弊而被給予記過（含記過）

6、以上處分的，一律不授予學士學位。一、填空題（每空3 分，本大題滿分 15 分）1設a為 n 階方陣，2a，則 2a12n. 2設111022003a，100210321b，則 ab 6 .3矩陣abcda的伴隨矩陣adbca. 4若向量組(1,2,3), (2,3,4), (2,2,)a線性相關，則 a 2 . 5從2r的基1211,01到基1211,12的過渡矩陣為2312. 二、選擇題（每小題3 分，本大題滿分 15 分）1有矩陣3 22 33 3,abc, 下列矩陣運算不可行的是( d ). （a）abc（b）bca（c）abc（d）bac2設 n階方陣,a b c滿足關系式abce(e

7、是 n階單位陣 ) ，則必有 ( c ). （a）acbe（b）cbae（c ）cabe（d）bace. 第 8 頁 共 12 頁線性代數a卷3設a是 mn矩陣，則線性方程組0ax( b ). （a）當 nm時僅有零解（b）當 nm時必有非零解（c）當 nm時僅有零解（d）當 nm時必有非零解4設a是 n 階方陣，()rrna，則在a的 n個列向量中 ( a ). （a）必有 r 個列向量線性無關（b）任意 r 個列向量線性無關（c）任意 r 個列向量都構成最大線性無關組（d）任意一個列向量都可以由其它r 個列向量線性表示5設a與對角矩陣100000000相似，那么齊次線性方程組0ax的基礎解

8、系所含解向量的個數為 ( c ). （a）0 （b）1 （c ）2 （d ）3 三、 （本題滿分 10分）設12aoaoa，其中11111a，21031a，求2018a. 解：212002a，100910092018210091110092020()0202aa，-4分221061a，32101010613191a，-6分，2018201722210101032017131320181aaa，-8分10092018100920181201822000020000100060541aoaoa. -10分第 9 頁 共 12 頁線性代數a卷四、 （本題滿分 8 分）計算行列式21124014121

9、04212d. 解：2112401430340012d414334012 -4分41233201042232. -8分五、 （本題滿分 12分）設110011101a，2axxa，求x. 解：由2axxa，得(2)ae xa. -2分若(2,)(,)raeaeb，則2ae可逆，且1(2)baeax . -4分110110(2,)011011101101aea1 101100 1101 10 11211r101121011011002220r1 000110 101010 01110r，-11分所以1(2)xaea011101110. -12分第 10 頁 共 12 頁線性代數a卷六、 （本題滿

10、分 10分）求非齊次線性方程組12341234123421,21,255xxxxxxxxxxxx的通解 . 解：對增廣矩陣施行初等行變換化為行最簡形：12111(,)1211112155ab121110002200044121 00000 11000 00，-5分原方程組的同解方程組為1234201xxxx，-7分令2132,xkxk ，得原方程組的通解為121234210100010001xxkkxx，12,kk 為任意數 . -10分七、 （本題滿分 6 分）試證明 n維列向量12,n線性無關的充分必要條件是det0d，其中ttt11121ttt21222ttt12nnnnnnd. 證明:

11、 記 n階矩陣12(,)na，則 n維列向量12,n線性無關的充分必要條件是|0a. -2分因為tda a，所以t2det|da aa. -4分因此|0a的充分必要條件是det0d， 從而 n維列向量12,n線性無關的充分必要條件是det0d. -6分第 11 頁 共 12 頁線性代數a卷八、 （本題滿分 12分）設有向量組11320，270143，32101，45162，52141. （1）求此向量組的秩；（2）求此向量組的一個最大無關組，并把其它向量用該最大無關組線性表示. 解：對矩陣12345(,)a施行初等行變換化為行最簡形：172523011121406403121a172520217147004400312117252011/ 32/31/ 300110000001002/ 31/ 30101/ 31/ 30011000000. -6分（1）此向量組的秩為3；-8分（2）此向量組的一個最大無關組為123,，-10分且有4123133，5121133. -12分第 12 頁 共 12 頁線性代數a卷九、 （本題滿分 12分）求矩陣022222