匯編淺析解析幾何教學(xué)中應(yīng)滲透平面向量方法

1、2012年全國(guó)高考模擬參考部分解析幾何教學(xué)中應(yīng)滲透平面向量方法武山縣第三高級(jí)中學(xué) 王建華平面向量是高中數(shù)學(xué)教材改革新增加的內(nèi)容之一，它是既有大 小，又有方向的一個(gè)兒何量也就是說(shuō)，平面向量既能像實(shí)數(shù)一樣進(jìn) 行運(yùn)算，也有直觀的幾何意義，是數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，可靈活實(shí)現(xiàn)形 與數(shù)的相互轉(zhuǎn)化平面向量理論滲透在解析幾何中，通常涉及到夾角、 平行、垂直、共線、軌跡等問(wèn)題，其方法是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào) 化、數(shù)量化，從而將推理、求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，完全變成了代數(shù)問(wèn)題.確定直線的兩個(gè)重要向量1、直線的方向向量由 pi (xi,yi)、p2我們已經(jīng)知道，兩點(diǎn)確定一條直線，把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都

2、稱為直線的方向向量如圖1,(x2,y2)確定直線pf2的方向向量是p$2= (x2-xi,y2-yi)當(dāng)直線p1p2與x軸不垂直時(shí)有x2hx,這時(shí)直線的斜率為兒一力p|p2也是直線pf2的方向向量，它的坐標(biāo)是_兀1x(x2-xhy2-yi)gp(hk)就是直線pip2的方向向量，其中k是直線pr的斜率2、直線的法向量和直線垂直的向量都稱為該直線的法向量如圖2,設(shè)直線1有法向量n=(a,b),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)po(x(”y(j,取直線1上任一點(diǎn)p(x,y),滿足n丄p°p, 因?yàn)?陥=(x-x0,y-y0)，根據(jù)向量垂直的充要條件得a (x-x。)+b(y-yo) = 0 這個(gè)二元一次方程由直

3、線1上 一點(diǎn)po(x0,y0)及直線的法向量n=(a,b) 確定，稱為直線的點(diǎn)法式方程.反過(guò)來(lái)，如果直線1有一般方程ax+by+c=o (a、b不同時(shí)為0),(1) 若azo時(shí)，該方程可化為a(x+£)+b(y 0) = 0a這是過(guò)點(diǎn)(£,0),且法向量為n=(a,b)的點(diǎn)法式直線方程； a(2) 若bho時(shí)，該方程可化為a(x o)+b(y+_|) = o這是過(guò)點(diǎn)(0廠£)，且法向量為n二(a,b)的點(diǎn)法式直線方程.b因此,n=(a,b)就是直線ax+by+c=o的法向量.設(shè)向量a二(ba)，由a與n的數(shù)量積a n = -b x a+a x b=0所以a丄n,從

4、而向量a=(-b,a)是直線ax+by+c=o的方向向量.由于直線的方向向量、法向量可以從直線的一般式直接寫出，應(yīng)用這兩個(gè)重要向量解決某些問(wèn)題比較便捷.平面向量與直線間的位置關(guān)系設(shè)直線h與12的方程分別是11 :aix+biy+ci=o12:a2x+b2y+c2=0那么,h|=( a，bi)和n2=( a2, b?)分別是直線h與12的法向量.如果h12，那么nii>2,而hiii2的充要條件是m二x n2(a=入 a2得 i b|= x b2 ,消去入得 ab2-a2b|=0由此可知,ab2-a2b=0是直線11 12的充要條件當(dāng)a2 b2h0時(shí)可 表示為 a=a,即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.碼

5、b2(2)如果1丄12,那么ni丄112,反過(guò)來(lái)也正確而m丄匝的充要條件 是 hi 112=0, 得 ai a2+b1 b2=0,所以直線h丄12的充要條件是al a2+b b2=0.例1 (1998年上海高考卷16題) 設(shè)a、b、c分別是zxabc中 za、zb、zc的對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線sinax+ay+c=0與直線 bx-sinby+sinc=0的位置關(guān)系是a平行 b重合 c垂直 d相交但不垂直解析：易知兩直線的法向量分別是ni=( sina,a)和n2=( b,-sinb)由正弦定理知一纟一=9,即bsina+a(-sinb)=osin a sin b/. m 112=0有m丄112，所

6、以兩直線是垂直的，選c.(3) 更一般地,由直線的法向量可求兩直線的夾角設(shè)直線h與12的夾角為q ,其法向量的夾角為e ,則q = e或(i =兀0 ,所以 cos a =|cos 0 |.由向量的夾角公式cos0=厲化，及小i12=aa2+bib2、 丨® | | 丨i m|= ja： +、i ihl=ja； +圧得兩直線的夾角公式為coscr =丨人場(chǎng)+ ij a； + b； j a； + b；例2(2000年全國(guó)高考文科8題)已知兩直線li：y=x2：ax-y=0,其中a 為實(shí)數(shù)，當(dāng)這兩條直線的夾角在(0,誇)內(nèi)變動(dòng)時(shí),a的取值范圍是a(0,l)b(半，侖)c(£,l

7、)u(l, v3) d(l, a/3)解析:兩直線的法向量分別為(1,1)、(a,-l)，由夾角公式得cos a =/(q + l)2*2(/ + 1)夾角a在(0,備)變動(dòng)時(shí),x厶有cos a w (,1)，于是得4解這個(gè)不等式得分a<l或故選c.三、平面向量與解析幾何中角的問(wèn)題任意兩個(gè)不共線的非零向量a=(xi,yj、b =區(qū)畀2)，由夾角公式cos0= 廣嚴(yán)2 知cos 0的正負(fù)直接由分子xi x2+yi y2ml肩+ *+丈來(lái)確定，于是得到如下結(jié)論:(1) 若 e 為銳角 oxix2+yiy2>0，即 a b>0(2) 若 6 為直角 oxix2+yiy2=0 ,即

8、a b=0(3) 若 b 為鈍角 oxix2+yiy2<0 ,即 a b<0因此，兩個(gè)向量夾角的范圍由它們的數(shù)量積的正負(fù)所確定.2例3 (1994年全國(guó)高考8題)設(shè)f和f2為雙曲線=1的兩4個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上且滿足zf1pf2=90°，則 fpf2的面積是a 1 b# c2da/5解析:易知f (-75,0)和f2 (厲,0),設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為(x°,y。), . f?p=( x°+ a/5 , y0), fp=( x0- v5 , y°).由zf1pf2=90°知市 琳=0于是得(x°+ v5 )( x0- v5 )+

9、yj =0即尤 + £ -5=0 v2又點(diǎn)p (x0,y0)在雙曲線上，有予-£=1聯(lián)立可得i兒|=,safipf2=-i 許尸21| 兒 |=*2j£ = l,故選 a例4 (2000年全國(guó)高考14題)橢圓蘭+二=1的焦點(diǎn)為r、f2,94點(diǎn)p為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)zfpf2為鈍角時(shí)，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的取值范圍 是.解析：易知 a=3,b=2,故 c=v32 -22 =75 f (-v5,0) ,f2 (a/5,0),設(shè) p(x,y),則 pfi= (-75 -x ,y) , pf2= (v+x,y) 由zfjpf2是鈍角得rti p<o/. (-v5 -兀)(餡-x

10、) + y2<0即 x2+y2-5<0v2 m2又點(diǎn)p(x,y)在橢圓上，得+= 1聯(lián)立得x2<-還 <x< 還55三點(diǎn)共線是解析幾何中常見(jiàn)問(wèn)題之一，用向量法解決共線問(wèn)題思路顯得直接了當(dāng)一般方法是根據(jù)向量共線的充要條件,只要在三點(diǎn)中 任意兩點(diǎn)的向量間存在倍數(shù)關(guān)系就行了.就是說(shuō)三點(diǎn)a、b、c共線, 僅要或詡二入蔽：(x gr)成立.用坐標(biāo)表示，如果a(xi, yi) , b(x2,y2),c(x3,3)三點(diǎn)共線,w(x2 -xuy2 -yj =(x3 -xi,y3yj,消去入得(x2 -xi) (y3 -yi) -(x3 -xj (y2 -yi)=0或魚二1= ju

11、 ghxi , y3 hyj 心一坷 兒-x例5(2001年全國(guó)高考19題)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為f,經(jīng)過(guò)點(diǎn)f的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)c在拋物線的準(zhǔn)線上，且bcx軸，求證：直線ac經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o.解析：設(shè) a (xbyi), b(x2,y2)，f (e,0) 由bcx軸得c (-j)fa= (xi£,yi), fb = (x2-,y2)0a=（xi,yi）, oc =（p，y2）盛與嵌共線（xr|） y2-（x2茫）yi=0,而x乜，x2二盞代入上式得yi y?= -p2又5廠（詩(shī)）滬豐+殳產(chǎn)勞x+令嚴(yán)號(hào)+殳冋ao a與oc是共線向量，即a、0、c三點(diǎn)共線直線

12、ac經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0.例6（2003年全國(guó)高考22題）已知常數(shù)a>0,在矩形abcd中,ab二4, bc=4a, o 為 ab 的中點(diǎn)，點(diǎn) e、f、g 分別在 bc、cd、da上移動(dòng)'且h召增，p為ge與of的交點(diǎn)（如圖4）,圖4問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使p到這兩點(diǎn)的距離和 為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值; 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：設(shè) a （-2, 0）, b （2, 0）,c (2, 4a), d (-2, 4a), p (x,y)由點(diǎn)f在直線op上得f （ ,4a）, y則 cf=2a.又由竺=空=些得到be二2 a 泌， bc cd day于是 e （2,2a 沁），g

13、 （2,2a+沁）r 4a2xr 4a2xy _ 2ay-2a-x+ 2因g、p、e三點(diǎn)共線得二化簡(jiǎn)為 2a2x2+y2-2ay=0即羊+ 0z竺=i1 cr2（1）當(dāng)丄時(shí)，點(diǎn)p的軌跡是圓弧，所以不存在符合題意的2兩點(diǎn)；（2）當(dāng)a? h丄時(shí)，點(diǎn)p的軌跡是橢圓的一部分，點(diǎn)p到該橢2圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng)： 當(dāng)丄時(shí)，即ovx返時(shí)，點(diǎn)p到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)2 2（,a）,（ j*-/ ,a）的距離的和為定長(zhǎng)血; 當(dāng)a? 丄時(shí)，即a 乜時(shí)，點(diǎn)p到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)2 2（0口十_*）,（0衛(wèi)+討_*）的距離的和為定長(zhǎng)2a五、平面向量與解析幾何中軌跡問(wèn)題軌跡問(wèn)題是近年來(lái)高考題的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，其本質(zhì)是求岀點(diǎn)的方程，利

14、用向量法求軌跡方程要比距離公式簡(jiǎn)潔得多.例7（2000年北京、安徽春季高考22題）設(shè)點(diǎn)a和b為拋物線yj4px（p0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知oa丄ob,om丄ab,點(diǎn)m為垂足，求點(diǎn)m的軌跡方程并說(shuō)明它是什么曲線?ya解析：設(shè) m （x,y）, a （p/j2, 2ptj）, b （p/；, 2pg）（其中 t"為正 參數(shù)），則 6x= （p：2pti）= （pr；,2pt2） prf - p彳,2pt2- 2pti） ,01 = （x,y ）.voa±ob a01 即 p 彳 p2 +2pti 2pt2=0 t2= _4（t）同理（p© p彳）x+（2pt2-

15、 2ptjy=0 /. （ti +t2）x+2y=0 又ta、b、m三點(diǎn)共線2 2x_ _ x_ 應(yīng) y 2“ y-2pt2聯(lián)立中消去t%得x2+y2-4px=0 因?yàn)閍、b是原點(diǎn)以外的點(diǎn)，所以xho.點(diǎn)m的軌跡是以（2p,0）為圓心以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).99例8 （1995年全國(guó)高考26題）如圖6,橢圓詁計(jì),直線1：yro冷,p是1上-點(diǎn),射線op交橢圓于r,點(diǎn)q在op上, 且有|op| |oq|=|or|2,當(dāng)點(diǎn)p在直線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)q的軌跡方程.解析：設(shè)q（x,y）,入貢，赤=口貢（入，口為正參數(shù)），則 p （入x, ay）, r（ux,叮）v |op| - |oq|=|or|2 即麗嵐|=涼|2a |oq| 入 |oq|= u 2|oq|2x = 12莽丄又tp、r分別在直線1與橢圓上.巫+型“空+空=11282416丄一丄丄丄二蘭亠