復(fù)化求積公式

1、 7.2 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 積分公式的誤差與區(qū)間長度有關(guān)，區(qū)間長度積分公式的誤差與區(qū)間長度有關(guān)，區(qū)間長度越長，誤差越大越長，誤差越大. . 為此，利用積分區(qū)間可加性，將較大區(qū)間為此，利用積分區(qū)間可加性，將較大區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上分別應(yīng)用分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上分別應(yīng)用Newton-Cotes求積公式，再將結(jié)果相加，可得復(fù)求積公式，再將結(jié)果相加，可得復(fù)化求積公式化求積公式. .計(jì)算方法計(jì)算方法計(jì)算方法計(jì)算方法012 , na b naxxxxb將區(qū)間等分：11( )( )kknbxaxkf x dxf x dx則2 nx2x0 xnx1x1 nx3x0,=0,1,

2、 .kbahxxkh knn此時(shí) 步長為計(jì)算方法計(jì)算方法一、常用的復(fù)化求積公式一、常用的復(fù)化求積公式1.1. 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式2. 2. 復(fù)化辛浦生公式復(fù)化辛浦生公式3. 3. 復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式 計(jì)算方法計(jì)算方法1.1.復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 上上應(yīng)應(yīng)用用梯梯形形公公式式得得：在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間,1kkxx kkxxkkxfxfhdxxf1)()(2)(111( )=( )kknbxaxkf x dxf x dx則11 ()()2nkkkhf xf x計(jì)算方法計(jì)算方法1 nx2 nx3x2x1x2h )()(2)(2110 nknkxfxfxfh )()(2)(21

3、10 nknknxfxfxfhT復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 1111( )=( ) ()()2kknnbxkkaxkkhf x dxf x dxf xf x則)()(10 xfxf )()(21xfxf )()(32xfxf )()(12 nnxfxf)()(1nnxfxf 2 nx2x0 xnx1x1 nx3x計(jì)算方法計(jì)算方法復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 計(jì)算方法計(jì)算方法2.2.復(fù)化辛浦生公式復(fù)化辛浦生公式 1,kkxx在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用辛浦生公式得： kkxxkkkxfxfxfhdxxf1)()(4)(6)(21111( )=( )kknbxaxkf x dxf x dx則)21(021hkxx

4、k 1112 ()4 ()()6nkkkkhf xf xf x計(jì)算方法計(jì)算方法1 nx2 nx3x2x1x6h )()(4)(2)(6111210 nknnkkkxfxfxfxfh)()(4)(12110 xfxfxf nkkkkbaxfxfxfhxf1211)()(4)(6)(則則)()(4)(22121xfxfxf )()(4)(32132xfxfxf )()(4)(12112 nnnxfxfxf)()(4)(211nnnxfxfxf 2 nx2x0 xnx1x1 nx3x計(jì)算方法計(jì)算方法復(fù)化辛浦生公式復(fù)化辛浦生公式 )()(4)(2)(6111210 nknnkkknxfxfxfxfhS

5、計(jì)算方法計(jì)算方法復(fù)化辛浦生公式復(fù)化辛浦生公式 計(jì)算方法計(jì)算方法3.3.復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式 仿照同樣的方法可得仿照同樣的方法可得復(fù)化柯特斯公式：復(fù)化柯特斯公式： )(7)(14)(32)(12)(32)(790111043102110410nnkknkknkknkknxfxfxfxfxfxfhC 計(jì)算方法計(jì)算方法 10sindxxx8T 10sindxxx(2125. 0 例例1：分別用復(fù)化的梯形公式，辛浦生公式和柯特斯：分別用復(fù)化的梯形公式，辛浦生公式和柯特斯公式計(jì)算公式計(jì)算準(zhǔn)確值為：準(zhǔn)確值為：0.94608310.9460831解：解：利用復(fù)化梯形公式可得：利用復(fù)化梯形公式可得：x

6、0 0.1250.250.3750.50.625 0.750.875 1f(x) 1 0.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709)25. 0()125. 0(ff 9456909. 0 2)0( f)75. 0()625. 0()5 . 0()375. 0(ffff )1()875. 0(ff 計(jì)算方法計(jì)算方法 10sindxxx4S (625. 0 準(zhǔn)確值為：準(zhǔn)確值為：0.94608310.9460831利用復(fù)化辛浦生公式得：利用復(fù)化辛浦生公式得： x0 0.1250.250.3750.50.

7、6250.750.875 1f(x) 1 0.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709)0(f)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(ffff )1()75. 0()5 . 0()25. 0(ffff 9460832. 0 2 4 計(jì)算方法計(jì)算方法 10sindxxx利用復(fù)化柯特斯公式得：利用復(fù)化柯特斯公式得：x0 0.125 0.250.375 0.50.6250.750.875 1f(x) 1 0.99739780.98961580.97672670.9588510.9

8、3615560.90885160.87719250.84147092C 905 . 0 32)0(7( f)625. 0()125. 0(ff 12)5 . 0( f)75. 0()25. 0(ff )1(7)875. 0()375. 0(fff 14 32 946083012. 0 準(zhǔn)確值為：準(zhǔn)確值為：0.94608310.9460831計(jì)算方法計(jì)算方法 比較上面復(fù)化求積公式結(jié)果，它們都需要提供比較上面復(fù)化求積公式結(jié)果，它們都需要提供9 9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別很大，與積分的準(zhǔn)確值相比，復(fù)化梯形法的結(jié)果別很大，與積分的準(zhǔn)確值

9、相比，復(fù)化梯形法的結(jié)果只有三位有效數(shù)字，而復(fù)化辛浦生法的結(jié)果卻有六只有三位有效數(shù)字，而復(fù)化辛浦生法的結(jié)果卻有六位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 為此為此, ,下面我們考察復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差下面我們考察復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差. . 計(jì)算方法計(jì)算方法二、復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差二、復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差 定理定理 1),(),()(12)()(12)(12,)(21213bafabhnfabhfhTRbaxfnkknkkn 的截?cái)嗾`差為：的截?cái)嗾`差為：連續(xù)，則復(fù)化梯形公式連續(xù)，則復(fù)化梯形公式在在設(shè)設(shè)計(jì)算方法計(jì)算方法(6)6(6)3( ) , 2()( )( ),( , ).9454nfxa bbahR

10、Cfa b 定理設(shè)在連續(xù)，則復(fù)化科特斯公式的截?cái)嗾`差為：(4)4(4)2( ) , ()( ),( , ).2880nfxa bhR Sba fa b 定理設(shè)在連續(xù)，則復(fù)化新浦生公式的截?cái)嗾`差為：計(jì)算方法計(jì)算方法例例2: 用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分 問區(qū)間問區(qū)間 0,1 應(yīng)分多少等份應(yīng)分多少等份, ,才能使誤差不才能使誤差不 超過超過 . . 10dxeIx51021 解解: :取取xexf )(xexf )(又區(qū)間長度又區(qū)間長度b-a=1=1，復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為，復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為 則則計(jì)算方法計(jì)算方法52210211121)(12)( enfhabxRT

11、即即 , ,n212.85，取，取n=213, , 即將區(qū)間即將區(qū)間0,1分為分為213等份時(shí)，用復(fù)化梯形公式計(jì)算誤差等份時(shí)，用復(fù)化梯形公式計(jì)算誤差不超過不超過 . 52106 en51021 計(jì)算方法計(jì)算方法三、區(qū)間逐次分半求積法三、區(qū)間逐次分半求積法 復(fù)化求積公式可有效提高計(jì)算精度，但對(duì)給定復(fù)化求積公式可有效提高計(jì)算精度，但對(duì)給定的誤差限，如何確定節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即的誤差限，如何確定節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即 a,b 應(yīng)多少等應(yīng)多少等份？由截?cái)嗾`差可以估計(jì)步長的取值情況，但需要份？由截?cái)嗾`差可以估計(jì)步長的取值情況，但需要給出各階導(dǎo)數(shù)的最大值，這往往是比較困難的，且給出各階導(dǎo)數(shù)的最大值，這往往是比較困難的，

12、且估計(jì)值往往偏大估計(jì)值往往偏大. . 接下來，我們將考慮步長的更為實(shí)用的選取方接下來，我們將考慮步長的更為實(shí)用的選取方法法. .計(jì)算方法計(jì)算方法)()(12)(2,22nbannnfnababTdxxfnnbaTT 梯梯形形公公式式，則則等等分分的的復(fù)復(fù)化化等等分分及及分分別別表表示示將將及及若若用用，則則變變化化不不大大，即即在在若若)()(,)(2nnffbaxf )()2(12)(222nbanfnababTdxxf 4)()(2 banbanTdxxfTdxxf計(jì)算方法計(jì)算方法）（從而從而nnbanTTTdxxf 2231)( nbannTxfTT22)(,時(shí)時(shí)由由此此可可以以認(rèn)認(rèn)為為

13、，當(dāng)當(dāng)）（即：即：nnbanTTTdxxf 2231)(計(jì)算方法計(jì)算方法121nhbaTT按照這種方法，可先取，即，計(jì)算 ，然后縮小步長一半，計(jì)算 ，重復(fù)這一過程直至滿足要求為止。2,.nnTT為了在計(jì)算機(jī)上便于實(shí)現(xiàn) 可用來計(jì)算計(jì)算方法計(jì)算方法則則設(shè)設(shè),nabh nT24h2 nx2x0 xnx1x1 nx3x 2)( af)( )()(111021bfxfxfnknkkk )()(2)(411bfxfafhnkk 1021)(2nkkxfh 1021)(221nkknxfhT計(jì)算方法計(jì)算方法 1T 10sindxxxx00.125 0.250.3750.50.6250.750.875 1f(x) 10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709例例2：用變步長的梯形法計(jì)算：用變步長的梯形法計(jì)算 ， .解：解： 2T)1()0(21ff 9207355. 0 121T)5 . 0(21f 93979