第1講微分方程的概念

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫：彭亞新教案制作：彭亞新第七章 常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：n了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.n了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.n會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.n知道下列高階方程的降階法： . )()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy n了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊次 線性微分方程的解法.n熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.n掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、

2、余 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊次線性微分 方程的解法. 微分方程是精確表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問題的基本工具之一。 現(xiàn)代建立起來的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程。 在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系。含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。 第一節(jié) 微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程、非線性方程方程的解、通解、特解、所有解初始條件（定解條件）積分曲線（解的幾何意義）初值問題、初值問題的解齊次方程、非齊次方程常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。

3、未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程。2 d dxtx 例xcyxybxysindddd220dd2xyyx322ddtxtx常微分方程常微分方程),(222222zyxfzuyuxu偏微分方程偏微分方程常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高 階 數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一階二階二階一階一階線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的，且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無關(guān)），則稱

4、該方程為線性方程，否則，稱之為非線性方程。2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一階一階二階二階一階一階非線性非線性線性線性非線性非線性齊次方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程，稱為齊次方程。自由項(xiàng)不為零的方程，稱為非齊次方程。2 d dxtxxcyxybxysindddd22322ddtxtx一階齊次非線性方程一階齊次非線性方程二階非齊次線性方程二階非齊次線性方程一階非齊次非線性方程一階非齊次非線性方程微分方程的一般表示形式微分方程的一般表示形式 為為階微分方程的一般形式階微分方程的一般形式n 0),()(。 nyyy

5、yxf 0sindddd),(22。 xcyxybxyyyxf方程的解、通解、特解、所有解方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解。能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解。如果如果 n 階微分方程的解中含有階微分方程的解中含有n 個(gè)相互獨(dú)立的任意個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此解為常數(shù)，則稱此解為 n 階微分方程的通解。階微分方程的通解。一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解。一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解。 通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用

6、數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出。其它方法直接由方程解出。所有解通解不能包含在通解內(nèi)的所有特解。所有解通解不能包含在通解內(nèi)的所有特解。 例 sincos 為微分方程的解：為微分方程的解：驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)axaxy ) 0 ( 02。為常數(shù)為常數(shù) ayay解解 ,cossinaxaaxay ),sin(cossincos222axaxaaxaaxay 代入方程，得代入方程，得 0,)sincos( )sincos(222 axaxaaxaxayay sincos 為此微分方程的解。為此微分方程的解。故函數(shù)故函數(shù)axaxy 微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示

7、出來。微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來。 此時(shí)可求數(shù)值解此時(shí)可求數(shù)值解初始條件（定解條件）初始條件（定解條件） 由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的初始條件或定解條件。初始條件或定解條件。常微分方程常微分方程初始條件初始條件稱為初值問題（柯西問題）稱為初值問題（柯西問題） 例解解處上任意一點(diǎn)的平面曲線設(shè)通過點(diǎn) ),( )2 , 1 ( 0yxmlm . 2 的方程，求此曲線的切線的

8、斜率為lx，則有設(shè)曲線的方程為)( xyy .2ddxxy應(yīng)滿足條件此外，函數(shù) )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (積分，得式兩邊關(guān)于將 ) 1 (xcxxxy2d2)2()3(，得代入將)3()2(, 1c 故所求的曲線方程為12 xy微分方程微分方程初始條件初始條件通解通解特解特解 例解解處上任意一點(diǎn)的平面曲線設(shè)通過點(diǎn) ),( )2 , 1 ( 0yxmlm . 2 的方程，求此曲線的切線的斜率為lx，則有設(shè)曲線的方程為)( xyy .2ddxxy應(yīng)滿足條件此外，函數(shù) )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (積分，得式兩邊關(guān)于將 ) 1 (xcxxxy2d2)2()3(，得代入將)3()2(, 1c 故所求的曲線方程為12 xy微分方程微分方程初始條件初始條件通解通解特解特解cxxxy2d212 xy有何想法？有何想法？積分曲線（解的幾何意義）積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線。特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線。12 xyxyocxy2)2 , 1 (0m 在求微分方程數(shù)值解時(shí)，往往需要研究解的存在性、在求微分方程數(shù)值解時(shí)，往往需要研究解的存在性、唯一