淺議構(gòu)造法及在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用

1、淺議構(gòu)造法及在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用所謂構(gòu)造法，即構(gòu)造性解題方法，根據(jù)對(duì)題設(shè)條件或結(jié)論 充分細(xì)致的分析，抓住問(wèn)題的特征，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型， 然后變換命題，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，它可以是圖形、函數(shù)、 方程等，借助于該數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想 方法。構(gòu)造法”包含下述兩層意思：（1）利用抽象問(wèn)題的普遍 性，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；（2）利用具體問(wèn)題的特 殊性，為待解決的問(wèn)題設(shè)計(jì)一個(gè)合理的框架。構(gòu)造法打破了基本的'要什么，求什么，給什么，用什 么”的常規(guī)解題思路和解題模式，應(yīng)用它解題，則另辟蹊徑, 它是一種重要而靈活的思維方式，沒(méi)有固定的模式，常常表 現(xiàn)出簡(jiǎn)捷、明快、精巧、新穎等特點(diǎn)，使

2、數(shù)學(xué)解題突破常規(guī), 具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性。它的應(yīng)用十分廣泛，特別是對(duì)有些技巧 性強(qiáng)的題目，這時(shí)利用構(gòu)造法往往能達(dá)到意想不到的效果， 它是一種探索和創(chuàng)新，適當(dāng)?shù)臉?gòu)造可以給人帶來(lái)耳目一新的 解題感受，能提高學(xué)生的解題能力，還可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù) 學(xué)靈巧之美。1構(gòu)造方程法構(gòu)造方程就是構(gòu)造一些特殊的方程，將一些“相等關(guān) 系”轉(zhuǎn)化為“不等關(guān)系”，“不等關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“相等關(guān)系” o【例】設(shè)al, a2,，an為任意正數(shù)，證明對(duì)任意正 整數(shù)n不等式(al+a2+an) 2wn (al2+a22+ +an2)均成 立證明：原不等式即4 (al+a2+an) 24n (al2+a22+*+an2) wo由此聯(lián)想到根的

3、判別式而構(gòu)造一元二次方程：(al2+a22+an2) x2+2 (al+a2+an) x+n二0(*)因方程左邊二(alx+1) 2+ (a2x+l) 2+ (anx+1) 2三0 當(dāng)al, a2,，an不全相等時(shí)，alx+1, a2x+l,， anx+1至少有一個(gè)不為0,方程(*)左邊恒為正數(shù)，方程(*)顯然無(wú)解。當(dāng)al二a2二二an時(shí)，方程(*)有唯一解故二4 (al+a2+an) 24n (al2+a22+-*+an2) wo即(al+a2+an) 2wn (al2+a22+an2)對(duì)任意正 整數(shù)n均成立。通過(guò)以上例題考察題設(shè)條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征， 巧妙設(shè)計(jì)新的方程，創(chuàng)立新的問(wèn)題情

4、境，靈活快速地解決問(wèn) 題，解出“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的歡快心情。2構(gòu)造函數(shù)法函數(shù)在我們整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)膬?nèi)容，學(xué)生對(duì)于 函數(shù)性質(zhì)也比較熟悉。解題過(guò)程中不斷挖掘?qū)W生的潛在意識(shí) 而不讓學(xué)生的思維使注意到某一點(diǎn)上，把自己的解題思路擱 淺了。啟發(fā)學(xué)生思維多變，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維。【例】設(shè)a, b, c為三角形三邊長(zhǎng)，求證：證明：構(gòu)造函數(shù)顯然f (x)在(0, +°°)上是增函數(shù)ta, b, c 是三角形三邊長(zhǎng)，.：c/.f (c) bn, an>cnan3>anbncn即：此題看似非常繁瑣，但通過(guò)構(gòu)造已知式的對(duì)偶式，問(wèn)題 就巧妙地解決了。所以說(shuō)構(gòu)

5、造對(duì)偶式對(duì)解決這類問(wèn)題就顯得 十分簡(jiǎn)便了。4構(gòu)造幾何圖形法華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微。” 利用數(shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)，幾何的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)難題 巧解在解題時(shí)若以數(shù)形結(jié)合的思想作指導(dǎo)，對(duì)于某些較復(fù)雜 的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造圖形啟發(fā)思維，借助于圖形的直觀來(lái)解題 往往使解題方法簡(jiǎn)捷.【例】實(shí)數(shù)x, y滿足4x2+4y2-5xy=5,求s=x2+y2的極 值。分析：首先觀察約束條件和目標(biāo)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都是二次曲線。令x=xz +y，y=xz -yz ,將約束條件化為目標(biāo)函數(shù) 化為因此其幾何模型為：動(dòng)圓與定橢圓相切時(shí)，動(dòng)圓半徑 平方的2倍，即為目標(biāo)函數(shù)的最小值，也即為定橢圓的長(zhǎng)半 軸、短半軸

6、平方的兩倍。如圖所示。然后，由建立的幾何模型，易求得：此題首先觀察命題的約束條件和目標(biāo)函數(shù)的形狀與結(jié) 構(gòu)形似聯(lián)想，構(gòu)造幾何模型，即由數(shù)及形；然后根據(jù)幾何模 型的特征，求解極值，即由形促數(shù)。這種構(gòu)造的重要之點(diǎn)在 于，善于發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義，從而構(gòu)造出幾何圖形, 把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決.巧用構(gòu)造法來(lái)證明，是通過(guò)建立和構(gòu)造模型創(chuàng)造性的解 題，是不同于常規(guī)解法的創(chuàng)造性思維。由于構(gòu)造法具有非常 規(guī)性，構(gòu)造內(nèi)容也變化不定，靈活性強(qiáng)，有時(shí)需要構(gòu)造一個(gè) 式子，有時(shí)需時(shí)構(gòu)造圖形，有時(shí)需要構(gòu)造方程，有時(shí)需要構(gòu) 造函數(shù)，復(fù)數(shù)或向量，這給學(xué)生的創(chuàng)新思維提供了很大的培 養(yǎng)和訓(xùn)練空間，需要學(xué)生不斷去探索和總結(jié)，當(dāng)然，創(chuàng)造性 思維的培養(yǎng)并不是一朝一夕的事，也不是一章一節(jié)之內(nèi)容， 而是應(yīng)該長(zhǎng)期堅(jiān)持，立足課堂主戰(zhàn)場(chǎng)，注重教材中潛在內(nèi)涵 的挖掘，引導(dǎo)學(xué)生的