整除資料匯總

1、11能被 2、3、4、5、6、7、8 9 等數(shù)整除的數(shù)的特征性質(zhì) 1：如果數(shù) a、b 都能被 c 整除，那么它們的和（a+b）或差（ a b）也能被c 整除。性質(zhì) 2: 幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被這個(gè)數(shù)整除。能被 2 整除的數(shù)個(gè)位上的數(shù)能被2 整除（偶數(shù)都能被2 整除），那么這個(gè)數(shù)能被 2整除 能被 3 整除的數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和能被3 整除，那么這個(gè)數(shù)能被3 整除能被 4 整除的數(shù)個(gè)位和十位所組成的兩位數(shù)能被4 整除，那么這個(gè)數(shù)能被4 整除能被 5 整除的數(shù)個(gè)位上的數(shù)都能被5 整除（即個(gè)位為0 或 5）那么這個(gè)數(shù)能被5 整除能被 6 整除的數(shù)如果一個(gè)數(shù)

2、既能被2 整除又能被 3 整除，那么這個(gè)數(shù)能被6 整除能被 7 整除的數(shù)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的 2倍，如果差是7 的倍數(shù)則原數(shù)能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍數(shù)就需要繼續(xù)上述截尾、倍大、相減、驗(yàn)差的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷 133 是否 7 的倍數(shù)的過(guò)程如下：13 3x 2=乙所 以 133 是 7 的倍數(shù)；又例如判斷 6139 是否 7 的倍數(shù)的過(guò)程如下： 613 9x 2 = 595, 59 5x 2= 49,所以 6139 是 7 的倍數(shù)余類推。能被 8 整除的數(shù)百位、十位和個(gè)位所組成的三位數(shù)能被8 整除，那么這個(gè)數(shù)能被8

3、 整除 能被 9 整除的數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和能被9 整除，那么這個(gè)數(shù)能被9 整除能被 10 整除的數(shù)如果一個(gè)數(shù)既能被2 整除又能被 5 整除，那么這個(gè)數(shù)能被10 整除（即個(gè)位數(shù)為零）能被 11 整除的數(shù)“奇偶位差法”奇數(shù)位（從左往右數(shù)）上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和之差（大數(shù)減小數(shù)）能被11 整除，則該數(shù)就能被11 整除。 11 的倍 數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7 的割尾法處理！過(guò)程唯一不同的是：倍數(shù)不是2 而是 1 ! 能被 12 整除的數(shù)若一個(gè)整數(shù)能被3 和 4 整除，則這個(gè)數(shù)能被12 整除 能被 13 整除的數(shù) 若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的 4 倍，如果差是 13 的

4、倍數(shù)則原數(shù)能被 13 整除。如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍數(shù)就需要繼續(xù)上述截尾、倍大、相加、驗(yàn)差的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。能被 17 整除的數(shù)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的 5倍，如果差是17 的倍數(shù)則原數(shù)能被 17 整除。如果差太大或心算不易看出是否 17的倍數(shù)就需要繼續(xù)上述截尾、倍大、相減、驗(yàn)差的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。另一種方法：若一個(gè)整數(shù)的末三位與3 倍的前面的隔出數(shù)的差能被17 整除，則這個(gè)數(shù)能被 17 整除12能被 19 整除的數(shù)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的 2倍，如果差是19 的倍數(shù)則原數(shù)能被 19 整除。如果差太大

5、或心算不易看出是否 19的倍數(shù)就需要繼續(xù)上述截尾、倍大、相加、驗(yàn)差的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。另一種方法：若一個(gè)整數(shù)的末三位與7 倍的前面的隔出數(shù)的差能被19 整除，則這個(gè)數(shù)能被 19 整除能被 23 整除的數(shù)若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5 倍的隔出數(shù)的差能被23（或 29）整除，則這個(gè)數(shù)能被23 整除能被 25 整除的數(shù)十位和個(gè)位所組成的兩位數(shù)能被25 整除。能被 125 整除的數(shù)百位、十位和個(gè)位所組成的三位數(shù)能被125 整除。? ? 1、整數(shù) a 除以整數(shù) b（b 工 0），所得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)我們就說(shuō) a 能被 b 整除（也可以說(shuō) b 能整除 a）。2、 如果整數(shù) a 能被整數(shù) b（

6、b 工 0）整除，則稱a 是 b 的倍數(shù) b 是 a 的約數(shù)。3、 整除的數(shù)其數(shù)字和一定是9 的倍數(shù) . 4、 能被 11 整除的數(shù)的特征是這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被 11 整除。5、 一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7 （11 或 13）整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（11 或 13）整除。例題精講1、 判斷 47382 能否被 3 或 9 整除？分析：能被3 或 9 整除的數(shù)的特點(diǎn)是這個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和是3 或 9 的倍數(shù)。47382 各個(gè)數(shù)位的數(shù)字相加和是24, 24 是 3 的倍數(shù)但不是9 的倍數(shù)。解 : 47

7、382 能被 3 整除，不能被9 整除2、 判斷 42559 , 7295871 能否被 11 整除？分析：一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被11 整除，只須看這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能否被11 整除。解： 42559 奇數(shù)位的數(shù)字和為4+5+9=18, 偶數(shù)位的數(shù)字和為2+5=7 , 18-7=11 是 11 的倍數(shù)所以 42559 能被 11 整除; 7295871 奇數(shù)位的數(shù)字和為7+9+8+1=25 偶數(shù)位的數(shù)字和為2+5+7=14, 25-14=11是 11 的倍數(shù)所以 7295871 也能被 11 整除。3、32335 能否被 7 整除？分析：一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7 （

8、11 或 13）整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（ 11 或 13）整除。解： 335-32=303 ，303 不能被 7 整除，所以 32335 不能被 7 整除。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：13性質(zhì) 1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如， 48 能被 16 整除， 16 能被 8 整除，那么 48 一定能被 8 整除。性質(zhì) 2 如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21 與 15 都能被 3 整除，那么 21 + 15 及 21-15 都能被3 整除。性

9、質(zhì) 3 如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126 能被 9 整除，又能被7 整除，且 9 與 7 互質(zhì)，那么 126 能被 9x 7= 63 整除?？偨Y(jié)：我們要牢記能被n 個(gè)特殊數(shù)整除的特征，歸納出一般性的規(guī)律。（1） 一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0, 2, 4, 6, 8 中的一個(gè)，那么這個(gè)數(shù)就能被2 整除。（2）一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字如果是0 或 5, 那么這個(gè)數(shù)就能被5 整除。（3）個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3 整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3 整除。（4）一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4 （或 25）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4 （或25） 整除。（

10、5） 一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)如果能被8 （或 125）整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8 （或125）整除。（6）個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9 整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9 整除。?割尾法有些數(shù)具有一種特殊的整除性。如：能被11 整除的數(shù)去尾一倍（或加尾十倍，因?yàn)?11-仁 10）所得數(shù)能被11 整除。如 121, 12-仁 11 , 11 能被 11 整除，所以121 能。這種方法對(duì)于11 很好證明，但對(duì)其他的卻不一定了。（某數(shù)去尾一倍，實(shí)際是去了11 的倍數(shù)，所剩的數(shù)去掉后面的零（因?yàn)?10 的無(wú)論多少次方都不能被 11 整除） .所以剩余數(shù)若能被11 整除,就足以說(shuō)明原數(shù)能被11 整除.用奇偶數(shù)位和差

11、來(lái)說(shuō)明也是相似的道理）再如 13 是加尾四倍（或減尾9 倍）， 17 是減尾五倍（或加尾12 倍）， 19 是加尾 2 倍（或減尾十七倍）有一個(gè)道理是很明顯的。如果有一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)是1, 這個(gè)數(shù)又比 21 大 的話，我們將這個(gè)數(shù)減去21，得數(shù)（它的末位數(shù)肯定是0）如果能被 7 整除，先前那個(gè)數(shù)肯定也能被7 整除；如果得數(shù)不能被7 整除，先前那個(gè)數(shù)肯定也不能被 7 整除，即在這種情況下，判斷得數(shù)能不能被7 整除，最末位上的0 可以舍去不管。如果給定的整數(shù)的末位數(shù)不是1, 而是其他數(shù)，也可以依此類推，例如給定整數(shù)末位數(shù)是6, 我們可將此數(shù)減去21 x6=126 , 也即先從該整數(shù)中去掉末14位數(shù)

12、 6, 再?gòu)乃鄶?shù)中減去6x 2=12 。由此我們得到一個(gè)一般原則：去掉末位數(shù)，再?gòu)氖Ｏ碌臄?shù)中減去去掉的末位數(shù)的2 倍。以考查 15946 能不能被7 整除為例，去掉末位數(shù)6, 再計(jì)算 1594-2 x6 得 1582, 此時(shí)，如果 1582 能被 7 整除，則 115946 就能被 7 整除；如果 1582 不能被 7 整除，則 15946 就不能被 7 整除。繼續(xù)對(duì) 1582 用此法判斷可得154, 再作一次就得乙 由于最后得到的是 7 （或7 的倍數(shù)），故知15946 能被 7 整除。這是一種簡(jiǎn)捷可靠的判斷一個(gè)整數(shù)能不能被7 整除的方法，我們稱它為“去一減二法”，它的意思就是前面說(shuō)的：去

13、掉末位一個(gè)數(shù)，再?gòu)氖Ｏ碌臄?shù)中減去去掉的數(shù)的2 倍。還有一種判斷整數(shù)能不能被7 整除的方法，這種方法也可以用來(lái)判斷整數(shù)是否能被11 或 13 整除，由于這種方法的基礎(chǔ)是7x 11x 13=1001 , 所以我們將它為“ 1001 法”。還以15946 為例，我們將15946 從左往右數(shù)到第一位與第四位（中間相隔兩位）上的數(shù)都減去 1, 則得 5936, 實(shí)際上相當(dāng)于減去10x 1001 , 減去的是 7 的倍數(shù)，因此要考查 15946 是否能被 7 整除，只須考查5936 是否能被 7 整除就行了，再?gòu)?5936 的第一位和第四位上都減去5, 得 931，則 15946 能不能被 7 整除的問(wèn)題

14、變成了考查931 能不能被 7 整除，如果我們把大于7 的數(shù)字都減去乙實(shí)際上就是要考查231 是否能被 7 整除，這時(shí)只須用一次“去一減二法”得21, 就能判定 15946 能被 7 整除了。又如，用“ 1001 法”考查 841945 能不能被 7 整除，由于1001 x 841=841841, 所以 841945-841841=945-841 = 104 （即多次用“ 1001 法的結(jié)果），因此我們只須考查104 是否能被 7 整除即可，此時(shí)用“去一減二法”得 2, 故知 841945 不能被 7 整除。這里要注意，因?yàn)?001=7x11 x 13, 所以“ 1001 法”不光能用來(lái)判斷7 的整除性，還可以用來(lái)判斷11 和 13 的整除性，由于 104 不能被 11 整除而能被