D3-2洛必達法則,D3-3泰勒公式

1、1微分中值定理：微分中值定理：函數(shù)的性態(tài)函數(shù)的性態(tài)導數(shù)的性態(tài)導數(shù)的性態(tài)復習復習羅爾定理：羅爾定理：(1) ( ) , f xC a b (2) ( )( , )f xD a b (3) ( )( )f af b ( )0( , )fa b ，( ) , f xC a b ( )( , )f xD a b ( )( )( ),( , )f bf afa bb a 拉格朗日定理：拉格朗日定理：柯西定理：柯西定理： ( ),( ) , F xf xC a b ( ),( )( , )F xf xD a b ( )( )( ),( )( )( )ff bf aFF bF a ( , )a b ( )0

2、F x 且且2二、其他未定式二、其他未定式 一、一、 型未定式型未定式00 ，第二節(jié)洛必達法則 第三三章 ( ) 0lim()( ) 0f xg x 型型， 型型函數(shù)之商的極限函數(shù)之商的極限導數(shù)之商的極限導數(shù)之商的極限 轉化轉化( )lim( )fxg x 本節(jié)研究本節(jié)研究:洛必達法則洛必達法則3洛必達洛必達(1661 1704) 法國數(shù)學家法國數(shù)學家,出生于貴族，當過軍官，因視力出生于貴族，當過軍官，因視力不好退役了，他在不好退役了，他在15歲時就解決了帕斯卡提出的擺歲時就解決了帕斯卡提出的擺線難題線難題 ,以后又解出了伯努利提出的以后又解出了伯努利提出的“ 最速降線最速降線 ” 問題問題

3、,在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的關于圓錐曲年出版了他的關于圓錐曲線的書。他是萊布尼茲的忠實信徒，他著有線的書。他是萊布尼茲的忠實信徒，他著有無窮無窮小分析小分析 (1696),這是一本較系統(tǒng)的微積分書，并在這是一本較系統(tǒng)的微積分書，并在該書中提出了求未定式極限的方法該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為后人將其命名為“ 洛必達法則洛必達法則 ”。400 一一 、 與與型型 未未 定定 式式例如例如,0tanlimxxx0lnsinlimlnsinxaxbx )00()( 定義：定義： 如果當如果當ax（或（或 x） 時，時，或或)(xf兩個函數(shù)兩個函數(shù))(xg與與都都趨

4、于零趨于零或或趨于無窮大趨于無窮大， 那么極限那么極限 ()( )lim( )xaxf xg x 或或可能存在，可能存在，通常通常把這種把這種極限極限稱為稱為也可能不存在，也可能不存在， 型型未定式未定式.00型型51) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或為或為 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 2)( )( )( ),f xF xa 與與在在內內可可導導( )0Fx 且且定理定理 1.(洛必達法則洛必達法則) 定義：定義：這種在一定條件下通過這種在一定條件下通過分子分母分別求導分子分母分別求導

5、再再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.( )( )( )( )( )( )f xf afF xF aF xa ,.xaa 當當時時6( 在在 x , a 之間之間)證證: 無妨假設無妨假設( )( )0,f aF a在指出的鄰域內任取在指出的鄰域內任取,( ),( )xaf xF x 則則在以在以 x, a 為端點的區(qū)間上滿足柯為端點的區(qū)間上滿足柯故故( )( )( )( )( )( )f xf xf aF xF xF a ( )( )fF ( )lim( )xaf xF x( )lim( )afF ( )lim( )xafxFx 3)定理條

6、件定理條件: 西定理條件西定理條件,.xaa 當當時時1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或為或為 )2)( )( )( ),f xF xa 與與在在內內可可導導( )0Fx 且且 xa 71) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或為或為 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 2)( )( )( ),f xF xa 與與在在內內可可導導( )0Fx 且且定理定理 1.(洛必達法則洛必達法則) 推論推論1. 定理定理 1 中中xa換為換

7、為,xa ,xa ,x x 之一之一,推論推論 2. 若若( )lim( )fxFx 0,( ),( )0fxFx仍仍屬屬型型 且且滿滿足足定定理理1 1的的條件條件,則則( )( )limlim( )( )f xfxF xFx ( )lim( )fxFx 條件條件 2) 作相應的修改作相應的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x 8332132lim.1xxxxxx求求解解: 原式原式1 limx 00型型16lim62xxx 32 注意注意: 不是未定式不能用洛必達法則不是未定式不能用洛必達法則 !16lim62xxx 16lim16x 233x 2321xx例例1. 用羅比達法則

8、時用羅比達法則時必須必須檢驗是否為未定式檢驗是否為未定式P136例例29arctan2lim.1xxx 求求解解: 原式原式 lim x 00型型22lim1xxx 1 211x 21x 211lim1xx 思考思考: 如何求如何求 21arctanlimnnn ( n 為正整數(shù)為正整數(shù)) ? 型型lim( )()lim( )lim( )xnxf xAf nf x 或或例例2.P136例例4 10解解:30tanlimxxxx 原原式式220lim3xxx 220sec1lim3xxx .31 0(0型型 ) )220tanlim3xxx 例例3.tantanlim20 xxxxx 求求22s

9、ec1tanxx注意：注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法洛必達法則是求未定式的一種有效方法,但與其但與其它求極限方法結合使用它求極限方法結合使用,效果更好效果更好.常用的有等價無窮小常用的有等價無窮小代換代換,重要極限重要極限,變量代換變量代換,極限的運算法則等極限的運算法則等.P138例例1011例例4. 求求0sin1lim.1cosxxxx 解解: xxxxcos1sin1lim00002sinlim12xxxxx 30sin2limxxxx 201cos2lim3xxx 0sin2lim6xxx .31 盡量使用盡量使用無窮小的代換無窮小的代換和和重要極限，重要極限，說明：說明：

10、可以可以簡化簡化計算計算.220122lim3xxx 1.3 0000121) lim( )lim( )xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxFx ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 定理定理 2.若若(洛必達法則洛必達法則)2)( )( )( ),f xF xa 與與在在內內可可導導( )0Fx 且且說明說明: 定理中定理中xa換為換為之一之一,條件條件 2) 作相應的修改作相應的修改,定理仍然成立定理仍然成立.,xa ,xa ,x x ,x 存在存在 (或為或為 )注意：注意： 想用洛必達法則之前應先：想用洛必達法則之前應先：(1)檢查極限的類

11、型是否為檢查極限的類型是否為(2)為使極限計算簡單為使極限計算簡單,應應結合以前的方法結合以前的方法化簡函數(shù)化簡函數(shù),如如等價無窮小代換、四則法則、變量代換等等價無窮小代換、四則法則、變量代換等.00 型型、 型型13lnlim(0).nxxnx 求求解解: 型型原式原式11limxnxnx 1limnxnx 0 例例5.例例6. 求求解解: 原式原式0 1limnxxnxe 22(1)limnxxn nxe !limnxxne lim( ,0).nxxxne 為為正正整整數(shù)數(shù) 型型例例5、例、例6說明：說明：但它們趨于無窮大的但它們趨于無窮大的“快慢快慢”程度不一程度不一樣樣.指數(shù)函數(shù)最快指

12、數(shù)函數(shù)最快,冪函數(shù)次之冪函數(shù)次之,對數(shù)函數(shù)最慢對數(shù)函數(shù)最慢.ln,xxx xe 當當時時, , , ,均均為為無無窮窮大大三者相比三者相比,P136例例5,614例例7.解解:2tanlim.tan3xxx 求求222seclim3sec 3xxx 原原式式2221cos 3lim3cosxxx 21 lim3x 2cos3limcosxxx 23sin3limsinxxx . 3 )( P139 T1(8)22cos3sin3limlimcossinxxxxxx21,tx 令令50limttt e 則則 原式原式=50limttte 0 2110001limxxex 解解:例例8. 求求非零

13、因子要及時分離出來非零因子要及時分離出來2sin6limsin2xxx 6cos3 sin3xx 2cossinxx 15練習：練習：下列各式正確運用洛必達法則求極限的是下列各式正確運用洛必達法則求極限的是( )2112ln(ln )2ln( )limlimlim2lim011nnnnnnnnnAnn 00sin1cos()limlimsin1cosxxxxxBxxx cos1sin()limlim1xxxxxCx 不不存存在在0001() limlimlim01lnxxxxDxxx B160,00 ,1 , 0 型型將其它類型的未定式化為洛必達法則可解決的將其它類型的未定式化為洛必達法則可解

14、決的關鍵關鍵:0,.0 類型類型 例例9. 求求0limln(0).nxxxn 0型型解解: 原式原式0lnlimnxxx 101limnxxn x 0 0lim()nxxn 1. 0型型步驟步驟: 0 0或或,1 .010 二、其他未定式二、其他未定式:P137例例717 00.0 0 2. 型型步驟步驟:即即通分通分1100 型型2lim(sectan ).xxx 解解: 原式原式21sinlim()coscosxxxx 21sinlimcosxxx 2coslimsinxxx 0 例例10. 求求例例11.解：解：21limln(1).xxxx求求0lim t20ln(1)limtttt

15、 21limln(1)xxxx 0lim2(1)tttt 0111lim2ttt 12 1tx 令令211ln(1) tttP138例例818步驟步驟:003. 0 ,1 , 型型 0010 0ln00 1ln ln0用對數(shù)用對數(shù)恒等式恒等式例例12. 求求0lim.xxx 00 型型解解: 0e 1 0limxxx ln0limxxxe 09.limln0(0).nxxxn 例例lnMMe 由由對對數(shù)數(shù)恒恒等等式式：知知：lnggfyfye 0limlnxxxe 0 xxxeln1lim lnlimxxxe . 11lim xxe xxx1lim例例13.1lim.xxx 求求解：解：lim

16、1nnn P138例例919解：解：例例14.2lim (arctan) .xxx 求求 1221limarctan1xxxx 221limlimarctan1xxxxx 2lim (arctan)xxx 2ln(arctan)limxxxe 2limln(arctan)xxxe 2limln(arctan )xxx 0 211limarctanxxx 2limlnlnarctan xxx 2lnlnarctanlim1xxx 002 2limln(arctan)2=xxxee 原原式式P183T10(3)211x 20注意：注意：1)條件充分但不必要條件充分但不必要.洛必達法則的使用是有條件

17、的洛必達法則的使用是有條件的.( )lim(),( )fxF x 若若不不存存在在時時( )( )limlim.( )( )f xfxF xF x 例如例如,sinlimxxxx 1 coslim1xx sinlim(1)xxx 1 ( )( )limlim(),( )( )f xfxg xg x 設設是是未未定定式式極極限限, ,如如果果不不存存在在 也也不不是是( )lim()( )f xg x 是是否否也也不不存存在在 也也不不是是？極限不存在也極限不存在也不是無窮大不是無窮大2)對有些極限失效對有些極限失效(1)對對數(shù)列數(shù)列極限極限失效失效.對數(shù)列極限的未定式對數(shù)列極限的未定式,若想用

18、洛必達法則若想用洛必達法則,應先用定理應先用定理:lim( )()lim( )lim( )xnxf xAf nf x 或或21( )(2)lim()( )fxg x 不存在不存在時時失效失效.(3)有時有時出現(xiàn)循環(huán)，出現(xiàn)循環(huán)，這時羅比達法則這時羅比達法則失效失效.如：如： xxxxxeeeelim事實上：事實上： xxxxxeeeelim xxxxxeeeelimxxxxxeeee lim. 111lim22 xxxee(4)有時會有時會越用越復雜越用越復雜,這時這時不必不必用羅比達法用羅比達法,則應先用則應先用其它方法其它方法.如：如： xxxx3sincos1seclim220 xxxx3

19、sincostanlim220220limcos(3 )xxxx 1.9 22000 ,1 , 型型 型型0 型型00型型 型型1gffg1111gfgffg 洛必達法則洛必達法則適用于：適用于：gyf 令令lngfye 內容小結內容小結溫馨提示：溫馨提示： 洛必達法則是求未定式極限的一種有效方法洛必達法則是求未定式極限的一種有效方法,但與但與其它求極限方法結合使用其它求極限方法結合使用,效果更好效果更好. 常用的有等價無常用的有等價無窮小代換、重要極限、變量代換窮小代換、重要極限、變量代換,極限的運算法則等極限的運算法則等.23泰勒中值定理：泰勒中值定理：0( )( , )f xxa b如如

20、果果函函數(shù)數(shù)在在含含有有 的的某某個個開開區(qū)區(qū)間間200000( )00()( )()()()()2!() ()( )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn 其中：其中：(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn (1)第三節(jié)第三節(jié) 泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理0 xx 這這里里 是是介介于于 與與 之之間間的的某某個個值值. .把把(1)式稱為函數(shù)式稱為函數(shù)0(.)f xxxn 在在處處階階泰泰勒勒公公式式的的(1, )xa bn 內內具具有有直直到到階階的的導導數(shù)數(shù), ,則則，有有(2)把把(2)式稱為式稱為拉拉格格朗朗日日型型余余項項. .24注意注意:

21、( )0()2.!nfxn泰泰叫叫 勒勒系系數(shù)數(shù)，3.余項：余項：(1)10( )(1) ( )()(1)!nnnfR xxxn 0 xx 其其中中 介介于于 與與 之之間間. .叫叫Lagrange型余項型余項.0lim( )nxxR x由由于于0, 00lim()0,nxxxx 00( )lim0()nnxxR xx x 并并且且，( )000()( )() :!1.knknkfxP xxxk 0( )xxnfx 稱稱為為按按的的冪冪展展開開的的泰泰階階勒勒多多項項式式. .叫皮亞諾叫皮亞諾(Peano) 余項余項.0(2) ( )() nnR xo xx 且且系系數(shù)數(shù)是是唯唯一一的的.

22、.200000( )00()( )()()()()2!() ()( )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn 0( )f xxxn 在在處處的的 階階泰泰勒勒公公式式：254.特例特例:(1)當當n=0時，時， 泰勒公式泰勒公式即為即為拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.00( )()( )()f xf xfxx ，故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.稱為稱為麥克勞林麥克勞林( Maclaurin )公式公式 .00 x ，則有則有(2)在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取0 xx 其其中中 介介于于 與與 之之間間. .( )(1)21(0)(0)( )( )(0)(0)2!(1)!nnnnffff xffxxxxnn 5.函數(shù)的函數(shù)的Taylor公式公式是函數(shù)無窮小的一種精細分析是函數(shù)無窮小的一種精細分析,也是在無窮小鄰域將也是在無窮小