第四章 地球橢球數(shù)學(xué)投影變換(第8節(jié))

1、4.8 地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念 14.1地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程 所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡略地說來就是將橢球面上元素(包括坐標(biāo)，方位和距離)按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上，研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。 ),(),(21BLFyBLFx14.2地圖投影的變形地圖投影的變形1.長度比 : 長度比m就是投影面上一段無限小的微分線段ds，與橢球面上相應(yīng)的微分線段dS二者之比。 不同點(diǎn)上的長度比都不相同，而且同一點(diǎn)上不同方向的長度比也不相同 21210lim21PPPPmppdSdsm 2.主方向和變形橢圓 投影后一點(diǎn)的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小

2、長度比的方向，稱為主方向。在橢球面的任意點(diǎn)上，必定有一對相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。 以定點(diǎn)為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。 , a bxy122byax,12222byaxrrm1 3.投影變形 1）長度變形 2222sincosbarm1 mvbyax,2）方向變形 tantanababxy) sin() sin(babababa)sin(sin00abba00tan,tantantantanabatantantanabacoscos/ ) sin(tantancosc

3、os/ ) sin(tantan由于3）角度變形：所謂角度變形就是投影前的角度u與投影后對應(yīng)角度u之差 111122180180u218018011112u) (211aauuubabau2sinbabauarcsin224）面積變形：P-114.314.3地圖投影的分類地圖投影的分類1.按變形性質(zhì)分類1）等角投影：投影前后的角度不變形，投影前后保持微小圓形的相似性，投影的長度比與方向無關(guān)，即某點(diǎn)的長度比是一個常數(shù)，又把等角投影稱為正形投影。 2）等積投影：投影前后的面積不變形 3）任意投影：既不等角，又不等積 ababP2.按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類 1）方位投影 取一平面與橢

4、球極點(diǎn)相切，將極點(diǎn)附近區(qū)域投影在該平面上。緯線投影后為以極點(diǎn)為圓心的同心圓，而經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)線交角不變。 Light SourcelBf),( 2）圓錐投影 取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經(jīng)線剪開成平面。 Standard LineTrue Length ExaggeratedlBf),(3）圓柱(或橢圓柱)投影 取圓柱(或橢圓柱)與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投影到圓柱面(或橢圓柱面)上，然后將圓柱或橢圓柱展開成平面。 Standard LineTrue Length Exaggerated3.3.按投影面和原面的相對位置關(guān)系分類按投影

5、面和原面的相對位置關(guān)系分類1)正軸投影：即圓錐軸或圓柱軸與地球自轉(zhuǎn)軸相重合時(shí)的投影，此時(shí)稱正軸圓錐投影或正軸圓柱投影。2)斜軸投影：即投影面與原面相切于除極點(diǎn)和赤道以外的某一位置所得的投影。3)橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉(zhuǎn)軸相垂直，且與某一條經(jīng)線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。 除此之外，為調(diào)整變形分布，投影面還可以與地球橢球相割于兩條標(biāo)準(zhǔn)線，這就是所謂割圓錐，割圓柱投影等。 14.4高斯投影簡要說明高斯投影簡要說明 高斯在18201830年間在對德國漢諾威三角測量成果進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)提出。 史賴伯于1866年出版的名著漢諾威大地測量投影方法的理論中進(jìn)行了整理和加工。 克呂格1912年

6、對高斯投影進(jìn)行了比較深入的研究和補(bǔ)充，從而使之在許多國家得以應(yīng)用，稱之為高斯.克呂格投影。 4.9 高斯平面直角坐標(biāo)系 4.9.1高斯投影概述高斯投影概述1 控制測量對地圖投影的要求應(yīng)當(dāng)采用等角投影(又稱為正形投影) 長度和面積變形不大,并能用簡單公式計(jì)算由于這些變形而引起的改正數(shù) 投影后應(yīng)保證具有一個單一起算點(diǎn)的統(tǒng)一的坐標(biāo)系統(tǒng)。能按高精度的、簡單的、同樣的計(jì)算公式把各區(qū)域聯(lián)成整體 。控制投影范圍大區(qū)域分帶2 高斯投影描述 想象有一個橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)

7、差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面 。我國規(guī)定按經(jīng)差6和3進(jìn)行投影分帶。 工程測量控制網(wǎng)也可采用.5帶或任意帶，但為了測量成果的通用，需同國家6或3帶相聯(lián)系。 高斯投影6帶，自0子午線起每隔經(jīng)差6自西向東分帶，依次編號1，2，3，。 我國6帶中央子午線的經(jīng)度，由69起每隔6而至135，共計(jì)12帶，帶號用n表示，中央子午線的經(jīng)度用表示，它們的關(guān)系是 高斯投影3帶， L 在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸 在我國x坐標(biāo)都是正的，y坐標(biāo)的最大值(在赤道上)約為330km。

8、為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500 000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號。這種坐標(biāo)稱為國家統(tǒng)一坐標(biāo)。 Y=19 123 456.789m，該點(diǎn)位在19帶內(nèi)，其相對于中央子午線而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號，再減去500 000m，最后得y=-376 543.211m。 高斯投影由于是正形投影，故保證了投影的角度的不變性，圖形的相似性以及在某點(diǎn)各方向上的長度比的同一性。由于采用了同樣法則的分帶投影，這既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡便公式和數(shù)表進(jìn)行由于變形引起的各項(xiàng)改正的計(jì)算，并且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進(jìn)行。 3 橢球面元素化算到高斯投影面 3

9、 橢球面元素化算到高斯投影面 橢球面三角形投影到高斯平面上后仍是由曲線構(gòu)成的橢球面三角形投影到高斯平面上后仍是由曲線構(gòu)成的三角形。三角形。3 橢球面元素化算到高斯投影面 由于是等角投影，所以大地方位角投影后不變 橢球面三角形投影后變?yōu)檫呴Lsi的曲線三角形，且這些曲線都凹向縱坐標(biāo)軸 3 橢球面元素化算到高斯投影面 橢球面三角形投影后變?yōu)榍€三角形，這不利于在平橢球面三角形投影后變?yōu)榍€三角形，這不利于在平面上解算測量問題，因此有必要用連接兩點(diǎn)的弦線代面上解算測量問題，因此有必要用連接兩點(diǎn)的弦線代替曲線。為此，必須進(jìn)行水平方向改化得到平面三角替曲線。為此，必須進(jìn)行水平方向改化得到平面三角形的內(nèi)角。

10、形的內(nèi)角。3 橢球面元素化算到高斯投影面 弦線的長度即高斯平面上的直線長度，這要通過計(jì)算弦線的長度即高斯平面上的直線長度，這要通過計(jì)算距離改化來實(shí)現(xiàn)。距離改化來實(shí)現(xiàn)。3 橢球面元素化算到高斯投影面 為了進(jìn)行平面計(jì)算，必須知道起始點(diǎn)的高斯坐標(biāo)，即為了進(jìn)行平面計(jì)算，必須知道起始點(diǎn)的高斯坐標(biāo)，即有根據(jù)起點(diǎn)有根據(jù)起點(diǎn)P P的大地坐標(biāo)計(jì)算平面坐標(biāo)的正算公式；同的大地坐標(biāo)計(jì)算平面坐標(biāo)的正算公式；同時(shí)為了檢核，還應(yīng)有反算公式。時(shí)為了檢核，還應(yīng)有反算公式。3 橢球面元素化算到高斯投影面 坐標(biāo)方位角計(jì)算：坐標(biāo)方位角計(jì)算：KPPKPKPA將橢球面三角系歸算到高斯投影面將橢球面三角系歸算到高斯投影面 將橢球面元素歸

11、算到高斯投影面的主要內(nèi)容將橢球面元素歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容 1) 1) 將起始點(diǎn)將起始點(diǎn)P P的大地坐標(biāo)的大地坐標(biāo)( (L L，B)B)歸算為高斯平面直角歸算為高斯平面直角坐標(biāo)坐標(biāo)x,yx,y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x,yx,y反算反算B B，L L，這項(xiàng)工作統(tǒng)稱為高斯投影坐標(biāo)計(jì)算。這項(xiàng)工作統(tǒng)稱為高斯投影坐標(biāo)計(jì)算。 2) 2) 將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊相應(yīng)邊PKPK的坐標(biāo)方位角，這是通過計(jì)算該點(diǎn)的的坐標(biāo)方位角，這是通過計(jì)算該點(diǎn)的子子午線收斂角午線收斂角及及方向改化方向改化實(shí)現(xiàn)的。實(shí)現(xiàn)的。

12、 3)3)將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計(jì)算應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計(jì)算各方向的曲各方向的曲率改化率改化即方向改化來實(shí)現(xiàn)的。即方向改化來實(shí)現(xiàn)的。 4) 4) 將橢球面上起算邊將橢球面上起算邊PKPK的長度的長度S S歸算到高斯平面上的歸算到高斯平面上的直線長度直線長度s s。這是通過計(jì)算這是通過計(jì)算距離改化距離改化實(shí)現(xiàn)的。實(shí)現(xiàn)的。 主要計(jì)算工作：主要計(jì)算工作： 要將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標(biāo)、要將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標(biāo)、曲率改化、距離改化和子午線收斂角等項(xiàng)計(jì)算曲率改化、距離改化

13、和子午線收斂角等項(xiàng)計(jì)算工作。工作。 當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫?，以及為將各投?dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫?，以及為將各投影帶?lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的影帶聯(lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。鄰帶換算。 4.9.2正形投影的一般條件正形投影的一般條件 正形投影是地圖投影的一種，高斯投影又是正形投影中的一種。 高斯投影必須滿足正形投影的一般條件。 本節(jié)的任務(wù)是導(dǎo)出正形投影的一般條件，再加上高斯投影的特殊條件，從而為高斯投影坐標(biāo)的正反算公式推導(dǎo)創(chuàng)造條件。(L,B) (x,y)4.9.2正形投影的一般條件正形投影的一般條件 正形投影的本質(zhì)：在正形投影中長度比與方向無關(guān)正形投影的本質(zhì)：在

14、正形投影中長度比與方向無關(guān)（出發(fā)點(diǎn)）（出發(fā)點(diǎn)） 1.長度比的通用公式長度比的通用公式 22222222222cos)cos()cos()(dlBNMdBBNdydxBdlNMdBdydxdSdsmBNMdBdqcosBBNMdBq0cos令令q:等量緯度),(),(qlyyqlxx),(),(21BLFyBLFx2.柯西.黎曼條件 dldqrdlMdBPPPPA3132)90tan(Adqdltan如何使m與A脫離關(guān)系？在三角形P1P2P3中GEF , 0橢球面平面平面橢球面 在滿足F=0，E=G時(shí)，長度比公式可簡化為：3.柯西柯西.黎曼條件的幾何意義黎曼條件的幾何意義),(),(qlyyql

15、xxLyBNMBxcosLxBNMBycosLyBNMBxcos?mAB、AC分別是分別是L=常數(shù)和常數(shù)和常數(shù)的子午微分弧段常數(shù)的子午微分弧段和平行圈微分弧段；和平行圈微分弧段；是子午線收斂角。是子午線收斂角。BdlmNACmMdBABcos,dllydBBydydllxdBBxdx考慮當(dāng)考慮當(dāng)L、B分別為分別為常數(shù)時(shí)微常數(shù)時(shí)微分的表達(dá)分的表達(dá)式式考慮圖中各線段的表達(dá)式考慮圖中各線段的表達(dá)式4.9.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式高斯投影坐標(biāo)正反算公式 1.高斯投影坐標(biāo)正算公式高斯投影必須滿足以下三個條件：高斯投影必須滿足以下三個條件：(1)(1)中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后為直線；(2)

16、(2)中央子午線投影后長度不變；中央子午線投影后長度不變；(3)(3)投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。 由第一個條件可知，由于地球橢球體是一個旋轉(zhuǎn)橢球體，所以高斯投影必然有這樣一個性質(zhì)，即中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線。 x為l的偶函數(shù)，而y則為l的奇函數(shù)。 第三個條件第三個條件 qylxqxly和考慮等式成立的前提條件是什么？考慮等式成立的前提條件是什么？ m0=? 由第二條件可知，位于中央子午線上的點(diǎn)，投由第二條件可知，位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)該等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午應(yīng)該等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午弧長

17、，即當(dāng)弧長，即當(dāng)l=0時(shí)，由第二個條件可知，投影后的縱坐時(shí)，由第二個條件可知，投影后的縱坐標(biāo)應(yīng)等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長。標(biāo)應(yīng)等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長。 Xmx02.高斯投影坐標(biāo)反算公式高斯投影坐標(biāo)反算公式 在高斯投影坐標(biāo)反算時(shí)，原面是高斯平面，投影在高斯投影坐標(biāo)反算時(shí)，原面是高斯平面，投影面是橢球面，已知的是平面坐標(biāo)面是橢球面，已知的是平面坐標(biāo)(x,y)，要求的是要求的是大地坐標(biāo)大地坐標(biāo)(B，L)，相應(yīng)地有如下投影方程相應(yīng)地有如下投影方程同正算一樣，對投影函數(shù)提出三個條件：同正算一樣，對投影函數(shù)提出三個條件：(1)(1)x x坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對稱軸坐標(biāo)軸

18、投影成中央子午線，是投影的對稱軸(2)(2)x x軸上的長度投影保持不變；軸上的長度投影保持不變；(3)(3)正形投影條件。正形投影條件。 ),(),(21yxlyxB(1)x坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對稱軸坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對稱軸由于y值比橢球半徑小得多，因而可以將大地坐標(biāo)B及l(fā)展開為y的冪級數(shù)，再者由于是對稱投影，所以大地緯度B必然是y的偶函數(shù)，大地經(jīng)度l必是y的奇函數(shù)，因此期望得到下面的級數(shù)形式：(3)正形投影條件正形投影條件反算投影必須滿足柯西反算投影必須滿足柯西-黎曼條件黎曼條件由柯西由柯西.黎曼條黎曼條件件左式分別對左式分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù)，代求偏導(dǎo)數(shù)，代入下式

19、入下式等量緯度(2)x軸上的長度投影保持不變fBnB0由高斯投影第二個條件，當(dāng)y=0時(shí)，x=X，此時(shí)對應(yīng)的F點(diǎn)稱為底點(diǎn)，對應(yīng)緯度稱為底點(diǎn)緯度。3.高斯投影正反算公式的幾何解釋 正算時(shí)，已正算時(shí)，已知知B，L求求x,y。由于經(jīng)。由于經(jīng)差差l不大，因不大，因此公式可展此公式可展開為開為l的冪級的冪級數(shù)，并以已數(shù)，并以已知緯度知緯度B的的函數(shù)函數(shù)m作為作為其系數(shù)。其系數(shù)。當(dāng)l=0時(shí)，x=X;當(dāng)l0時(shí)，x=X+X子午線弧長計(jì)算式見P115公式4-101lByx,已知BBBBBXxyXxllyff,0000時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)可根據(jù)子午線弧長公式，可根據(jù)子午線弧長公式，解算底點(diǎn)緯度。解算底點(diǎn)緯度。實(shí)質(zhì)上是可

20、以直接根據(jù)實(shí)質(zhì)上是可以直接根據(jù)P點(diǎn)的點(diǎn)的x坐標(biāo)計(jì)算底點(diǎn)緯度。坐標(biāo)計(jì)算底點(diǎn)緯度。反算：反算：高斯投影的特點(diǎn) (1)當(dāng)當(dāng)l等于常數(shù)時(shí)，隨著等于常數(shù)時(shí)，隨著B的增加的增加x值增大，值增大，y值減??；又因，所以無值減小；又因，所以無論論B值為正或負(fù)，值為正或負(fù)，y值不變。這就是說，橢球面值不變。這就是說，橢球面上除中央子午線外，其他子午線投影后，均向上除中央子午線外，其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時(shí)還中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時(shí)還對稱于中央子午線和赤道。對稱于中央子午線和赤道。 (2)當(dāng)當(dāng)B等于常數(shù)時(shí)，隨著等于常數(shù)時(shí)，隨著l的增加，的增加，x值值和和y值都增大。所以在橢球

21、面上對稱于值都增大。所以在橢球面上對稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對稱的曲線，赤道的緯圈，投影后仍成為對稱的曲線，同時(shí)與子午線的投影曲線互相垂直凹向同時(shí)與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。兩極。(3)距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，長度變形也愈大。彎曲愈厲害，長度變形也愈大。4.9.4高斯投影坐標(biāo)計(jì)算的實(shí)用公式及算例高斯投影坐標(biāo)計(jì)算的實(shí)用公式及算例 1.高斯投影正算公式 2.高斯投影反算公式 3. 算例A001 22o1558”.98294 111o2852”.15387L0=111oWGS84 (6378137,298.257223563)A001

22、2463376.6502 49592.0721GDZ80 (6378140,298.257)A001 2463377.7973 49592.0955BJ54 (6378245,298.3)A001 2463420.5657 49592.90844.9.5平面子午線收斂角公式平面子午線收斂角公式 1平面子午線收斂角的定義 圖中：P、P N 、 P Q 分別是橢球面P點(diǎn)，過P點(diǎn)的子午線PN及平行圈PQ在高斯投影面上的描述。.2 公式推導(dǎo) 1）.由大地坐標(biāo)由大地坐標(biāo)L、B計(jì)算平面子午線收斂角計(jì)算平面子午線收斂角的公式的公式 ),(),(21BLFyBLFx在平行圈上，在平行圈上，B為常數(shù)，故為常數(shù)，

23、故dB=0據(jù)高斯投影正算公式：據(jù)高斯投影正算公式：544232422cossin)242(151cossin)231 (31sintanBlBttBlBtlB(1)為l的奇函數(shù)，而且l愈大，也愈大；(2)有正負(fù)，當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以東時(shí)，為正；在西時(shí)，為負(fù)；(3)當(dāng)l不變時(shí)，則隨緯度增加而增大。2.由平面坐標(biāo)由平面坐標(biāo)x,y計(jì)算平面子午線收斂角計(jì)算平面子午線收斂角的公式的公式 （自學(xué)內(nèi)容）（自學(xué)內(nèi)容）4.9.6方向改化公式 近似于球面的橢球面高斯平面當(dāng)大地線長度不大于當(dāng)大地線長度不大于10KM，y坐標(biāo)不大于坐標(biāo)不大于100KM時(shí)，可認(rèn)為時(shí)，可認(rèn)為a、b兩點(diǎn)兩點(diǎn)上的方向改化值相等。上的方向改化

24、值相等。視橢球?yàn)榍?.方向改化近似公式的推導(dǎo)方向改化近似公式的推導(dǎo)在球面上四邊形在球面上四邊形ABEDABED的內(nèi)角之和等于的內(nèi)角之和等于360360+ + 由于是等角投影，所以這兩個四邊形內(nèi)角之和應(yīng)該相等，由于是等角投影，所以這兩個四邊形內(nèi)角之和應(yīng)該相等，即即2方向改化較精密公式 仍視橢球?yàn)閳A球，經(jīng)推導(dǎo)得仍視橢球?yàn)閳A球，經(jīng)推導(dǎo)得 首先為計(jì)算方向改正的數(shù)值，必須預(yù)先知道點(diǎn)的平面坐標(biāo)。然而要精確知道點(diǎn)的平面坐標(biāo)，卻又要先算出方向改正值，所以這是一個矛盾。解決這個矛盾的辦法，就要采用逐次趨近計(jì)算。 令0.1，并設(shè)350km，x2-x1=10km，則得0.1km。概略坐標(biāo)計(jì)算至0.1km，即可滿足三等方向改化計(jì)算精度的要求 cCcbBbaAa)(cbaCBAcba180cba180CBAcba計(jì)算檢驗(yàn)式：計(jì)算檢驗(yàn)式：4.9.7距離改化公式 DsS1、 s與D的關(guān)系 vdsdDcossvdsD0cos221cosvvssdsvDs2)21 (202 當(dāng)取最大40，s=50km時(shí)，代