積分變換在化工自控中的應(yīng)用

1、積分變換在化工自控中的應(yīng)用自動(dòng)化、智能化是工業(yè)發(fā)展的方向。在工業(yè)自動(dòng)化控制中，有些 采集的運(yùn)行數(shù)據(jù)經(jīng)過模/數(shù)信號(hào)轉(zhuǎn)換后也往往是時(shí)域信號(hào)，而計(jì)算機(jī) 識(shí)別與計(jì)算的是頻域信號(hào)，這就涉及到時(shí) /頻信號(hào)轉(zhuǎn)換的問題了，加 之實(shí)際化工生產(chǎn)中，由于人員、工藝、設(shè)備等原因，造成工藝數(shù)學(xué)模 型復(fù)雜，采用普通的方法把實(shí)際工藝數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)字化處理與運(yùn)算異常 困難。在工程技術(shù)科學(xué)中，為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡單的運(yùn)算，人 們常采用變換的方法來達(dá)到目的。舉個(gè)簡單的例子，我們都知道，力口 減法運(yùn)算要比乘除法來的簡單，那如何將乘除法轉(zhuǎn)換為加減法呢？就 是采用對(duì)數(shù)變換。比如：利用ln MN =1 n M In N這樣就把乘法運(yùn)算

2、 變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算了。這只是一個(gè)簡單地例子。而現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中，由設(shè)備、工藝等轉(zhuǎn)化過 來的數(shù)學(xué)模型往往比較復(fù)雜，一般是采用微積分來決實(shí)際問題， 而計(jì) 算機(jī)運(yùn)算中常用求和取代積分（b（x）dx=0£ "）糾）、差分取代微分b八i 土NAf（）的方式來運(yùn)算微積分。這樣一來，一個(gè)涉及到數(shù)據(jù)采樣周期與數(shù)據(jù)離散化的問題就擺在面前了，或者說是時(shí)域信號(hào)變?yōu)轭l域信號(hào)，也可以通俗地理解為微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算的 問題。這就用到了積分變換。我們都知道，給定一個(gè)周期為 T的連續(xù)函數(shù)x（t），在滿足狄利克 雷條件的情況下，那么它可以表示為無窮級(jí)數(shù):x（t）= £町嚴(yán)（知.-（i為虛數(shù)單位）其中，

3、a-k可以按下式計(jì)算：毎=半卜.小鐘這就是傅里葉級(jí)數(shù)，而積分其實(shí)就是一種極限形式的求和算子而 已，若將周期函數(shù)的周期視為無限長，就能解決一些實(shí)際生產(chǎn)中非線 性設(shè)備、無周期工藝的問題了，故有：n=oo于是可以得到下面的傅里葉變換（傅氏變換）OCoo上式是將頻率域的函數(shù)F（ 3表示為時(shí)間域的函數(shù)f （t）的積分形式。 而連續(xù)傅里葉變換的逆變換為：邇）=廠叫）=舟/ %）宀3co即將時(shí)間域的函數(shù)f （t）表示為頻率域的函數(shù)F（ 3的積分。這就解決 了信號(hào)轉(zhuǎn)換的問題了。但是，以時(shí)間t為自變量的函數(shù)f （t）需要滿足在（-X, +X） 上絕對(duì)可積，即是滿足狄利克雷條件的連續(xù)函數(shù)， 許多生活生產(chǎn)中常 見的

4、初等函數(shù)都不滿足這一條件，比如：常數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式、正余弦 函數(shù)。而物理、線性控制等實(shí)際應(yīng)用中，許多函數(shù)在tV0時(shí)沒意義或者不需要考慮tV0的情況。另外還要考慮到設(shè)備自身的線性度、系統(tǒng)衰減率之類的問題，再加上外界對(duì)設(shè)備、系統(tǒng)的干擾(一般表現(xiàn) 為階躍擾動(dòng)、脈沖信號(hào)等)，依舊困難重重。于是便有了拉普拉斯變 換來解決這一問題。對(duì)于一個(gè)不滿足傅氏變換條件的函數(shù)(t)，乘以單位階躍函數(shù)u(t)J°,t<0!(單位階躍)，得到l1,t>0J-bo-boF®(t)u(t)=嚴(yán)(t)u(t)e3dt= f f(t)eJwtdt (其中 f (t)=®(t)u(t):0這

5、就解決了 t v0時(shí)函數(shù)無意義的問題了。為了回避f(t)在0,+上絕對(duì)可積的問題，我們可以考慮讓f(t)乘以一個(gè)在t - +乂時(shí)衰減速度很快的函數(shù)，即衰減函數(shù)0)，得到"bo"bo"boF(t)u(t)ej 二 皿歸一電血匕 二f(t)e，iw)tdt 二 f(t)edt (其中 s iw )000"bo可以簡寫做F(s)二L f (t)二f (t)e°dt ,這就是拉普拉斯變換，而S就是0拉普拉斯算子。寫到這里，可能有的同事就明白了，為什么一些智能設(shè)備說明書 或自動(dòng)化控制資料上，許多運(yùn)算器、執(zhí)行器的功能算法說明總是寫的 很簡單，算法公式常有S

6、,并標(biāo)注S為拉普拉斯算子了，其實(shí)就是進(jìn)行了拉氏變換，把算式化簡了HSLDLGIN: REALAV: REALKG' REAL0T: REAL0T: REALLGT: REALLGT： REALF面筆者展示一個(gè)工程實(shí)例吧，上圖為和利時(shí)DCS-MACS系統(tǒng)超前滯后功能模塊，其算法說明如下圖，其中S就是拉普拉斯算子了。運(yùn)用該模塊可對(duì)具有明顯超前/滯后環(huán)節(jié)的設(shè)備進(jìn)行前饋補(bǔ)償控制， 提高設(shè)備控制精度。詳細(xì)說明屈詢/滯后功能塊頻域原達(dá)為：AV(S)KG-乜"" INS). +LGTS其差分方程為;/TTV j! rtrtMF(K)= h KG -1N(K-KGIN(K-i)75

7、 + LOTTS + LGTTS + LGT那拉氏變換究竟在化工自控中如何解決實(shí)際問題的呢，下面筆者以一個(gè)常見的容器液位控制的例子說明下H吧。首先如左圖，是個(gè)工業(yè)上常見J!的單容水槽，不斷有水流入流出。流R入水量Q由進(jìn)水閥開度卩控制，流出水量Qo則由用戶根據(jù)需要通過負(fù) 載閥R來改變，故流出流量不確定。而我們要控制水槽內(nèi)液位 H穩(wěn)定。 當(dāng)水槽處于穩(wěn)定平衡工況時(shí)，有 H=H、C0i=Qoo。當(dāng)R開度不變，進(jìn)水 閥發(fā)生階躍變化AA時(shí)，有g(shù)=Qi-Qo、人Q°=Q-Coo、也H = H-Ho并 滿足物料平衡方程d 心H 11 AA一 八(Qi -Qo)CQ - Q) ( 1-1)dt FF式

8、(1-1 )中，F(xiàn)為水槽橫截面積。當(dāng)進(jìn)水閥前后壓差不變時(shí)，有流 量與閥門開度存在 g=k岸關(guān)系，"取決于進(jìn)水閥門的特性系數(shù)， 一般為常數(shù)。而流出閥流量與液位存在 Qk H關(guān)系，k為負(fù)載閥R的開度系數(shù)，R開度不變時(shí)為常數(shù)。經(jīng)過線性化后，我們可以得到kQ。： H ( 1-2)2 .Ho帶入（1-1 ）得d H I/ dtk2 H。.舊）移項(xiàng)得,7 仔（1-3）若水槽穩(wěn)定在平衡原點(diǎn)時(shí)，上式的增量符號(hào) 厶就可以去掉。于是可得到水位H變化與進(jìn)水閥開度之間傳遞函數(shù)的拉氏變換形式:G(s)二H(s) 叫s)K1 Ts(1-4)1h(t)二 K(1_e)(1-5)式中S為拉普拉斯算子，T為時(shí)間常數(shù)，

9、K為靜態(tài)增益，其中R=2 Ho，kT =RF二乙土 F，K乙出。而傳遞函數(shù)G（s）就是我們由實(shí)際問題kk提取出的數(shù)學(xué)模型經(jīng)過積分變換后得到的表達(dá)式。而式（1-4）就是 工業(yè)自控中常見的一階慣性系統(tǒng)。其階躍響應(yīng)為:所謂階躍響應(yīng)是指一個(gè)輸入變量的階躍變化引起系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。一階慣性系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為指數(shù)曲線，如左圖所示。但實(shí)際生產(chǎn)中，進(jìn)水閥到水槽間的管道長度往往不能忽略，這就存在一個(gè)純遲延環(huán)節(jié)，按照(1-4 )可得到具有純遲延的單容水槽的 微分方程為：TdH(t) +AH(t) = KAP(t_i) ( 1-6)dt.為純遲延時(shí)間。而拉氏變換具有如下性質(zhì)：Lf(t-r)=F(s)eT所以得到(1-6

10、 )對(duì)應(yīng)液位與閥門開度的傳遞函數(shù)為：G(s)k H(s)(1-7)這就是一階慣性遲延 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)了，它也是 化工行業(yè)中常見的系統(tǒng)。那 要是將兩個(gè)單容水槽串聯(lián) 起來，就組成了雙容水槽。 如右圖所示：雙容水槽的微分方程為:珂s)K1 Ts2TT2d號(hào)2+01+T2)坐也乜出=K也卩(1-8)dt2dt水槽2的液位H與水槽1的進(jìn)水閥開度有如下傳遞函數(shù)G(s):G(s)二：H2(s)*(s)KTT2s2 (T1 T2)s 1(1-9)式中，T1T2為水槽1、2的時(shí)間常數(shù)，K為雙容水槽的傳遞系數(shù)。經(jīng)過這樣一個(gè)過程，我們就能得到一個(gè)從設(shè)備源頭控制最終產(chǎn)品指標(biāo)的二 階數(shù)學(xué)模型了。如果我們將上述的單、雙容

11、水槽模型進(jìn)行變換，比如，將進(jìn)出水改為進(jìn)出物料，將水槽變?yōu)楣I(yè)生產(chǎn)中常見的罐、 爐、釜、窯等設(shè)備， 或者將液位控制變?yōu)閷?duì)物料的某一工藝指標(biāo)的控制，比如：溫度、壓 力、PH值等等，那就可以得到常見工業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備工藝模型了，即 便是較為復(fù)雜的工藝也可以分解為若干個(gè)簡單的模型進(jìn)行分析與控 制。當(dāng)然，一些特殊的工藝系統(tǒng)會(huì)涉及到其他的數(shù)學(xué)模型，此處筆者 不再做深入探討了。其實(shí)以上計(jì)算實(shí)際就是個(gè)從現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)到數(shù)學(xué)建模過程，可說了這么多，有的同事會(huì)覺得這些東西應(yīng)該是技術(shù)人員才需要掌握的吧，的確，自控技術(shù)人員會(huì)通過傳遞函數(shù)去分析生產(chǎn)系統(tǒng)，制定控制、報(bào)警 方案與操作規(guī)程，優(yōu)化工藝，從而提高產(chǎn)能并做到節(jié)能減排。但這不 意味著生產(chǎn)一線的職工可以完全不去了解這些， 因?yàn)檫@些東西其實(shí)就 是數(shù)學(xué)化的工藝，通過它們操作工能更好的了解設(shè)備的性能，優(yōu)化操作，在設(shè)備故障甚至發(fā)生生產(chǎn)事故時(shí)，能及時(shí)做出事故診斷與處理。筆者也是裕興生產(chǎn)一線的一名操作工， 干了四年鍋爐司爐，四年 前剛參加工作時(shí)，單位的鍋爐在我眼里就是一臺(tái)50米高設(shè)備，各種運(yùn)行數(shù)據(jù)就是些數(shù)字而已。而去年接觸DCS并開始學(xué)PID整定后，我 開始能透過屏幕上各項(xiàng)參數(shù)了解到各設(shè)備間微妙的內(nèi)在聯(lián)系，操作與事故處理時(shí)，能從全局的觀念去思考。而如今，我坐在鍋爐主控室電 腦前，卻隱約覺得有時(shí)看到的運(yùn)行參數(shù)竟成了一個(gè)個(gè)相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué) 算式，我已