控制工程基礎(chǔ)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與Z變換ppt課件

1、第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換二、采樣過(guò)程與采樣定理三、Z變換與Z反變換四、脈沖傳送函數(shù)五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析六、數(shù)字控制器與離散PID控制一、概述一、概述七、小結(jié)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換一、概述一、概述l 延續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 延續(xù)控制系統(tǒng)系統(tǒng)中各部分傳送的信號(hào)為隨時(shí)間延續(xù)變化的信號(hào)。延續(xù)控制系統(tǒng)通常采用微分方程描畫(huà)。 離散控制系統(tǒng)系統(tǒng)中某一處或多處的信號(hào)為脈沖序列或數(shù)字量傳送的系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)通常采用差分方程描畫(huà)。 第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 離散控制系統(tǒng)的分類(lèi) 采樣控制系統(tǒng)延續(xù)地對(duì)系統(tǒng)中某些變量進(jìn)展丈量和控制。sa 受某一信號(hào)控制，使其短暫接通后立刻斷開(kāi)。采樣開(kāi)關(guān)接通的時(shí)間間隔可

2、以相等，亦可不等，相等時(shí)稱(chēng)為均勻采樣。圖中，sa為采樣開(kāi)關(guān)或采樣器。G(s)H(s)xi(t)xo(t)sa (t)*p(t)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換延續(xù)信號(hào) (t)經(jīng)采樣開(kāi)關(guān)后成為離散信號(hào)*p(t)。該過(guò)程稱(chēng)為采樣，相應(yīng)離散控制系統(tǒng)稱(chēng)為采樣控制系統(tǒng)。t (t)0t0*p(t)采樣控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：采樣開(kāi)封鎖合時(shí)，系統(tǒng)處于閉環(huán)任務(wù)形狀，斷開(kāi)時(shí)處于開(kāi)環(huán)形狀。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換采樣控制最早出現(xiàn)于某些大慣性或具有較大滯后特性的對(duì)象控制中。例如，工業(yè)爐溫度控制系統(tǒng)。工業(yè)爐可以視為具有延遲時(shí)間 的慣性環(huán)節(jié)，其延遲時(shí)間可長(zhǎng)達(dá)數(shù)秒甚至數(shù)十秒，慣性時(shí)間常數(shù)也相當(dāng)大，采用常規(guī)控制無(wú)法處理控制精度與動(dòng)

3、態(tài)性能之間的矛盾，而采用采樣控制將獲得良好的控制效果：可以取較大的開(kāi)環(huán)增益保證穩(wěn)態(tài)精度，又可抑制系統(tǒng)調(diào)理過(guò)頭產(chǎn)生大幅振蕩。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 數(shù)字控制系統(tǒng)系統(tǒng)中含有數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字編碼元件。圖中，A/D：模擬信號(hào)至數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換器； D/A：數(shù)字信號(hào)至模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換器。被控對(duì)象H(s)xi(t)xo(t) (t)*(t)A/D計(jì)算機(jī)D/A第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q A/D轉(zhuǎn)換采樣x(t)模擬信號(hào)取樣信號(hào)s(t)0ts(t)xs(t)量化編碼數(shù)字信號(hào)x(n)0tx(t)0tx(nt)tt0qx(n)000001010011nx(nt)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 D/A轉(zhuǎn)換D/A轉(zhuǎn)換器

4、低通濾波器nx(n)tx(t)tx(t)x(n)x(t)x(t)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換被控對(duì)象H(s)xi(t)xo(t) (t)*(t)計(jì)算機(jī)堅(jiān)持器sam*(t)sbm(t)圖中，sa 與sb同步開(kāi)關(guān)。 堅(jiān)持器：實(shí)現(xiàn)信號(hào)復(fù)現(xiàn)。將離散信號(hào)恢 復(fù)為模擬信號(hào)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換t (t)0t0*(t)t0m*(t)t0m(t)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn) 采樣信號(hào)特別是數(shù)字信號(hào)可以有效抑制噪聲， 從而提高系統(tǒng)抗干擾才干； 由計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字控制器，控制規(guī)律由軟 件實(shí)現(xiàn)，易于改動(dòng)，控制靈敏，且效果優(yōu)于 延續(xù)式控制。 允許采用高靈敏度控制元件，提高控制精度。 可實(shí)

5、現(xiàn)分時(shí)控制假設(shè)干系統(tǒng)，提高設(shè)備利用率。 對(duì)大延遲系統(tǒng)可以引入采樣方式穩(wěn)定。 可以實(shí)現(xiàn)各種先進(jìn)控制方式。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 離散控制系統(tǒng)的研討方法 差分方程 z變換經(jīng)過(guò) z 變換處置后的離散系統(tǒng)，可以將延續(xù)系統(tǒng)的分析方法經(jīng)過(guò)適當(dāng)改動(dòng)運(yùn)用于離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。 形狀空間雖然采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)的構(gòu)成及部件存在根本區(qū)別，但其分析和設(shè)計(jì)方法一樣。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換二、采樣過(guò)程與采樣定理l 采樣過(guò)程sax(t)x*p(t)t0 x(t)t0t0T 2T 3T 4Tx*p(t)x*(t)設(shè) sa 每隔時(shí)間T接通一次，接通時(shí)間為 ，并滿(mǎn)足T 。 T 稱(chēng)為采樣周期。其倒數(shù)稱(chēng)為采樣

6、頻率。由于T ，故可近似以為在 時(shí)間間隔內(nèi)，輸出維持不變。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換從而：)2( 1)2( 1)2( )( 1)( 1)()( 1)( 1)0()(*TtTtTxTtTtTxttxtxp0)( 1)( 1)(nnTtnTtnTx0)( 1)( 1 )(nnTtnTtnTx當(dāng) T，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于離散系統(tǒng)延續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)時(shí)，可近似以為 0。從而有：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換00*)( 1)( 1 )(lim)(npnTtnTtnTxtx)( 1)( 1lim0nTtnTt1)( 1)( 1dtnTtnTt留意到：00*)()( )()()(nnpnTtnTxnTtnTxtx從而：

7、第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換0)()(nTnTtt)()()()()()()(00*ttxnTttxnTtnTxtxTnn令：sax(t)x*p(t)x*(t)可見(jiàn)，采樣過(guò)程可了解為脈沖調(diào)制過(guò)程，即延續(xù)輸入信號(hào) x(t) 對(duì)周期的理想脈沖載波信號(hào)進(jìn)展調(diào)制，調(diào)制后在nT 時(shí)辰的脈沖強(qiáng)度為x(nT)。)()(*txtxp留意到：因此，采樣開(kāi)關(guān)構(gòu)造圖可表示為：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換顯然由 X*(s)可以直接看出x*(t)的時(shí)間呼應(yīng)。但須留意，由于 x*(t) 只描畫(huà)了 x(t) 在采樣瞬時(shí)的數(shù)值，故 X* (s)不能給出 x(t)在采樣間隔之間的信息。此外也不能以為x*(t) 在采樣間隔內(nèi)數(shù)值

8、為0。上述分析過(guò)程中，假設(shè)了：x(t)=0，t 0，該條件對(duì)實(shí)踐控制系統(tǒng)通常都是滿(mǎn)足的。0*)()()(nnTsenTxtxLsX對(duì)x*(t) = x(t)T(t)進(jìn)展拉氏變換：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣定理x*(t)只給出了x(t)在時(shí)域的部分信息，為了能從x*(t)不失真地恢復(fù)出原始的延續(xù)信號(hào)x(t)，采樣間隔采樣頻率需求滿(mǎn)足一定的條件。時(shí)域采樣原始信號(hào)f = f0fs=8f0fs=4f0fs=2f0第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換由上述時(shí)域采樣圖形分析可見(jiàn)： 對(duì)單個(gè)延續(xù)正弦信號(hào)進(jìn)展采樣，采樣頻率不 能低于信號(hào)頻率的兩倍； 對(duì)多個(gè)正弦信號(hào)疊加組成的信號(hào)進(jìn)展采樣， 采樣頻率不能低于信號(hào)

9、中最高頻率的兩倍。sin2f0tsin14f0tsin2f0t+sin14f0t時(shí)域采樣：混疊fs= 8f0第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換工程中的延續(xù)信號(hào) x(t) 都可以經(jīng)過(guò)傅立葉級(jí)數(shù)或傅立葉變換展開(kāi)為多個(gè)或無(wú)窮個(gè)正弦信號(hào)分量的疊加，即信號(hào)的頻域描畫(huà)(頻譜)。如對(duì)周期為T(mén)0的信號(hào)x(t)，其傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)1000sincos)(nnntnbtnaatx為信號(hào)角頻率。002Tn為正整數(shù)。 其中：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換2/2/0000)(1TTdttxTa2/2/0000cos)(2TTndttntxTa2/2/0000sin)(2TTndttntxTb如非周期信號(hào)x(t)，其傅立葉變換對(duì)為

10、dfefXtxdtetxfXftjftj22)()()()(第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換根據(jù)前述時(shí)域采樣的分析，假設(shè)延續(xù)信號(hào) x(t) 不包含任何大于 max 的頻率分量(帶限信號(hào))，那么為了能從采樣信號(hào)x*(t)無(wú)失真地恢復(fù)出原始的延續(xù)信號(hào)x(t) ，采樣頻率s必需滿(mǎn)足： s 2max或：fs 2fmax此即為香農(nóng)采樣定理。實(shí)踐采樣時(shí)，fs常取為信號(hào)最高頻率的34倍。 第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 信號(hào)恢復(fù)x(t)t0X()0max-maxAT(t)t0T 2T3T4T5T6T|T()|0s-sx*(t)t0T 2T3T4T5T 6T|X*()|0s-sA/T)()()(*ttxtxT)(

11、)()(*TXX第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換由圖可見(jiàn)，采樣信號(hào)x*(t)的頻譜X*()是以采樣角頻率 s 為周期的無(wú)窮多個(gè)原延續(xù)信號(hào)x(t) 的頻譜 X() 幅值變化了1/T 倍，并沿頻率軸平移了ns后的和。n = 0處的頻譜稱(chēng)為采樣信號(hào)頻譜的主分量， ns (n 0) 處的頻譜為采樣引起的高頻輔助分量。易見(jiàn)，假設(shè)采樣信號(hào)x*(t) 滿(mǎn)足采樣定理，那么經(jīng)過(guò)截止頻率為s/2的理想低通濾波器可準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號(hào)x(t) 的頻譜 X()，即恢復(fù)出x(t)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換實(shí)踐濾波器不能夠具有理想的頻率截止特性，即理想濾波器是不存在的。工程中通常經(jīng)過(guò)堅(jiān)持器低通濾波器來(lái)恢復(fù)延續(xù)信號(hào)x(t)

12、。 堅(jiān)持器數(shù)學(xué)描畫(huà)從采樣過(guò)程可知，在采樣時(shí)辰上，脈沖序列的脈沖強(qiáng)度等于延續(xù)信號(hào)的幅值，但在兩個(gè)相鄰的采樣時(shí)辰之間，延續(xù)信號(hào)的幅值未知，只能根據(jù)采樣時(shí)辰的脈沖強(qiáng)度進(jìn)展插值或外推。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換堅(jiān)持器就是實(shí)現(xiàn)外推功能的一種安裝?？梢晕锢韺?shí)現(xiàn)的堅(jiān)持器只能根據(jù)如今時(shí)辰和過(guò)去時(shí)辰的采樣值完成外推，而不能根據(jù)未來(lái)時(shí)辰的采樣值完成外推。堅(jiān)持器的外推規(guī)律通常用多項(xiàng)式關(guān)系描畫(huà)：mmtatataatnTx)()()(2210其中，0tT。系數(shù) a0am 由過(guò)去m+1個(gè)采樣值x*(n-m)T x*(nT)確定。 m稱(chēng)為堅(jiān)持器的階次。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 零階堅(jiān)持器零階堅(jiān)持器的外推公式為：Ttn

13、TxnTxatnTx0),()()(*0即零階堅(jiān)持器按常值外推，將前一采樣時(shí)辰nT 的采樣值 x*(nT)不斷堅(jiān)持到下一采樣時(shí)辰(n+1)T 到來(lái)之前，從而使離散采樣信號(hào) x*(t)變成階梯延續(xù)信號(hào)xh(t)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換txh(t) x(t)0T2T 3T4T5T 6T 7Tx(t)xh(t)假設(shè)將上述階梯信號(hào)xh(t)的中點(diǎn)銜接起來(lái)，即可得到與延續(xù)信號(hào) x(t)外形一致但滯后半個(gè)采樣周期的呼應(yīng)x(t -T/2)。留意到：0) 1(1)( 1)()(nhTntnTtnTxtx第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換假設(shè)思索堅(jiān)持器串接于采樣器之后，并思索堅(jiān)持器的輸入為x*(t)，即將采樣器

14、中的思索到堅(jiān)持器中去：00)1()(1 )()()(nnTsTsnTsnnTshhenTxseseenTxtxLsXsax(t)x*p(t)x*(t)零階堅(jiān)持器xh(t)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換從而由：0*)()(nnTsenTxsX0*)()()(nnTtnTxtx可得結(jié)合后零階堅(jiān)持器的傳送函數(shù)：sesGTsh1)(因此，分析采樣控制系統(tǒng)時(shí)，假設(shè)堅(jiān)持器的傳送函數(shù)表示為上述方式，那么采樣信號(hào)將直接表示為x*(t)，而不用思索 的影響。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換T0-22/T4/T 6/T|Gh(j)|Gh(j)零階堅(jiān)持器的頻率特性：2/2/2/2/2/)2/sin( 1)(TjTjTjT

15、jTjheTTTjeeejejG第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換零階堅(jiān)持器的特點(diǎn)：q 非理想的低通濾波器。允許部分高頻分量q 經(jīng)過(guò)，導(dǎo)致恢復(fù)出的延續(xù)信號(hào)存在紋波。q 時(shí)間延遲特性。延遲時(shí)間為 T/2 ，使系統(tǒng)q 相角滯后加大，對(duì)穩(wěn)定性不利。相位滯后是各階堅(jiān)持器的共性，與一階及高階堅(jiān)持器相比，零階堅(jiān)持器具有最小的相位滯后，且構(gòu)造簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，因此，實(shí)踐系統(tǒng)普遍采用零階堅(jiān)持器。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l Z變換三、Z變換與Z反變換思索延續(xù)信號(hào)x(t) (x(t)=0，t0)的z變換。解：解：111 1)(112210zeezzzezezezetxZaTaTaTaTaTnnanT根據(jù)定義求得的z變

16、換為無(wú)窮級(jí)數(shù)方式，對(duì)于常用函數(shù)z變換的級(jí)數(shù)方式，都可以寫(xiě)出其閉合方式。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換z變換的無(wú)窮級(jí)數(shù)方式具有明顯的物理意義：z-n (n = 0, 1, 2, )的系數(shù)直接表示延續(xù)時(shí)間函數(shù)在各采樣時(shí)辰上的采樣值，而指數(shù)n表示從t = 0開(kāi)場(chǎng)，以采樣周期T為間隔的各個(gè)采樣時(shí)辰nT。因此，z變換含有時(shí)間的概念，可由延續(xù)函數(shù)z變換的無(wú)窮級(jí)數(shù)方式清楚地看出其在各采樣時(shí)辰上的采樣序列的分布情況。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 部分分式法步驟： 求知延續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)； 將X(s) 展開(kāi)為部分分式方式，使每一部分 分式對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)，求得其相應(yīng)的 z 變換；將各部分的

17、z 變換相加獲得x(t)的z變換。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例4 知延續(xù)函數(shù)的拉氏變換： 求相應(yīng)的z變換。)()(assasXaTaTaTaTatezezezezzzzeZtZtxZzX)1 ()1 ( 1)( 1 )()(2解：解：assassasX11)()(atetx1)(第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例5 求 x(t) = sint 的z變換。解：解：jsjsjssX1121)(22jsjsjZzX1121)(TjTjezzezzj211cos2sin1)()(2122TzzTzeezzeezjTjTjTjTj第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 留數(shù)計(jì)算法nrpssMsXiiirii)()

18、()(假設(shè)知：ipssTrirriipssTiiiiiezzsXpsdsdrezzsXreszX)()()!1(1 )()(11那么：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例6 求單位速度函數(shù)x(t) = t (t 0)的z變換。解：解：21)(ssXp1 = 0，r1 = 2nipssTrirriiiiiezzsXpsdsdrzX111)()()!1(1)(0221)!12(1ssTezzssdsd202) 1()(zTzezTzessTsT第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 其它方法例7 求 x(t) = cost 的z變換。解：解：tjtjeet21cosTjTjtjtjezzezzeZeZzX212

19、1)(1cos2)cos(2TzzTzz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例8 求單位階躍函數(shù)的z變換。解：由于解：由于)0(lim)( 10tetata1lim lim)( 100zzezzeZtZaTaata第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 z變換的性質(zhì)q 線(xiàn)性性q Zax1(t)+bx2(t) = aZx1(t)+bZx2(t)q 其中a、b為常數(shù)。q 時(shí)域位移定理)()(zXzkTtxZk10)()()(knnkznTxzXzkTtxZ其中k為正整數(shù)。滯后定理超前定理第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換nnzkTnTxkTtxZ0)()(證明：證明：)(0)(knnkzTknxzknmzmTxzmkmk

20、)()(zXzk當(dāng)m0時(shí)，x(mT)=0mmkzmTxz0)(第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換nnzkTnTxkTtxZ0)()()(0)(knnkzTknxzknmzmTxzmkmk)(mkmmmkzmTxzmTxz100)()(10)()(knnkznTxzXz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 復(fù)域位移定理)()(zeXtxeZaTatq 初值定理00)()(lim)0(tiftxzXxzq 終值定理)() 1(lim)(lim)(1zXznTxxzn假設(shè)x(nT) (n = 0, 1, 2, ) 均為有限值，那么：x(nT) (n = 0, 1, 2, ) 均為有限值也可表述為：(z-1)X(

21、z)的全部極點(diǎn)位于z平面的單位圓內(nèi)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換證明：證明：0)() 1()()(nnznTxTnxtxTtxZ)0()() 1()()(zxzXztxTtxZ又由時(shí)域位移定理：即：0)() 1()0()() 1(nnznTxTnxzxzXz因此：00111)() 1()() 1(lim)0()() 1(lim)0()() 1(limnnnzzznTxTnxznTxTnxxzXzzxzXz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換NnNnnTxTnxnTxTnx00)() 1(lim)() 1(留意到：所以：存在若)(lim)() 1(lim)(lim)(1txzXztxxtzt)0()(l

22、im)0() 1(limxtxxTNxtN第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 卷積定理x(nT)與y(nT)離散卷積定義為：00)()( )()()()(kkkTyTknxTknykTxnTynTx那么：)()()()(zYzXnTynTxZ第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換證明：證明：00)()()()(nnkkznTyzYzkTxzX000)()( )()()()(knnkkzTknykTxzYzkTxzYzX時(shí)域位移定理00)()(nnkzTknykTx)()()()(0nTynTxZznTynTxnn第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l Z反變換x(nT) = Z-1X(z)Z反變換的信號(hào)序列仍是單邊

23、的，即當(dāng)n0后，該極點(diǎn)消逝。5 . 0)2)(1(1)(001zznzzzzzXres當(dāng)n=0時(shí)：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換322) 1( )() 1()(111111znznznzzzzzXzzzXresnznznznzzzzzXzzzXres)2(311) 1( )()2()(212121第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換所以：6131325 . 0)0(x, 3, 2, 1)2(3132)(nnTxn01*)()2(3132)(5 . 0 )()2(3132)(61)(nnnnnTttnTtttx第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 Z變換及反變換只反映X(z)與x*(t)間的關(guān)系；l 關(guān)于Z變換與

24、反變換的闡明對(duì)于延續(xù)時(shí)間函數(shù)而言，Z變換及Z 反變換都不是獨(dú)一的。 為了全面描畫(huà) Z 反變換后x*(t)的函數(shù)特性， 可以令采樣周期T0。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程 微分與差分tx(t)0t t+dtdx(t)nx(n)0n-1 n n+1x(n)x(n)微分：dx(t) = x (t)dt一階前向差分：x(n) = x(n+1) - x(n)一階后向差分：x(n) = x(n) - x(n-1)省略采樣周期T第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 高階差分二階前向差分： 2x(n) = x(n) = x(n+1) - x(n) = x(n+2) - 2x(n+1) +

25、x(n)二階后向差分： 2x(n) = x(n) = x(n) - x(n-1) = x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)k階前向差分： kx(n) = k-1x(n+1) - k-1x(n)k階后向差分： kx(n) = k-1x(n) - k-1x(n-1)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 前向差分 差分的Z變換Zx(n) = Zx(n+1) - x(n) = (z - 1)X(z) - zx(0)Z2x(n) = (z - 1)2X(z) - z(z - 1)x(0) - zx(0)101)0() 1()() 1()(nrrrnkkxzzzXznxZ)0()0(0 xx其中：Z變

26、換中因子(z - 1)與拉氏變換中s的作用一樣。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 后向差分0 0)()(1)(tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(22tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(tiftxzXzznxZkk第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程 微分與差分tx(t)0t t+dtdx(t)nx(n)0n-1 n n+1x(n)x(n)微分：dx(t) = x (t)dt一階前向差分：x(n) = x(n+1) - x(n)一階后向差分：x(n) = x(n) - x(n-1)省略采樣周期T第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 高階差分二階前向差分： 2x(n)

27、 = x(n) = x(n+1) - x(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)二階后向差分： 2x(n) = x(n) = x(n) - x(n-1) = x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)k階前向差分： kx(n) = k-1x(n+1) - k-1x(n)k階后向差分： kx(n) = k-1x(n) - k-1x(n-1)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 前向差分 差分的Z變換Zx(n) = Zx(n+1) - x(n) = (z - 1)X(z) - zx(0)Z2x(n) = (z - 1)2X(z) - z(z - 1)x(0) - zx(0)101)

28、0() 1()() 1()(nrrrnkkxzzzXznxZ)0()0(0 xx其中：Z變換中因子(z - 1)與拉氏變換中s的作用一樣。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 后向差分0 0)()(1)(tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(22tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(tiftxzXzznxZkk第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 差分方程)()()(txtydttdy例：微分方程的離散化dtTTnTyTnydtndtydtndtydttydttydttdy)() 1( )()()()()()()()() 1(nTxnTyTnTyTny)()(1) 1(nTxTnTyTTny差分

29、方程)()() 1(00nxbnyany第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換普通，n階離散系統(tǒng)的前向差分方程為：)() 1() 1()()() 1() 1()(11011kxbkxbmkxbmkxbkyakyankyankymmnn初始條件為：y(i) = yi (i = 0 n-1) x(i) = xi (i = 0 m-1)n階離散系統(tǒng)的后向差分方程為：)() 1() 1()()() 1() 1()(11011mkxbmkxbkxbkxbnkyankyakyakymmnn初始條件為： y(k) = x(k) = 0 (k0)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 差分方程的求解q 迭代法根據(jù)給定的初值，利

30、用差分方程的遞推關(guān)系，迭代求出輸出序列。例1 知差分方程 y(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = x(k)輸入序列x(k)1，初始條件為y(k) = 0 ( k 0)，求輸出y(k) (k05)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換解：解：y(k) x(k) + 5y(k-1) - 6y(k-2)y(0) x(0) + 5y(-1) - 6y(-2) = 1y(1) x(1) + 5y(0) - 6y(-1) = 6y(2) x(2) + 5y(1) - 6y(0) = 25y(3) x(3) + 5y(2) - 6y(1) = 90y(4) x(4) + 5y(3) - 6y(2) = 3

31、01y(5) x(5) + 5y(4) - 6y(3) = 966第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q Z變換法對(duì)差分方程兩端取Z變換，利用時(shí)域位移定理，得到關(guān)于z 的代數(shù)方程，求得Y(z)后，經(jīng)過(guò)Z反變換得到輸出序列y(k)。例2 知差分方程 y(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = x(k)輸入序列x(k)1，初始條件為y(k) = 0 ( k 0)，求輸出y(k) 。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換解：對(duì)方程兩端進(jìn)展解：對(duì)方程兩端進(jìn)展Z變換：變換：Zy(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = Zx(k)Y(z) 5z-1Y(z) + 6z-2Y(z) = X(z)(6511)(21z

32、XzzzY) 3)(2)(1(165322zzzzzzzzz35 . 42415 . 0zzzzzz. 2, 1, 0,)3(5 . 4)2(45 . 0)(kkykk第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例3 知差分方程 y(k+2) 5y(k +1) + 6y(k) = 0初始條件為y(0) = 0，y(1) = 1，求輸出y(k)。解：對(duì)方程兩端進(jìn)展解：對(duì)方程兩端進(jìn)展Z變換：變換：Zy(k+2) 5y(k +1) + 6y(k) = 00)(6)0(5)(5) 1 ()0()(22zYzyzzYzyyzzYzzzyyyzzYzz)0(5) 1 ()0()()65(223265)(2zzzzzzzz

33、Y, 2, 1, 0,32)(kkykk第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換四、脈沖傳送函數(shù)l 脈沖傳送函數(shù)的定義G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)s1和s2為同步采樣器。脈沖傳送函數(shù)：零初始條件下，輸出采樣信號(hào)xo*(t)的z變換與輸入采樣信號(hào)xi*(t)的z變換之比。記為：00)()()()()(kkikkoiozkTxzkTxzXzXzG第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換零初始條件：xo(t) = xi(t) = 0 (t0) 或：xo(kT) = xi(kT) = 0 (k0)實(shí)踐系統(tǒng)的輸出往往是延續(xù)信號(hào)，即采樣開(kāi)關(guān)s2不存在，此時(shí)，可以在輸出端虛設(shè)一采樣開(kāi)關(guān)，并使

34、其與輸入采樣開(kāi)關(guān)s1同步，以調(diào)查延續(xù)輸出在各采樣時(shí)辰的形狀。G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 脈沖傳送函數(shù)的意義前述知，對(duì)線(xiàn)性延續(xù)系統(tǒng)，輸出y(t)與輸入x(t)之間滿(mǎn)足：ttdtgxdtxgtxtgty00)()()()()()()(式中，當(dāng)t 0時(shí)，g(t) = x(t) = 0。 g(t)L-1G(s)為系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)函數(shù)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換對(duì)圖示采樣系統(tǒng)，直接作用于系統(tǒng)延續(xù)部分的信號(hào)為：G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)0*)()()(niinTtnTxtx從而：)()()(*

35、txtgtxio第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換因此，輸出量在采樣時(shí)辰的值為：tniodnTnTxtgtx00)()()()(即：00)()()(ntidnTtgnTx0)()(ninTtgnTxkninioTnkgnTxnTkTgnTxkTx00)()()()()()()(kTgkTxig(t)=0, if t0第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換即脈沖傳送函數(shù)為系統(tǒng)單位脈沖呼應(yīng)序列g(shù)(kT)的z變換。通常簡(jiǎn)記為：從而：)()()(zGzXzXio0)()()()()(kkiozkTgkTgzzXzXzGG(z) = Zg(t) = ZL-1G(s) = ZG(s)需留意：zssGzG)()(zTssG

36、zGln1)()(第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換)() 1() 1()()() 1() 1()(11011mkxbmkxbkxbkxbnkxankxakxakximimiiononoo假設(shè)系統(tǒng)差分方程為：那么當(dāng)y(k)=x(k)=0 (k0)時(shí)，兩端進(jìn)展z變換可得：knioTnkgnTxkTx0)()()(由于：即xo(kT)為不同時(shí)辰的輸入脈沖經(jīng)過(guò)g(k-n)T加權(quán)后的和，因此，g(kT)通常稱(chēng)為加權(quán)序列。niininmjjnjniiimjjjiozazzbzazbzXzXzG10101)()()(第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換假設(shè)系統(tǒng)差分方程為：niininmjjmjiozazzbzXzXzG

37、10)()()()() 1() 1()()() 1() 1()(11011kxbkxbmkxbmkxbkxakxankxankximimiiononoo當(dāng)y(0) = y(1) = = y(n-1) = 0， x(0) = x(1) = = x(m-1) = 0時(shí)，兩端進(jìn)展z變換可得：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的脈沖傳送函數(shù)離散系統(tǒng)中環(huán)節(jié)相互串聯(lián)時(shí)，由于采樣開(kāi)關(guān)的位置和數(shù)目不同，求得的等效脈沖傳送函數(shù)也不一樣。 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3為同步采樣器。第六章 線(xiàn)性

38、離散系統(tǒng)與z變換)()()()(1121sGZzXzXzG)()()()(222sGZzXzXzGo因此：)()()()()()()()()(212121zGzGzXzXzXzXzXzXzGoo即當(dāng)兩環(huán)節(jié)之間存在采樣開(kāi)關(guān)時(shí)，等效脈沖傳送函數(shù)等于兩環(huán)節(jié)脈沖傳送函數(shù)的乘積。同理： n 個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)時(shí)，假設(shè)相鄰環(huán)節(jié)間均存在同步采樣器，那么等效脈沖傳送函數(shù)等于 n 個(gè)環(huán)節(jié)脈沖傳送函數(shù)的乘積。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣器G1(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G2(s)s1、s2為同步采樣器。)()()()()()(2121zGGsGsGZzXzXzG

39、io與G1(z)G2(z)相區(qū)別即當(dāng)兩環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)時(shí)，等效脈沖傳送函數(shù)等于兩環(huán)節(jié)傳送函數(shù)相乘后相應(yīng)的脈沖呼應(yīng)函數(shù)的z變換。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3為同步采樣器。例1 知采樣系統(tǒng)方框圖如下：其中：1101)(1ssG151)(2ssG比較有s2與無(wú)s2時(shí)，系統(tǒng)的脈沖傳送函數(shù)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換解：解：1有有s2時(shí)時(shí))()()()()(2121sGZsGZzGzGzG1511101sZsZTTezzezz2 . 01 . 02 . 01 . 0)(02. 0

40、2 . 01 . 02TTezezz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換2無(wú)s2時(shí))()()()(2121sGsGZzGGzG1511101ssZTTezzezz2 . 01 . 02 . 0)()(2 . 02 . 01 . 02 . 01 . 0TTTTezezeez顯然，G1(z)G2(z) G1G2(z)。雖然如此，易見(jiàn)采樣開(kāi)關(guān)只影響脈沖傳送函數(shù)的零點(diǎn)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例2 知采樣系統(tǒng)方框圖如下：其中：sesGsTh1)()()(1assasG求系統(tǒng)的脈沖傳送函數(shù)。Gh(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G1(s)s1、s2為同步采樣器。第六章 線(xiàn)性離

41、散系統(tǒng)與z變換解：此系統(tǒng)為有零階堅(jiān)持器的系統(tǒng)。解：此系統(tǒng)為有零階堅(jiān)持器的系統(tǒng)。)()()()(11sGsGZzGGzGhh )(11sGseZsTssGessGZsT)()(11ssGeZssGZsT)()(11由于e-sT為延遲一個(gè)采樣周期的延遲環(huán)節(jié)，因此，e-sTG1(s)/s對(duì)應(yīng)的時(shí)域輸出比 G1(s)/s 對(duì)應(yīng)的時(shí)域輸出延遲了一個(gè)采樣周期。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換)(121assaZzasasasZz11111121aTezzazzazTzz111) 1(121)() 1()1 (1) 1(2aTaTaTezzaeaTzaTessGZzzG)(1)(11根據(jù)z變換的時(shí)域滯后定理，有

42、：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳送函數(shù)由于采樣器位置可變，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)沒(méi)有獨(dú)一的構(gòu)造圖方式。思索常見(jiàn)的偏向采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)：(t)*(t)xo(t)xo*(t)s1s3(z)G(s)s1s4為同步采樣器H(s)b(t)xi*(t)b*(t)s2s4xi(t)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換由圖可知：Xo(s) G(s)*(s)B(s) H(s)Xo(s)(s)Xi(s) - B(s) = Xi(s) - H(s)G(s)*(s)兩邊取z變換：(z)Xi(z) - HG(z)(z)G(s)*(s)* = G*(s)*(s)因此：)()(11)(zXzGHzi)()(1)()()

43、()(zXzGHzGzzGzXio第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換輸入作用下的偏向脈沖傳送函數(shù)為：)(11)()()(zGHzXzzie與延續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似，閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程定義為：D(z) 1 + GH(z) = 0其中， GH(z) 為該閉環(huán)離散系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳送函數(shù)。所以，閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)為：)(1)()()()(zGHzGzXzXzio第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換需留意：)()(),()(sZzsZzee采用上述類(lèi)似分析方法，可求得采樣器位于其它位置時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)。但只需偏向信號(hào) (t) 處無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，那么輸入信號(hào)xi*(t) (包括虛擬的xi*(t) )便無(wú)法獲得，從而不能夠獲

44、得閉環(huán)離散系統(tǒng)對(duì)輸入量的脈沖傳送函數(shù)，雖然如此，仍有能夠求出輸出采樣信號(hào)的 z 變換Xo(z)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例如 思索如下閉環(huán)離散系統(tǒng)：Xo(s) G(s)(s)，(s)Xi(s) - H(s)Xo*(s)(t)xo(t)xo*(t)s3G(s)H(s)xi(t)s1xo*(t)Xo(s) G(s)Xi(s) - G(s)H(s)Xo*(s)Xo(z)XiG(z) - GH(z)Xo(z)(1)()(zGHzGXzXio第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程分析根本方法：z反變換法求輸出序列xo*(t)。 單位階躍呼應(yīng)例1：求圖示系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)，其中采樣周期T

45、= 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)ses1) 1(1ss第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換解：解：)(1)()(1)()()()(zGzGzGHzGzXzXzio)1(1)1 ()1(11)(21ssZzssseZzGsT)368. 0)(1(264. 0368. 0)(1()1 (1) 1(zzzezzeTzTeTTT1632. 0264. 0368. 0)()()(2zzzzzzXzzXio632. 0264. 0368. 0)(2zzzz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換32121632. 0632. 121264. 0368. 0zzzzz87654321868. 0802. 089

46、5. 0147. 14 . 14 . 1368. 0zzzzzzzz按照采樣點(diǎn)估算的近似性能目的：tr2stp4sts12sMp40%t (sec)xo*(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151600.20.40.60.811.21.41.6第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 采樣器與堅(jiān)持器對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響思索上例，假設(shè)無(wú)采樣器與堅(jiān)持器，那么系統(tǒng)為延續(xù)二階系統(tǒng)，閉環(huán)傳送函數(shù)為：11)(2sss假設(shè)無(wú)采樣器，只需堅(jiān)持器，閉環(huán)傳送函數(shù)為：sTsTesses11)(23第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換假設(shè)只需采樣器，無(wú)堅(jiān)持器，閉環(huán)脈沖傳送函數(shù)為：)368. 0)(1(632.

47、0) 1(1)(zzzssZzG368. 0736. 0632. 0)(1)()(2zzzzGzGz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換Step Responset (sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo(t), xo*(t)延續(xù)系統(tǒng)無(wú)采樣器無(wú)堅(jiān)持器采樣堅(jiān)持 采樣器使系 統(tǒng)快速性提 高，穩(wěn)定性 降低；但對(duì) 大延遲系統(tǒng)， 適中選擇采 樣周期可提 高穩(wěn)定性。 堅(jiān)持器使系統(tǒng)快速性和穩(wěn)定性均降低。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 采樣周期對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響Step Responset (sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo*

48、(t)T = 1sT = 0.5sT = 0.1s延續(xù)系統(tǒng)采樣周期越大，快速性改善越好，但超調(diào)越大。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)沒(méi)有獨(dú)一的典型構(gòu)造，給不出一致的誤差脈沖傳送函數(shù)方式，因此，其穩(wěn)態(tài)誤差需求針對(duì)不同方式的離散系統(tǒng)進(jìn)展求取。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常利用 z 變換的終值定理進(jìn)展求解，所獲得的誤差是離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)的誤差。離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差除與系統(tǒng)本身的構(gòu)造、參數(shù)及輸入方式有關(guān)外，還與采樣周期 T 有關(guān)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例1： 求圖示系統(tǒng)在單位階躍、單位速度以及單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，其中采樣周期T = 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(

49、s)ses1) 1(1ss第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換解：圖示系統(tǒng)為單位反響系統(tǒng)，誤差信號(hào)等解：圖示系統(tǒng)為單位反響系統(tǒng)，誤差信號(hào)等于偏向信號(hào)，從而，可求得輸入作用下的誤于偏向信號(hào)，從而，可求得輸入作用下的誤差脈沖傳送函數(shù)為：差脈沖傳送函數(shù)為：)(11)(11)()()()()(zGzGHzXzzXzEziie)368.0)(1(264.0368.0)1(11)(zzzssseZzGsT632. 0368. 0368. 1)()()(22zzzzzXzEzie第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換)(632. 0368. 0368. 1)(22zXzzzzzEi1單位階躍輸入時(shí)1632. 0368. 03

50、68. 1)(22zzzzzzzE0632. 0368. 0368. 1lim )() 1(lim)(2211zzzzzzEzezz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換2單位速度輸入時(shí)22211) 1(632. 0368. 0368. 1) 1(lim )() 1(lim)(zzzzzzzzEzezz22) 1() 1()(zzzTzzXi) 1)(632. 0()368. 0368. 1(lim221zzzzzzz1632. 143368. 0736. 23lim221zzzzz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換3單位加速度輸入時(shí)22211) 1(2) 1(632. 0368. 0368. 1lim )(

51、) 1(lim)(zzzzzzzzEzezz332) 1(2) 1() 1(2) 1()(zzzzzzTzXi2221) 1)(632. 0(2)368. 0368. 1)(1(limzzzzzzzz264. 2264. 794368. 02104. 14lim2123231zzzzzzz第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換 離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)離散系統(tǒng)的型別按照開(kāi)環(huán)脈沖傳送函數(shù)所具有的 z1的極點(diǎn)數(shù)v 進(jìn)展劃分。與延續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似， v0，1，2，的系統(tǒng)分別稱(chēng)為0型、I型、II型系統(tǒng)等。思索常見(jiàn)的偏向采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)：(t)*(t)xo(t)s1G(s)H(s)xi(t)第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z

52、變換q 穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)1)(zzzXi)(1lim1)(1lim 1)(11) 1(lim)(111zGHzGHzzzzGHzezzz)(1lim1zGHKzppKe1)(第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)2) 1()(zTzzXi)() 1(lim)(1) 1(lim 1)(11lim)(111zGHzTzGHzTzzTzzGHezzz)() 1(lim1zGHzKzvvKTe)(第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換q 穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)32) 1(2) 1()(zzzTzXi)() 1(lim)(1) 1(2) 1(lim ) 1(2) 1()(11lim)(212221221zG

53、HzTzGHzzzTzzzTzGHezzz)() 1(lim21zGHzKzaaKTe2)(第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析l s平面到z平面的映射TjTTjsTeeeez)(TzezTarg,|顯然：01|01|01|zzz即z平面上的單位圓對(duì)應(yīng)s平面的虛軸，單位圓內(nèi)部對(duì)應(yīng)左半s平面，外部對(duì)應(yīng)右半s平面。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換ReImsReImz00z1-/T/T3/T-3/T1第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換留意到argz = T，假設(shè) = 0，當(dāng)由-/T至/T變化時(shí)，z平面上的相應(yīng)點(diǎn)從-逆時(shí)針變換到 (逆時(shí)針轉(zhuǎn)一圈)。通常將-/T/T稱(chēng)為主頻帶。當(dāng)由/T至3/T變化

54、時(shí)， z平面上相應(yīng)點(diǎn)再次逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一圈。因此， 由-至變化時(shí)，z平面上的相應(yīng)點(diǎn)沿單位圓轉(zhuǎn)過(guò)無(wú)窮圈。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的一切特征根 zi 1 (i = 1, 2, 3, , n)均位于 z 平面的單位圓內(nèi)，即|zi| 1。l 運(yùn)用勞斯判據(jù)判分別散系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯判據(jù)只能用來(lái)判別復(fù)變量 s 的代數(shù)方程的根能否在虛軸的左面，不能判別特征根的模能否小于 1。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換思索如下的雙線(xiàn)性變換w變換1111zzworwwz為此，需求對(duì)離散系統(tǒng)的特征方程進(jìn)展坐標(biāo)變換，將 z 平面的單位圓映射為另一復(fù)平面的虛軸，單

55、位圓內(nèi)部映射到該平面虛軸的左面。令z = x + jy，w = u + jv ，那么：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換222222) 1(2) 1(1 11yxyjyxyxjyxjyxjvuw2222) 1(1yxyxu顯然：1|101|101|10222222zyxifuzyxifuzyxifu留意到：第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換ReImwReImz00z1即雙線(xiàn)性變換將 z 平面的單位圓映射到 w 平面的虛軸，單位圓內(nèi)部映射到 w 平面虛軸的左面。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換1111zzworwwz雙線(xiàn)性變換w變換也可采用：例1：分析圖示系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍，其中采樣周期T = 1s。Xi(

56、s)*(s)Xo(s)s1(s)sesT1)2( ssK第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換解：由系統(tǒng)構(gòu)造圖有：解：由系統(tǒng)構(gòu)造圖有：)(1)()(1)()()()(zGzGzGHzGzXzXzio)2()1 ()(21ssKZzzG225. 025. 05 . 0)1 (21sssZzK TezzzzzTzzzK2225. 0125. 0) 1(5 . 01)(1(4)21 (1) 12(222TTTezzeTzTeK第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換系統(tǒng)特征方程為：1G(z) = 01353. 01353. 11485. 02838. 0)(2zzzKzG即：01353. 01485. 0)1353. 1

57、2838. 0(2KzKzT = 1s時(shí)，令：11wwz得：01353. 02706. 2)297. 07294. 1 (4323. 02KzKKw第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換根據(jù)勞斯判據(jù)，易知系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求：01353. 02706. 20297. 07294. 104323. 0KKK即當(dāng) 0 K 5.82 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。此例對(duì)應(yīng)的延續(xù)系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，對(duì)恣意K值，延續(xù)系統(tǒng)均穩(wěn)定，但離散化后，系統(tǒng)能夠會(huì)成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換例2：分析采樣周期T對(duì)圖示系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)sesT1) 1( ssK解：由系統(tǒng)構(gòu)造圖有：解：由系統(tǒng)構(gòu)造圖有

58、：)(1)()(1)()()()(zGzGzGHzGzXzXzio第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換)1()1 ()(21ssKZzzG)(1()1 (1) 1(TTTezzeTzTeK系統(tǒng)特征方程為：1G(z) = 0即：0) 1() 1(12TTeKTKKzeKKKTz令：11wwz得：0)2(221 )222(22)1 (2KeTTewKTeeeweKTTTTTTT第六章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)與z變換假設(shè)T2s，得： 0 K 1.450)2(2210)222(220)1 (KeTTeKTeeeeKTTTTTTT系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求：假設(shè)T0s，系統(tǒng)變?yōu)檠永m(xù)系統(tǒng)，對(duì)恣意K系統(tǒng)均穩(wěn)定。假設(shè)T1s，得： 0 K 2.39假設(shè)T0.5s，得： 0 K n時(shí)：mnmjjnmjjniijmkbjmkbinkuanku)( )()()(101未來(lái)時(shí)辰的輸入顯然物理可實(shí)現(xiàn)的數(shù)字控制器要求：n m。mnzazzbzXzXzGniininmjjmjio10)()()(此時(shí)：