![冪級數(shù)及泰勒展開習(xí)題解答_第1頁](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/26/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e7/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e71.gif)
![冪級數(shù)及泰勒展開習(xí)題解答_第2頁](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/26/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e7/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e72.gif)
![冪級數(shù)及泰勒展開習(xí)題解答_第3頁](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/26/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e7/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e73.gif)
![冪級數(shù)及泰勒展開習(xí)題解答_第4頁](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/26/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e7/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e74.gif)
![冪級數(shù)及泰勒展開習(xí)題解答_第5頁](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-11/26/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e7/2718d031-04ac-4984-96e6-71f8e42105e75.gif)
版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
1、冪級數(shù)及泰勒展開求下列幕級數(shù)的收斂區(qū)間QOxn1. n±2n(2n-1)當(dāng)x =1時,因12n(2n -1) 2n(n n -1)所以n4 2n(2 n 收斂,1)當(dāng)X - -1時,二丄也絕對收斂,n4 2n(2n -1)=收斂區(qū)間為-1,1。an +lim2n (2 n-1)an11111nc2(n +1)(2 n+1)-1解:limn ?:32 £(-1)nxn.n£ 2巴 n解: limn :ian 1an=limn_:2n .1§2- n _ 1n . n 1 一 2當(dāng)x = 2時,z (1為收斂的交錯級數(shù),n 1. n當(dāng)x二-2時,打(-1)n
2、(-2)n_*nm2n n= 收斂區(qū)間為(一2,2。八上)n±L 2nn n nn-X 3 X解: limn ;::an 1an二 lim收斂區(qū)間為寸4. <)n 害n 4 2n - 1二 limn 廠|2n 1解:limn :2n-1=1二 R=1故當(dāng)2x 3 <1,即1 ex c2時級數(shù)絕對收斂。當(dāng)宀時,二普A蔦的,艄氏發(fā)散, 當(dāng)x = 2時,二為收斂的交錯級數(shù),門二 2n 1=收斂區(qū)間為(1,2。qi)n解:limn 二=limn¥ (n +2)1 n( n +1)ln(n 2)(n 1)=1二 R =1故當(dāng)x1 <1,即0 ex c2時級數(shù)絕對收斂
3、。當(dāng)x =0時,因為limln(n 1)nf(x)ln x 廣 x c=limlim 0X r: xX r: 11 -ln x “、2: 0(x e)=xn 1ln x- 二 f (x)二xn_3 時,ln(n 2) ::: ln(n 1)n+2 n+1所以-(-1)nln(n 1)收斂,n =1當(dāng)x =2時,因為當(dāng)n _2時ln(n 1)1n 1 n 1發(fā)散,=收斂區(qū)間為0,2)。八今(x-1嚴n 1 n4解:2limn := limnc(x-1)2n 1 n4n(x1)2nJ1(n 1)4n 1-12故當(dāng)1|x-14x1 c2,即1<xv3時級數(shù)絕對收斂。=1 時,J (_1 _1嚴
4、丁 O 為收斂的交錯級數(shù), n 4 n42 n 4 n=3時,、 dL(3_1)2nn為收斂的交錯級數(shù),n 4 n42nn=收斂區(qū)間為-1,3。二、求下列幕級數(shù)的收斂區(qū)間并求和函數(shù)n 土 2n -1解: limUn += limn-cUnnjcx1.x2n*(2 n-1)x2n(2 n 匚 1)2故當(dāng)x <1=:1時級數(shù)絕對收斂,當(dāng)I X I 1時,級數(shù)發(fā)散。:(一1)n 1: : ( _1)n當(dāng)X二1時,'、匸匚(_1)2n口L為收斂的交錯級數(shù),n 2n -1n=1 2n -1當(dāng)X =1時,J一口 為收斂的交錯級數(shù),n 壬 2n 1=收斂區(qū)間為-1,1。旳 1)n +x2n4-
5、令 S(x)八 一 S(0)=0n =12n 1cO彳彳S(x)二 (-1)n1x2n° = S(x)-S(0) 二dt 二 arctanxnJ1 +x故當(dāng)x £1= x <1時級數(shù)絕對收斂,當(dāng)|x|>1時,級數(shù)發(fā)散。'丿匕仆2S(x)二 arctanx(x _1).解:lim9n十= limUnn#2.x 2nx2n"n 1x2n 1(2n 2)2n»x 2noOqQ當(dāng) x=-1 時,、 2n(_1)2n= 2n 發(fā)散,n 4當(dāng)x=1時,y 2 n發(fā)散,n 4O0令 S(x)八 2nx2nl : S(0)n =1-0x00 x 21
6、aoS(t)dt八o2門嚴気八2nxn =1S(x)=1-x3.oO' n(n 1)xnn 4=limn_?:解:limn 二(n 1)(n 2)n(n 1)=1=R =1QOn(n 1)(T)n發(fā)散,n =1CO當(dāng)X =1時,7 n(n 1)發(fā)散;當(dāng)n =1=收斂區(qū)間為(-1,1)。QO令 S(x)八 n(n 1)xn= S(0) =0n =1:x=0S(t)dt 八 0 n(n 1Xndt 八n =1n +nxn doO2n 1x ' nxn :!2x(1-x)22xE|x52n解:= limI®x2n (2 n 1)2nlimn :x2n,2(n 1)(2n -
7、1)故當(dāng)2x <1 二x <1時級數(shù)絕對收斂,當(dāng)|x| 1時,級數(shù)發(fā)散。=1時,2n 一1 n 4 2n(通項不趨于零)發(fā)散,=收斂區(qū)間為(_1,1)。令S(x)八一綸n 4 2nx:0S(t)dt 八n =4S(X)八 x2njn£"牡4t2ndt =瓦丄 x2nJLnm 2n2nxn4 2n2n1S(x)(x = 0),S1(0) =0x3(x) -細0)15才(1-0時,S(x)S(x)二另解2-x-ln(1 -x2)2ln (1 x2)2x11-x2ln( 1-x2)2x21J 2小 21-x2x12,s(x)八一 1-21-n m I 2 n2n -2
8、11-x22nR11-x2學(xué)丄x2nx nd 2n三、求下列級數(shù)的和QO也可以考慮利用幕級數(shù)、'nJ借nx 二(|x|Q):2n送3nn 2 3S 13n431 °Of(2-1)(21)H(1)nl2-12n11 :2 nA丄(-1)2n-12n二32=2nJ 1 (n 二 k1)2n 1n J (-12n -12心2k -1=arcta n1 - -2兀 1=42四、利用直接展開法將下列函數(shù)展開成幕級數(shù)1. f (x)二ax(a 0,a =1)解:f(n)(x)=ax(l na)n二 f(n)(0)=(l na)QOa Zn =0皿nn!n£ n!limn :an
9、 1anl:na1=0= Rh;3故該級數(shù)的收斂區(qū)間為(:,F(xiàn))。再由因a,有界,Z(Tx) n十x(n 1)!<M lim(ln a):xC(n + 1)!n 1|x| =0& #1 x nHa"(l na)、丿卅 x(n +1)!(ln a)n 1(n 1)!意的x上式均成立。=x2. f (x) =sin 2|x|n 1是收斂級數(shù)八業(yè)X n£ n!_(lnaLxn(_: : X:-)的一般項,所以對任心n!(-二:x : :)。解:f(n)(x)=-sin 陛十12n (2 2 丿h f(n)(0)=1 .歹sin0, n 二 2k斜 n = 2k 1二
10、 f (n)(0) n!(n) /xn=22*n 1)廣1,2n 3 Xnm22n*(2 n3)!22n 1 (2 n 1)!2n 3R-故該級數(shù)的收斂區(qū)間為。再由lim | R/x) |=lim2n 3|X|.2n 3 rxsin I 二I 22丿22n 3(2 n 3)!2n 3X2n 3|x|_ lim 鼎0X 廠23(2n 3)!qQ因V為絕對收斂級數(shù) '匚2 3 (2 n 3)!(-1)n n22n1(2 n 1)!X2n+ (蟲 x v邑)的一般項,所以對任意的x上式均成立。 =sin° =2 (-1)x2n±2(2 n+1)!2n 1(-::X ;:n
11、)。五、使用間接展開法將下列函數(shù)展開成幕級數(shù)常用幕級數(shù)展式:(1):- ny()(2)sin x 八(-1)n £2n 1n X,("V X < +)(2n 1)!oOcosx 二' (-1)n =02nn ,(- : : X :)(2n)!QO(1 x) T '"廠 C -n J,(_1*1)n =0(3)1 :xn,(_1::X::1)1 x n 衛(wèi)11 x11= J(_1)nxn,(1::X::1)n =0qQ2 八 一(-1)*二(-1::X::1) -x n衛(wèi)(6)qQln (1 x) = 一(-1)n 4nnd、n(7)oOarc
12、tanx 八(_1)nn=02n 1x2n 1°°x2 n鳥冊喬,"S(-::x - )?;痉椒ǎ捍鷶?shù)法,即代換;利用幕級數(shù)性質(zhì).對復(fù)雜函數(shù)可以先求導(dǎo)看是否為幕級數(shù)展式已知的簡單函數(shù),再積分可得原函數(shù)的幕級數(shù)展式。1.2f(x)解:QCi ”由et;討一 t),令得2n2.f (x) = sin 2xf2n 1oO解:由sint "I),令5得sin2x,11)n 沁n =0(q < x < 母)。(2n 1)!3.f (x) = sin2 xC0e"1 e : X :。)n=0n!oO由 COst:3)n(2n)!4.sifxH
13、n罷,(1)n1 (2t)2n(2n)! nw2 (2n)!f (x)二 arctanx解:t (::n -),及 sin2x =丄 1-cos2x 令t = 2x得2解:1°°f (x)2 二' (T)nx2n( T : x : 1)=1 +xn=earcta nx =0 1 +t旳x 2dt(_1)n 0t2ndt 八(-1)x 12n z0:x2n 1訂1*1)n0X = 1時,均為收斂的交錯級數(shù)。1f(x):5 2x5.解:由丄1 -toO八tnn=05-|x1 2,令t = 一 x得56.解:7.解:f (x) =15-2(x£f (x)二 In
14、(x. 1 x2)由I11f (x)二oO、(-1)n 4x1x2X . 1 x2n1 32 4(2 n)門呂_ _1_1 x2(2n 一 1)!tn(1 :t 豈 1),得 (2n)!=1 J(_1)n(|書!x2n(|x|)=. nm(2n)!x 1dtJ J1丄欄、n (2n -1)! 2nf 一、二x ' (-1)x (|x|_1)(2n + 1)(2 n)!In x 1 x21亠Xf(x)yf (x)QO=2、x2n(-1 : x <1)-n =0xt2n21 -x2 : x2n 12dt =2(一1 : x :1)。1 -t2n2n 1六、在指定點處將下列函數(shù)展開成幕
15、級數(shù)1. f (x) = In x,在x =2處.n解:由 In(1 t)八(-1)小(-1 21)及n =1nIn x = ln(2 x -2) =ln2 i1I 2=l n2 In 1 心I 2(-:x :)=1 n2、(1)2 x-2 3n=1nn/0*4)。oOIn x =1 n2 、(一1嚴n =12. f (x)二 ex,在x =1處解: ex=eexQ 3(。n衛(wèi)n!七、求函數(shù)f (x) = xx a 二 In(1 x)在X = 0處的n階導(dǎo)數(shù)(n 2):kk -2解: f (x) =X2、(一1)2丄八(1)kx - kAkkAk(n)(x)M 2)(kxk2l k =n -2
16、f(n)(0)=(_1)nJ3(_1)2n(n -1)(n -3)!。1,記它們的交點橫坐標的絕對值為n 1n 22 1 2八、設(shè)有兩條拋物線 y = nx2 和y =(n 1)x2 n(1)求an的表達式(2)求這兩條拋物線所圍成的圖形的面積(3)解:(1)ann(n 1)an !212nx2(n 1)x2 -m n4 34oO(3)由、n =1= lim£ 1 = lim£I:n(n 1) n ;:k1k(k 1) n 廠心 k k 1 n .=:"叫 _n (n + 1)=1,得冪級數(shù)部分習(xí)題課常用幕級數(shù)展式:O0 xn(1) ex, (-: x : :)n
17、n!(2)sin x 八(_1)nn z02n 1X(2n 1)!八(1)2n 42ndX(2n_ 1)!(3)oOcosx - ' (_1)nn衛(wèi)2nx麗(> 一 1).(: _ n 1) n(1x)=1xnnzgn!(一 1 : x :1)1旳1lnx ,1 _ x n Z0(-1 : x :1)0n n八(-1) x ,n =0(-1 : x :1)11 x2八(1)nx2n, n =0(一1 : x :1)O0(6) ln(1 x)二' (-1)(-1QO(7) arctanx 八(-1)nn =0x2n12n 1QOn £2n 4(廿詰(一仁 x)基本
18、方法:代數(shù)法,即代換;利用幕級數(shù)性質(zhì).對復(fù)雜函數(shù)可以先求導(dǎo)看是否為 幕級數(shù)展式已知的簡單函數(shù),再積分可得原函數(shù)的幕級數(shù)展式。補充例題1.、把下列函數(shù)展成x的幕級數(shù)解:9 x2f(x)二 x2n :x2n19 x21 x dfx 2疋瓷(T)nZ ±(-1)n33*3)。n=0n=02x、1x22*1 x2xf (x) = arctanx21 +x=arctanx = '、' (_1)n2n 1 x及 f (0) =0 二3.解:f(x)1f(x)=4ln1 x1 -xn=02n 2x(2n 1)(2 n 2)1arcta nx-x2,(一1 mx 乞1)。由 f (x
19、) J -4 (1+x 1x 丿 21+xA旳2 _ 1玄1二"x ,(1:%:1)1 -xn =4及 f (0) =0 二4.xf(x)° f (t)dt 八:x4n1,(_1 <x<1)。n 4n 1f (x)二 In(1 x x2 x3 x4)解:234f (x) =l n(1x x2 x3 x4)ln(1d)八廿皿=-n5n xnln(1-x)八(_1)2匕叢,(-仁 X :1) n,(-仁 x :1) nf (x)=4n x(1_x )xn,(1 玄x<1)。n*n nnn=1n把下列函數(shù)在指定點展成幕級數(shù)1.f (x) = In x 在 x =
20、1 處解:f (x) =1 nx =1 n1 (x 一1)八(_1)n4(X- X5=lnIn (1x5) I n(1 x)(x=1)1 - x),(0 : x空 2)2.1f(x)二x2 3x 2解:f (x) _(X 1)(x - 2)x 12 (x -1)2 A x -12 12111 11111x 23 (x -1)X -1 +八(-1)n=0解:4.解:31312“ 1 - & 1、d/ x、e -ef (x)=dxl x j丿在x =1處3.oO/f(x)八(-1)nn =0丄(1)n匸3nJ , 3n八(")n”73(x")n,(-2*4)13(x1)
21、n,(1:x :: 3)ex ”3 = nzsn!ex-e、二(x-1)nexx-1n a n!f(x)T/ x、e -el xj兀oO化匸嚴1)。f (x) =sin x 在 x 處4由-JI (Msin x =sin | , x 一Ml4丄ji (兀)=sin cosI x -4.4f n sin I x -一I 4丿n _2(x-1)31cos sin I x -4上二二 cos42 一.ji x . H sin x - 4.42n 1 H YoO八(-1)nn=0(A V X v 址)(2n1)!2n(COS I x 一I 4丿jix八(T)nT)T( n=o(2n)!4 *2':-sinx 、 (_1)n2 n2n -1r n fX f八(2n 1)!(2n)!JI(-::X :::)三、幕級數(shù)求和步驟:1.求出給定級數(shù)的收斂區(qū)間;2.兩種途徑:適當(dāng)變形=逐項積分=常見函數(shù)之幕級數(shù)(ex,si nx,cosx,l n(1x),幾何級數(shù)等)=逐項求導(dǎo)=得和函數(shù)適當(dāng)變形=逐項求導(dǎo)=常見函數(shù)之幕級數(shù)(ex,si nx,cosx,l n(1 x),幾何級數(shù)等)=逐解:由limn ;=limn 廠(n 1)!2n 1項積分=得和函數(shù)1,n衛(wèi)n!2n 亠 3 n!2設(shè)S(X)八:空2費 n z0n!,逐項積分得x:: x2n 10S(t
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 備考一級注冊消防工程師考試試題庫-《國家消防法》
- 建危房申請書
- 高中申請助學(xué)金申請書
- 加入校學(xué)生會申請書
- 提高視頻流媒體播放質(zhì)量措施
- 2024-2025學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)禺山高級中學(xué)高三(上)期中地理試卷
- 2024-2025學(xué)年云南省麗江市高三上學(xué)期統(tǒng)一檢測(12月)物理試卷(解析版)
- 癌癥患者申請書
- 續(xù)簽國企合同范本(2篇)
- 6.1 整十?dāng)?shù)加、減整十?dāng)?shù) 一年級下冊數(shù)學(xué)同步練習(xí)(含答案)
- 柯頓電臺操作使用講座
- 2023山東經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院教師招聘考試真題題庫
- 《定向運動》教學(xué)大綱(含課程思政要素)
- 注塑員工績效考核方案
- 小學(xué)生作文稿紙A4打印稿
- 神舟,飛船,建造過程案例
- 國際區(qū)號時區(qū)對照表
- GB/T 10095.2-2023圓柱齒輪ISO齒面公差分級制第2部分:徑向綜合偏差的定義和允許值
- 高教-離散數(shù)學(xué)(修訂版)-耿素云-屈婉玲(全)課件
- 安全閥拆除與回裝方案
- 道德與法治五年級下冊-課程綱要課件
評論
0/150
提交評論