考研數(shù)學(xué)]北京航天航空大學(xué)線性代數(shù)6-3正定二次型

1、.第三節(jié) 正定二次型 對二次型對二次型f (x1, x2, , xn)經(jīng)過滿秩變換后可化經(jīng)過滿秩變換后可化為規(guī)范形為規(guī)范形.22122221rppyyyyyf 為討論其性質(zhì)為討論其性質(zhì), 在應(yīng)用中對二次型進行以在應(yīng)用中對二次型進行以下分類下分類.定義定義 設(shè)設(shè)f (x1, x2, , xn)=x Ax為實二次型為實二次型, 若對若對于任意非零實向量于任意非零實向量x=(x1, x2, , xn) , 都有都有f=x Ax0, 稱稱f為為正定二次型正定二次型, 對稱矩陣對稱矩陣A稱為稱為正定矩陣正定矩陣.f=x Ax0, f=x2Ax20,因此因此f正定正定.例例2 判斷實二次型判斷實二次型21

2、22212182),(xxxxxxf 的類型的類型.解解 取取x1=(1, 0), x2=(1, -1), 有有, 05)1, 1(, 01)0 , 1( f f因此由定義因此由定義f是不定二次型是不定二次型.問題問題：如何判定所給定的二次型的類型：如何判定所給定的二次型的類型?定理定理3.1 設(shè)設(shè)n元實二次型元實二次型f = x Ax的秩為的秩為r, 正慣正慣性指數(shù)為性指數(shù)為p, 則則f 為為正定二次型正定二次型p=r=n, 即標(biāo)準(zhǔn)形中有即標(biāo)準(zhǔn)形中有n個正項個正項;負定二次型負定二次型p=0, 即標(biāo)準(zhǔn)形中有即標(biāo)準(zhǔn)形中有n個負項個負項;.半正定二次型半正定二次型p=rn, 即標(biāo)準(zhǔn)形中只有即標(biāo)準(zhǔn)

3、形中只有r個正項個正項;半負定二次型半負定二次型p=0, rn, 即標(biāo)準(zhǔn)形中只有即標(biāo)準(zhǔn)形中只有r個負個負項項;不定二次型不定二次型0p0(i=1, 2, , n).顯然顯然, 0),(02010 nyyyy代入代入(1)右端右端, 總有總有 f 0.由由x=Cyy=C-1x.將它視為系數(shù)矩陣為滿秩矩陣將它視為系數(shù)矩陣為滿秩矩陣C-1的非齊次方的非齊次方程組程組, 由克萊姆法則由克萊姆法則, 對任意非零向量對任意非零向量y, 有唯一有唯一的非零向量的非零向量),(02010nxxxx 與之對應(yīng)與之對應(yīng).由由y0的任意性的任意性, 因此因此x0任意任意, 因此恒有因此恒有f = x Ax0, 這樣

4、這樣f正定正定.()反證反證.若若f正定正定, 但標(biāo)準(zhǔn)形不是但標(biāo)準(zhǔn)形不是(1), 即即p0.x (kA)x=k x Ax0(k0).(2) x (C AC)x=(Cx) A(Cx)0. (Cx=y0)注注 C AC與與A的正定、負定或不定一致的正定、負定或不定一致(合同變合同變換保秩、保正、負慣性指數(shù)換保秩、保正、負慣性指數(shù)).性質(zhì)性質(zhì)2 若若A=(aij)nn是正定矩陣是正定矩陣, 則則aii0(i=1,2,n).證明證明由定義由定義, A正定正定, 因此因此 x 0, x Ax0.取取nixi, 2 , 1,)0 , 0 , 1 , 0 , 0( 則則 010), 0 , 1 , 0 ,

5、0(212222111211nnnnnniiaaaaaaaaaA ), 2 , 1(, 0ni aii .注注 (1) 反之不成立反之不成立.例例2中中 2441Aa110, a220, 但不是正定矩陣但不是正定矩陣.(2) 可用來判斷二次型不是正定的可用來判斷二次型不是正定的.例例3 2551Aa22=20, 因此因此A不是正定矩不是正定矩陣陣.另外另外22212121210),(xxxxxxf 2222127)5(xxx 令令 222115xyxxy則則222127yyf 是不定二次型是不定二次型.(3) 若若A=(aij)nn是負定矩陣是負定矩陣, 則則aii0.證明證明由性質(zhì)由性質(zhì)4,

6、 A正定正定, 則存在滿秩矩陣則存在滿秩矩陣B, 使得使得A=B B. 因此因此|A|=|B |B|=|B|20.注注 性質(zhì)性質(zhì)5為必要條件為必要條件. A負定時不一定有負定時不一定有|A|0.性質(zhì)性質(zhì)6 A為正定矩陣為正定矩陣 A的所有順序主子式皆的所有順序主子式皆大于零大于零.順序主子式順序主子式,11a,22211211aaaa.A.A負定負定 A正定正定.A負定負定 A的奇數(shù)階順序主子式小于零的奇數(shù)階順序主子式小于零, 偶數(shù)階偶數(shù)階順序主子式大于零順序主子式大于零.性質(zhì)性質(zhì)7 A正定正定A的特征值全為正數(shù)的特征值全為正數(shù). 例例4 判斷實二次型判斷實二次型322123222132142

7、52),(xxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.判斷方法判斷方法1. 順序主子式順序主子式(性質(zhì)性質(zhì)6)2. 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形(定理定理3.1)3. 特征值特征值(性質(zhì)性質(zhì)7).解解方法一方法一二次型所對應(yīng)的矩陣為二次型所對應(yīng)的矩陣為 520221011三個順序主子式三個順序主子式10, , 012111 . 015021152221520221011 由性質(zhì)由性質(zhì)6, f是正定二次型是正定二次型.方法二方法二 用配方法將所給二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法將所給二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形32212322213214252),(xxxxxxxxxxf 32232222145)(xxxxxx 23232221)2

8、()(xxxxx 令令 333222112xyxxyxxy為滿秩變換為滿秩變換. 得得232221yyyf 正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)p=3=n, 得得 f 正定正定.方法方法3 特征值特征值520221011)( AEf112823 f(0)= 1, f(1)=4, f(2)= 1, f(4)=3, f(5)= 16.由零點定理由零點定理, f()=0有三個正根有三個正根. f 正定正定.練習(xí)練習(xí) 判別二次型判別二次型32312123222132148455),(xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.正定正定(性質(zhì)性質(zhì)6)例例5 求求的值的值, 使實二次型使實二次型2222222)(wzxyzxyzyxf 為正定二次型為正定二次型, 并討論并討論2的情形的情形.解解二次型對應(yīng)矩陣二次型對應(yīng)矩陣 1000011011011 A.令它的各階順序主子式大于令它的各階順序主子式大于0, 01 011122 得得1;0)2()1(111111243 得得2.取交后得取交后得2.所以所以2時時, f是正定二次型是正定二次型.=2時時, 222222222