材料力學(xué) 沈玉鳳14)

1、強度理論強度理論解決了組合變形的強度問題解決了組合變形的強度問題 組合變形的剛度問題怎么辦？組合變形的剛度問題怎么辦？能否避免組合變形的微分方程能否避免組合變形的微分方程能否只求出若干控制點的變形，避免求整能否只求出若干控制點的變形，避免求整個變形曲線個變形曲線彎曲變形彎曲變形 積分法求變形積分法求變形得到整個撓曲線得到整個撓曲線13-1 概述概述 13-2 桿件應(yīng)變能的計算桿件應(yīng)變能的計算 13-3 應(yīng)變能的普遍表達式應(yīng)變能的普遍表達式13-4 互等定理互等定理13-7 莫爾積分莫爾積分13-8 圖形互乘法圖形互乘法13-5卡氏定理卡氏定理彈性體受拉力彈性體受拉力P作用，當(dāng)作用，當(dāng)P從零開始

2、到終值緩慢從零開始到終值緩慢加載時，力加載時，力P在其作用方向上的相應(yīng)位移也由零在其作用方向上的相應(yīng)位移也由零增至終值增至終值L；一方面：一方面：力要做功；力要做功；彈性體因變形而具有做功的能力，彈性體因變形而具有做功的能力，力的作用點沿力的方向有位移力的作用點沿力的方向有位移另一方面：另一方面：表明桿件內(nèi)儲存了表明桿件內(nèi)儲存了應(yīng)變能應(yīng)變能13-1 概述概述 P如果略去變形過程中的動能及其它能量的損失；如果略去變形過程中的動能及其它能量的損失；功能原理功能原理V=W 若外力在由零緩慢加載到終值，變形中的每一若外力在由零緩慢加載到終值，變形中的每一瞬間，變形體均處于平衡狀態(tài)；瞬間，變形體均處于平

3、衡狀態(tài)；由能量守恒原理，桿件的變形能由能量守恒原理，桿件的變形能V在數(shù)值上應(yīng)等于在數(shù)值上應(yīng)等于外力做的功外力做的功W；對變形體都適用的普遍原理對變形體都適用的普遍原理因為變形體產(chǎn)生塑性變形時要消耗一部分能量，因為變形體產(chǎn)生塑性變形時要消耗一部分能量，留下殘余變形。留下殘余變形。彈性固體變形是可逆的；彈性固體變形是可逆的；當(dāng)外力解除后，彈性體將恢復(fù)其原來形狀，釋放出當(dāng)外力解除后，彈性體將恢復(fù)其原來形狀，釋放出變形能而做功。變形能而做功。但當(dāng)超出了彈性范圍，具有塑性變形的固體，但當(dāng)超出了彈性范圍，具有塑性變形的固體，變形能不能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣?，變形能不能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣?，也是?dāng)今應(yīng)用甚廣的也是當(dāng)今應(yīng)用甚廣

4、的有限元有限元法求解力學(xué)問題的法求解力學(xué)問題的重要基礎(chǔ)。重要基礎(chǔ)。能量原理能量原理固體力學(xué)中運用功與能有關(guān)的基本原理；固體力學(xué)中運用功與能有關(guān)的基本原理；由能量原理發(fā)展出來的方法；由能量原理發(fā)展出來的方法；能量法能量法能量原理是在總體上從功與能的角度考察變形能量原理是在總體上從功與能的角度考察變形體的體的受力受力、應(yīng)力應(yīng)力與與變形變形的原理與方法；的原理與方法；是進一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的基礎(chǔ)是進一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的基礎(chǔ)能量法的用處能量法的用處能量法的優(yōu)點能量法的優(yōu)點不管中間過程，只算最終狀態(tài)不管中間過程，只算最終狀態(tài)能量是標量，容易計算能量是標量，容易計算用于求位移用于求位移13-2 桿件應(yīng)變能的計

5、算桿件應(yīng)變能的計算 線彈性條件下，通過外力功求應(yīng)變能線彈性條件下，通過外力功求應(yīng)變能常力常力 P 沿其方向線位移沿其方向線位移 l上所作的功上所作的功 常力作功：常力作功：LPW變力作功：變力作功：在線彈性范圍內(nèi)，外力在線彈性范圍內(nèi)，外力 P 與位移與位移 l 間呈間呈線性關(guān)系。線性關(guān)系。荷載由零緩慢加載到終值；荷載由零緩慢加載到終值；變形也由零緩慢變化到終值變形也由零緩慢變化到終值2LPW1 1、軸向拉伸或壓縮、軸向拉伸或壓縮 LPWV EAlFlNEA2LFV2N桿的應(yīng)變能桿的應(yīng)變能P2LP由拉壓桿件組成的桿系的應(yīng)變能：由拉壓桿件組成的桿系的應(yīng)變能：n1iiii2NiAE2LFV受力復(fù)雜桿

6、受力復(fù)雜桿( (軸力沿桿的軸線變化軸力沿桿的軸線變化) )的應(yīng)變能的應(yīng)變能L2NLEA2dx)x(FdVVP2PKBCD12345qLxdx2 2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能圓截面桿的應(yīng)變能圓截面桿的應(yīng)變能WV GIPTlp2GI2LT mm21受力復(fù)雜的圓截面桿受力復(fù)雜的圓截面桿( (扭矩沿桿的軸線為變量扭矩沿桿的軸線為變量) )Lp2LGI2dx)x(TVdV xdxLtAB3 3、平面彎曲的應(yīng)變能、平面彎曲的應(yīng)變能WV 純彎曲梁的應(yīng)變能：純彎曲梁的應(yīng)變能：EIMl EI2LM2 mm21橫力彎曲梁橫力彎曲梁( (彎矩沿梁的軸線為變量彎矩沿梁的軸線為變量) )的應(yīng)變能的應(yīng)變

7、能L2LEI2dx)x(MVdVPm=PaACBaaL2SLGA2dx)F(kVdV一般實心截面的細長梁一般實心截面的細長梁: :剪切變形能遠小于其彎曲變剪切變形能遠小于其彎曲變形能，通常忽略不計。形能，通常忽略不計。圓環(huán)形截面圓環(huán)形截面: :k k=2=2；4 4、剪切、剪切k 由截面的幾何形狀決定由截面的幾何形狀決定:矩形截面矩形截面:k=1.2；圓截面圓截面: k=10/9；1 各桿的抗拉壓剛度相等各桿的抗拉壓剛度相等EA相等。相等。求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能P45LL2 同種材料，彈性模量同種材料，彈性模量E已知。已知。求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能PAL2AL3 抗彎剛度抗彎剛度EI

8、為常量。為常量。 求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能2L/3M2L/3PL/34 抗彎剛度抗彎剛度EI為常量。為常量。 求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能P5 抗彎剛度抗彎剛度EI為常量。為常量。 求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能6、已知桿件的抗拉壓剛度為、已知桿件的抗拉壓剛度為EI，在截面的下端與，在截面的下端與剛性平面間有一間隙剛性平面間有一間隙，當(dāng)，當(dāng)A截面處有軸向力截面處有軸向力P，使，使C截面的位移等于截面的位移等于時，桿件的應(yīng)變能為時，桿件的應(yīng)變能為 。ACab7、直角折軸的抗彎剛度為、直角折軸的抗彎剛度為EI抗扭高度為抗扭高度為GIP，在，在兩個集中力兩個集中力P的作用下，的作用下，AB桿的應(yīng)變

9、形能為桿的應(yīng)變形能為 。PPaL一、一、 克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理13-3 應(yīng)變能的普遍表達式應(yīng)變能的普遍表達式廣義力廣義力P1，P2，Pn作用作用于物體，且設(shè)按同一比例系于物體，且設(shè)按同一比例系數(shù)數(shù)從零增長到終值。從零增長到終值。 相應(yīng)地物體產(chǎn)生變形相應(yīng)地物體產(chǎn)生變形1，2，n，對于線性彈性材料，則變形也將按相同比例對于線性彈性材料，則變形也將按相同比例增加；增加；P2P1Pn12 2n外力對物體做功，功以應(yīng)變能儲外力對物體做功，功以應(yīng)變能儲藏在物體內(nèi)；藏在物體內(nèi)； 如果外力在某一中間值如果外力在某一中間值P1，P2，Pn時時 各點處的廣義位移達到中間值各點處的廣義位移達到中間值1， 2

10、， n時時 有一增量有一增量d dPdPdPdWnn2211力在位移增量上做總功力在位移增量上做總功Pii(i 、Pi)PiidiiidP力在位移增量上做功從從0到到1 外力做功外力做功 1011)(dPPWnnnn2211P21P21P21物體的應(yīng)變能應(yīng)變能為nn2211P21P21P21WV克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理L2Lp2L2NEI2dx)x(MGI2dx)x(TEA2dx)x(FV組合變形時的變形能組合變形時的變形能d)x(M21d)x(T21)l(d)x(N21VdEAdx)x(F)l(dNEIdxxMd)(GIdxxTd)(， 1 以上計算公式僅適用于線彈性材料、以上計算公式僅

11、適用于線彈性材料、在小變形下的應(yīng)變能的計算在小變形下的應(yīng)變能的計算3 3 只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時，才可應(yīng)用。不做功時，才可應(yīng)用。2 應(yīng)變應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在同種原理在同種應(yīng)變應(yīng)變能計算中能計算中 不能使用。不能使用。4 4 應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)；應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)；在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系。在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系。例例1 1 圖示等截面懸臂梁，圖示等截面懸臂梁，E,A,I E,A,I 已知。在自由端受

12、已知。在自由端受集中力集中力P 和集中力偶和集中力偶 M作用。設(shè)材料是線彈性的，試計作用。設(shè)材料是線彈性的，試計算梁的應(yīng)變能。略去剪力的影響算梁的應(yīng)變能。略去剪力的影響. PMLP2 剛度剛度EI、GIP為常量。為常量。 求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能13-4 互等定理互等定理考慮兩組力考慮兩組力P，Q作用于物體作用于物體;第一組力有第一組力有m個載荷個載荷P1，P2，Pm;第二組力有第二組力有n個載荷個載荷Q1，Q2，Qn。若先將第一組力若先將第一組力Pi（i=1,2,m）單獨作用單獨作用Pmm2P21P11P21P21P21W力做功力做功P1PiP1PiQ1QjQ1QjQj在其相應(yīng)位移在其相

13、應(yīng)位移 上做功為上做功為 QjQnn2Q21Q12Q21Q21Q21W隨后作用上第二組力隨后作用上第二組力Qj（j=1,2,n） 與此同時，因為與此同時，因為Pi力的存在，且已達到終值且值不變；力的存在，且已達到終值且值不變；Pi在在Qj產(chǎn)生的位移產(chǎn)生的位移 做功做功PiPmm2P21P112PPPWP1PiP1PiQ1QjQ1QjPiP1第二組力第二組力Qj引起第一組力的作用點的位移引起第一組力的作用點的位移Pi先加先加P后加后加Q時做功總和為：時做功總和為：12211WWWV 將加載次序反過來，先加力將加載次序反過來，先加力Q后加力后加力P，Qj在相應(yīng)在相應(yīng)位移位移 上做功為：上做功為：Q

14、jQnn2Q21Q1Q21Q21Q211W再加再加Pi (i=1,2,m)力，力，Pi在其相應(yīng)位移在其相應(yīng)位移 做功做功PiPmmPPPPP21212122112W同時物體上已作用有同時物體上已作用有Qj且其值不變，且其值不變，Qj在由于在由于Pi引起的引起的Qj作用點沿作用點沿Qj方向的位移方向的位移 上做功上做功QjQnnQQQQQ221121W兩組力所做的總功為：兩組力所做的總功為：21212WWWV由于變形能只決定于力與位移的最終值，與加力次由于變形能只決定于力與位移的最終值，與加力次序無關(guān)，故有序無關(guān)，故有V1=V2，12211WWWV21212WWWV2112WWPmmPPPPP2

15、211Qnn2Q21Q1QQQ 功的互等定理功的互等定理位移互等定理位移互等定理設(shè)兩組力設(shè)兩組力Pi、Qj只有一個力只有一個力P1、Q1作用于物體，作用于物體，1111QPQP若若 ，則有，則有11QP 11QP位移互等定理位移互等定理APLaB例題：裝有尾頂針的車削工件可簡化成超靜定梁，例題：裝有尾頂針的車削工件可簡化成超靜定梁，如圖，試用互等定理求解。如圖，試用互等定理求解。第一組力：第一組力：第二組力第二組力)3(621alEIaEIl332第一組力在第二組力引起的位移上做功第一組力在第二組力引起的位移上做功1PAPLaBRP、RX=112X=12REI3lR)al 3(EI6Pa32第

16、二組力在第一組力引起第二組力在第一組力引起的位移上做功：的位移上做功：功互等定理功互等定理 0EI3lR)al 3(EI6Pa32)3(222allaPRBAPLaBRX=112零零1、已知梁在力偶、已知梁在力偶M的單獨作用下的單獨作用下C截面的撓度為截面的撓度為yc3毫米，則在力毫米，則在力P單獨作用下單獨作用下D截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為D= 。P=2KNM=1KNmCCDD2、欲測定圖示梁端截面的轉(zhuǎn)角、欲測定圖示梁端截面的轉(zhuǎn)角A，但只有，但只有測量撓度的儀器，你怎樣用改變加載方式的測量撓度的儀器，你怎樣用改變加載方式的方法達到此目的？方法達到此目的？AAP3、兩相同的平面剛架受載如圖，下列

17、關(guān)系中、兩相同的平面剛架受載如圖，下列關(guān)系中正確的是：正確的是： 。A：xB(a)=xC(b) B：yC(b)=B(a)C：yB(a)=yC(b)D：yC(a)=B(b)ABCP=1(a)ABCM=1(b)4、將千分尺安裝在梁上，可以測出安置點所、將千分尺安裝在梁上，可以測出安置點所在位置處的撓度。為了測出圖示梁在力在位置處的撓度。為了測出圖示梁在力P作用作用下的撓曲線，就必須將千分尺沿梁的長度方向下的撓曲線，就必須將千分尺沿梁的長度方向逐點安置并測定該點的撓度。用什麼辦法可以逐點安置并測定該點的撓度。用什麼辦法可以不移動千分尺就能夠測出該梁的撓曲線？不移動千分尺就能夠測出該梁的撓曲線？千分尺

18、P5、兩根完全相同的懸臂梁在某處用一拉桿連接、兩根完全相同的懸臂梁在某處用一拉桿連接,在圖在圖a中中,將將A處支座向上移動距離處支座向上移動距離A時時,B處相應(yīng)上移處相應(yīng)上移B。在圖在圖b中中,將將A處支座放置在水平位置，在處支座放置在水平位置，在B處承受向處承受向下的集中力下的集中力P，求此時，求此時A支座的約束反力。支座的約束反力。APAABBab 設(shè)在梁上作用有外力設(shè)在梁上作用有外力 ,求梁軸線求梁軸線上任一點上任一點C C處的處的撓度撓度 。 PPPn12,c在外力作用下，梁的應(yīng)變能為在外力作用下，梁的應(yīng)變能為L2EI2dx)x(MV13-7 莫爾積分莫爾積分CF1FnFi一方面：從外

19、力的功看總應(yīng)變能一方面：從外力的功看總應(yīng)變能L20EI2dx)x(MV外載全部卸掉，支座保持不變，在求撓度外載全部卸掉，支座保持不變，在求撓度的點沿撓度方向加一單位力的點沿撓度方向加一單位力 ；10P外載在梁上作的功仍等于外載在梁上作的功仍等于L2EI2dx)x(MV在單位力的作用下，梁的應(yīng)變能為在單位力的作用下，梁的應(yīng)變能為再將原來一組載荷作用于梁上再將原來一組載荷作用于梁上 。由于材料服從胡克定律由于材料服從胡克定律, ,且變形很小且變形很小, ,1.0CF1FnFi1.0fc 由于外載的作用，在由于外載的作用，在C點發(fā)生的撓度即為所求點發(fā)生的撓度即為所求 。cc1c01VVV總總所以梁的

20、總應(yīng)變能：所以梁的總應(yīng)變能：)x(M)x(ML2EI2dx)x(M)x(M總總V10P而單位力而單位力 在外載在外載 產(chǎn)生產(chǎn)生 的過程中一直保持為常量，的過程中一直保持為常量，c故單位力在故單位力在 上做功上做功c如果載荷與單位力同時加在梁上，如果載荷與單位力同時加在梁上，梁截面上的彎矩為梁截面上的彎矩為梁的總應(yīng)變能為梁的總應(yīng)變能為CF1FnFi1.0c另一方面：從內(nèi)力方程看總應(yīng)變能另一方面：從內(nèi)力方程看總應(yīng)變能L2c0EI2dx)x(M)x(M.10VVLcEIdx)x(M)x(M.01L2LL2EI2dx)x(MEIdx)x(M)x(MEI2dx)x(ML0EIdx)x(M)x(MVV兩種

21、情況都是構(gòu)件的總應(yīng)變能兩種情況都是構(gòu)件的總應(yīng)變能LcEIdx)x(M)x(M.01 ： 單位載荷引起的彎矩。單位載荷引起的彎矩。)x(M莫爾積分法又稱單位載荷法。莫爾積分法又稱單位載荷法。 M(x) ：實際載荷引起的彎矩；：實際載荷引起的彎矩；LcEIdx)x(M)x(M.01求轉(zhuǎn)角的莫爾積分求轉(zhuǎn)角的莫爾積分在欲求截面處施加一單位力偶在欲求截面處施加一單位力偶拉壓變形的莫爾積分拉壓變形的莫爾積分n1iiiiNiNiAElFF0 . 1扭轉(zhuǎn)變形的莫爾積分扭轉(zhuǎn)變形的莫爾積分n1iPiiiNiNiIGlTT0 . 1如果桿件同時產(chǎn)生拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲變形，要求如果桿件同時產(chǎn)生拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲變形，要求

22、在某一方向的廣義位移在某一方向的廣義位移 ; ; LLpLNNIGdx)x(T )x(TEIdx)x(M)x(MEAdx)x(F)x(F0 . 1可在此方向上加一單可在此方向上加一單 位力，位力，以莫爾積分求出該方向的以莫爾積分求出該方向的廣義位移；廣義位移；注意幾點注意幾點1、施加單位力時所有的外載卸掉，支座保持不動；、施加單位力時所有的外載卸掉，支座保持不動；2、外載作用下的內(nèi)力方程與單位力作用下的內(nèi)力、外載作用下的內(nèi)力方程與單位力作用下的內(nèi)力方程要方程要求求正方向正方向與與積分區(qū)間積分區(qū)間的嚴格一致；的嚴格一致；3、求位移施加力，求轉(zhuǎn)角施加單位力偶、求位移施加力，求轉(zhuǎn)角施加單位力偶4、結(jié)

23、果為正，說明廣義位移與單位力同向；、結(jié)果為正，說明廣義位移與單位力同向；5、外載作用下分段，單位載荷作用下也必須分成相、外載作用下分段，單位載荷作用下也必須分成相應(yīng)的段數(shù)；應(yīng)的段數(shù)；6 6、欲求的位移和施加的單位力應(yīng)理解為、欲求的位移和施加的單位力應(yīng)理解為廣義力廣義力和廣義位移和廣義位移。7、若、若 為兩點間的相對線位移，則單位力是施加在兩為兩點間的相對線位移，則單位力是施加在兩點上的點上的 方向相反的一對單位力，方向相反的一對單位力，其作用線與兩點的連線重合。其作用線與兩點的連線重合。注意幾點注意幾點8、若、若 為兩截面間的相對轉(zhuǎn)角，則單位力是為兩截面間的相對轉(zhuǎn)角，則單位力是施加在兩截面上的

24、施加在兩截面上的 方向相反的一對單位力偶；方向相反的一對單位力偶；一個力一個力一個力偶一個力偶一對力一對力一對力偶一對力偶一個一個線位移線位移一個一個角位移角位移相對線位移相對線位移相對角位移相對角位移廣義力與廣義位移的對應(yīng)關(guān)系廣義力與廣義位移的對應(yīng)關(guān)系1、在應(yīng)用莫爾積分時，第一項表示什麼意思？、在應(yīng)用莫爾積分時，第一項表示什麼意思？dxEI)x(M)x(MEALFFfNN1.0CABDPA：C點的總位移；點的總位移；B：C點沿點沿CD方向的位移；方向的位移；C：C點鉛垂位移；點鉛垂位移；D：CD桿縮短引起桿縮短引起B(yǎng)點的鉛垂位移；點的鉛垂位移；2、受力如左圖，施加單位力如右圖，利用莫、受力如

25、左圖，施加單位力如右圖，利用莫爾積分求得位移為：爾積分求得位移為： 。A：A截面的轉(zhuǎn)角；截面的轉(zhuǎn)角； B：B截面的轉(zhuǎn)角；截面的轉(zhuǎn)角； C：A、B兩截面的相對轉(zhuǎn)角；兩截面的相對轉(zhuǎn)角；D：AB段單位長度扭轉(zhuǎn)角；段單位長度扭轉(zhuǎn)角；1 .01 .0ABA：結(jié)構(gòu)上的最大位移；：結(jié)構(gòu)上的最大位移； B：單位力作用點處的總位移；：單位力作用點處的總位移；C：單位力作用處的豎直位移；：單位力作用處的豎直位移；D：單位力作用處沿單位力方向上的位移；：單位力作用處沿單位力方向上的位移；3、用莫爾積分、用莫爾積分 求得的位移求得的位移是：是： 。dxEIxMxM)()(4、應(yīng)用莫爾積分計算撓度時，結(jié)果為正，說明、應(yīng)

26、用莫爾積分計算撓度時，結(jié)果為正，說明撓度的方向為：撓度的方向為： 。A：向上；：向上； B：向下；：向下；C：與單位力方向一致；：與單位力方向一致；D：與單位力方向反向；：與單位力方向反向；一、桁架的莫爾積分一、桁架的莫爾積分1、下列中的兩個桁架各桿的抗拉壓剛度均為、下列中的兩個桁架各桿的抗拉壓剛度均為EA，求，求B點的鉛垂位移。點的鉛垂位移。BCDP2、各桿的抗拉壓剛度相等均為、各桿的抗拉壓剛度相等均為EA，求，求B點的點的水平與鉛垂位移，以及水平與鉛垂位移，以及AD之間的相對位移。之間的相對位移。2PPaaBAD3、各桿的抗拉壓剛度相等均為、各桿的抗拉壓剛度相等均為EA，求，求C點的點的水

27、平位移及水平位移及BC兩點的相對位移。兩點的相對位移。PBCaa4、各桿的抗拉壓剛度相等均為、各桿的抗拉壓剛度相等均為EA，求，求B點的點的水平與鉛垂位移；水平與鉛垂位移；KC兩點的相對位移。兩點的相對位移。2PPBCDKaa二、直梁的莫爾積分二、直梁的莫爾積分各梁的抗彎剛度均為各梁的抗彎剛度均為EI，求，求B截面的撓度、截面的撓度、C截面的截面的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。qaaBCMqa2P=2qaqaaBC4m2m2m2m4KN8KN3KN/mBCM=qa2P=qaaaaBCqMaaMBCPqaP=qaM=PaaaaBC外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁材料梁材料

28、為線彈性體。求梁為線彈性體。求梁C截面和截面和D截面的撓度。截面的撓度。ABCPaPDaa三、剛架的莫爾積分三、剛架的莫爾積分圖示中各剛架的抗彎剛度圖示中各剛架的抗彎剛度EI為常量為常量CBPaa1、求、求B截面的鉛垂位移；截面的鉛垂位移；C截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角2a2aM=PaPB2、求、求B截面的水平位移與轉(zhuǎn)角截面的水平位移與轉(zhuǎn)角M=PaP2aaBC3、求、求B截面的轉(zhuǎn)角、截面的轉(zhuǎn)角、C截面的水平位移截面的水平位移4、求、求B截面的鉛垂方向的撓度，截面的鉛垂方向的撓度，C截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。2a2P2aBCM=PaqM=2qa2aaaB5、求、求B截面的撓度與轉(zhuǎn)角截面的撓度與轉(zhuǎn)角q2qa

29、22a2aB6、求、求B截面的水平位移與轉(zhuǎn)角截面的水平位移與轉(zhuǎn)角9、求、求B截面的水平位移與轉(zhuǎn)角截面的水平位移與轉(zhuǎn)角2a2aM=PaPB10、求、求B點的水平位移，點的水平位移，C點的鉛垂位移，點的鉛垂位移，A截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角P2PaaaaaaBCAABCllq11 圓截面桿圓截面桿ABC，（，（ABC=900）位于水平平面內(nèi)，）位于水平平面內(nèi)，已知桿截面直徑已知桿截面直徑d及材料的彈性常數(shù)及材料的彈性常數(shù)E,G。求。求C截面截面處的鉛垂位移。不計剪力的影響。處的鉛垂位移。不計剪力的影響。四、相對位移與相對轉(zhuǎn)角四、相對位移與相對轉(zhuǎn)角PBC1、求、求BC二截面的相對位移與相對轉(zhuǎn)角二截面的相對

30、位移與相對轉(zhuǎn)角PPPLLDE2、求、求DE二截面的相對位移二截面的相對位移3、剛架各段的彈性模量均為、剛架各段的彈性模量均為E，直徑為，直徑為d。求。求C截截面左右兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角面左右兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角aaaCaP=qaq4、求圖示結(jié)構(gòu)在鉸鏈、求圖示結(jié)構(gòu)在鉸鏈A處左右截面的相對轉(zhuǎn)角。處左右截面的相對轉(zhuǎn)角。AE=AD=a/2，BE=CD=a?？箯潉偠取？箯潉偠菶I為常量。為常量。PABCDE5、梁的抗彎剛度為、梁的抗彎剛度為EI，受載如圖。求中間鉸，受載如圖。求中間鉸B處左右兩截面的相對轉(zhuǎn)角。處左右兩截面的相對轉(zhuǎn)角。PqABCqABCll6 抗彎剛度均為抗彎剛度均為EI的靜定組合梁的靜定組合梁ABC

31、，受力如受力如圖所示。梁材料為線彈性體，不計剪應(yīng)變對梁變形圖所示。梁材料為線彈性體，不計剪應(yīng)變對梁變形的影響。求梁中間鉸的影響。求梁中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。7 7 已知開口圓環(huán)受力如圖，材料為線彈性，抗彎剛度已知開口圓環(huán)受力如圖，材料為線彈性，抗彎剛度EIEI 求：圓環(huán)的張開位移求：圓環(huán)的張開位移（不計剪力及軸力的影響）。（不計剪力及軸力的影響）。RPPaaa6012BCD1、圖示中，桿、圖示中，桿1、2的抗拉壓剛度相等均為的抗拉壓剛度相等均為EA，BD梁的抗彎剛度為梁的抗彎剛度為EI。梁的中點作用一集中載荷。梁的中點作用一集中載荷P，求力求力P作用點作用點C的鉛垂撓度

32、。的鉛垂撓度。P五、莫爾積分綜合五、莫爾積分綜合PPaaaBC2、分別求力的作用點、分別求力的作用點B、C的水平位移的水平位移3、用能量法求、用能量法求C點的鉛垂位移。已知點的鉛垂位移。已知AC桿的抗桿的抗彎剛度彎剛度EI，BD桿的抗拉壓剛度為桿的抗拉壓剛度為EA。受彎構(gòu)件。受彎構(gòu)件不計軸力和剪力的影響。不計軸力和剪力的影響。BD桿不會失穩(wěn)。桿不會失穩(wěn)。PBDAaaC4、已知、已知AC桿長為桿長為L，對中性軸的慣性矩為，對中性軸的慣性矩為I，與鉛垂，與鉛垂線成線成45度角；度角；BD桿的橫截面面積為桿的橫截面面積為A，長為，長為L/2，且垂直于且垂直于AC桿；采用同種材料，彈性模量為桿；采用同

33、種材料，彈性模量為E。求求C點的鉛垂位移。點的鉛垂位移。PCBAD5、鋼索的彈性模量為、鋼索的彈性模量為E1，橫截面面積，橫截面面積A1，與水平，與水平線分別線分別60度角。力度角。力P已知。橫梁的抗彎剛度為已知。橫梁的抗彎剛度為EI，抗拉壓剛度為抗拉壓剛度為EA2。求力。求力P作用點的鉛垂位移。作用點的鉛垂位移。PLL/2L/2BCDGE6、圖示結(jié)構(gòu)，桿、圖示結(jié)構(gòu)，桿AB的抗彎剛度為的抗彎剛度為EI，拉桿，拉桿CF的長度為的長度為L，抗拉壓剛度為，抗拉壓剛度為EA。求。求B截面截面的鉛垂位移和轉(zhuǎn)角。的鉛垂位移和轉(zhuǎn)角。a2aM=PaPABCFPi設(shè)在某彈性體上作用有外力設(shè)在某彈性體上作用有外力

34、P PPn12,，在支承約束，在支承約束下，在相應(yīng)的力下，在相應(yīng)的力 方向產(chǎn)生的位移為方向產(chǎn)生的位移為i，( (i=1,2,i=1,2,n,n) )。 可以證明：可以證明：iiPUP1P2PiPn12in13-5卡氏定理卡氏定理iiPU 注意注意：只有當(dāng)彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與載荷成線性關(guān)只有當(dāng)彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與載荷成線性關(guān)系時，才能應(yīng)用卡氏定理。系時，才能應(yīng)用卡氏定理。i應(yīng)用卡氏定理求出應(yīng)用卡氏定理求出 為正時，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣為正時，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作用的方向一致；若為負值，則表示方向相反。義力作用的方向一致；若為負值，則表示方向相反。證明：證明：),(2

35、1nPPPfU再加增量再加增量 ，則變形能，則變形能U的增量的增量dU為為idPiidPPUdU梁的總變形能為梁的總變形能為：iidPPUUdUU(a)考慮兩種不同的加載次序?？紤]兩種不同的加載次序。(1)先加先加 ，此時，此時彈性體的變形能為彈性體的變形能為U：P PPn12,UPUniii1212(2) 先加先加 ，然后再加，然后再加 ，此時彈性體的變形能，此時彈性體的變形能 由三部分組成：由三部分組成：P PPn12,idP梁的總變形能為梁的總變形能為：iiiidPddPUUUUU21321(b)idP(a) 在相應(yīng)的位移在相應(yīng)的位移 上所作的功上所作的功idiiddPU211P PPn

36、12, (b) 在相應(yīng)位移在相應(yīng)位移 上所作的功：上所作的功： n,21(c)原先作用在梁上的原先作用在梁上的 對位移對位移 所作的功所作的功idPiiidPU3iiiidPddPU21iidPPUU 根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次序無關(guān)。序無關(guān)。( (a)(b)a)(b)兩式相等：兩式相等：略去二階微量，化簡后得：略去二階微量，化簡后得：iiPU卡氏定理的特殊形式卡氏定理的特殊形式(1)(1)橫力彎曲的梁：橫力彎曲的梁：LiiiEIdxxMPxMPU)()(對于剛架，若忽略軸力和剪力對于變形的影響，則也可應(yīng)對于剛架，若

37、忽略軸力和剪力對于變形的影響，則也可應(yīng)用上式計算變形用上式計算變形。(2) (2) 小曲率的平面曲桿小曲率的平面曲桿siiiEIdssMPsMPU)()(式中式中s s 沿曲桿軸線的曲線長度沿曲桿軸線的曲線長度。iNiniiiNiiiPFEALFPU1(3) (3) 桁架桁架(4) 產(chǎn)生拉產(chǎn)生拉( (壓壓) )、扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形的圓截面等直桿、扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形的圓截面等直桿dxEIxMPMdxGIxMPMdxEAxFPFPULiLpninLNiNii)()()(練習(xí)：練習(xí)： 結(jié)構(gòu)受力如圖所示結(jié)構(gòu)受力如圖所示, , F=2KN,L=3m,設(shè)設(shè)ABAB桿的抗彎剛度桿的抗彎剛度為為EI, CD, CD桿的抗拉剛度為桿的抗拉剛度為EA,不計剪力的影響不計剪力的影響. . 試用卡氏定理試用卡氏定理求求B 端的豎直位移。端的豎直位移。ALFCL/2B2L/3D 在所求位移處沿所求位移的方向上加上一個虛設(shè)的集中力在所求位移處沿所求位移的方向上加上一個虛設(shè)的集中力 或集中力偶或集中力偶 ；或一對力或一對力偶，此時應(yīng)變能為：；或一對力或一對力偶，此時應(yīng)變能為：sPsM)/,(21ssnMP