材料力學(xué) 附錄1平面圖形的幾何性質(zhì))

1、平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)1-11-1 靜矩和形心靜矩和形心1-2 1-2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑 1-3 1-3 平行移軸公式平行移軸公式 1-5 1-5 主慣性軸主慣性軸 主慣性矩主慣性矩 形心主慣性軸及形心主慣性軸及形心主慣性矩形心主慣性矩1-4 1-4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 拉壓正應(yīng)力拉壓正應(yīng)力ANdAA扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力pITApdAI2應(yīng)力的計算通常要應(yīng)力的計算通常要用用到構(gòu)件截面的幾何參數(shù)到構(gòu)件截面的幾何參數(shù)1-11-1 靜矩和形心靜矩和形心一、靜矩一、靜矩oyzyz AydAzS AzdAyS量綱：長度三次方量綱：長度三次方dA微面積對z軸的靜矩：

2、ydA微面積對y軸的靜矩：zdA整個平面圖形對z、y兩軸的靜矩：表明：平面圖形對某一軸的靜矩等于圖形面積乘以相應(yīng)的形心坐標(biāo)。oyzC形心形心 C C 的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：ASdAzdAzyASdAydAyzzyzASyyASz 若若 和和 ，則，則 和和 ?？梢?，若圖形對某一軸?？梢?，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心；反之，若某一軸通過的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心；反之，若某一軸通過形心，則圖形對該軸的靜矩等于零。形心，則圖形對該軸的靜矩等于零。0zS0yS0z0y二、組合圖形的靜矩和形心二、組合圖形的靜矩和形心常見的一些組合圖形常見的一些組合圖形 整個圖形對某一軸的

3、靜矩等于各個簡單圖形對同整個圖形對某一軸的靜矩等于各個簡單圖形對同一軸的靜矩的代數(shù)和。一軸的靜矩的代數(shù)和。IIIIIIAAAA,11miiimiyiyzASSniiniiizAyAASy11niiniiiyAzAASz11,11miiimizizyASS例例1 1 求圖示半圓形的形心位置z由對稱性，只需求 。現(xiàn)取平行于y軸的狹長條作為微面積。zzzRzyAd2dd22302232d2dRzzRzAzSRAy3R4R21R32ASz23y 例：計算由拋物線、例：計算由拋物線、y軸和軸和z軸所圍成的平面圖軸所圍成的平面圖形對形對y軸和軸和z軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標(biāo)。軸的靜矩，并確定圖形的形心

4、坐標(biāo)。zhyb122yzOzhyb122ydybhSzAyA2d解：解：Sy AzAd12102222bhybydyhybyb0221dyzO4152bhb h24AAAd形心坐標(biāo)為:ySAbhbhbCz242338zSAbhbhhCy415232520221bhybyd23bh 例：確定圖示圖形形心例：確定圖示圖形形心C的位置。的位置。解：解：ySACzzSACy1012060701051200700397 . mm1012057010451200700197 . mm例：求圖示陰影部分的面積對例：求圖示陰影部分的面積對y軸的靜矩。軸的靜矩。Sbhaahay242解：解：b ha24221-

5、2 1-2 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積 慣性半徑慣性半徑 oyzyzdA一、慣性矩、慣性半徑一、慣性矩、慣性半徑 Ay2dAzIA z2dAyI量綱：長度四次方量綱：長度四次方微面積對z軸的慣性矩：y2dA微面積對y軸的慣性矩：z2dA整個平面圖形對z、y兩軸的慣性矩： 工程上，經(jīng)常把慣性矩寫成圖形面積與某一長度平方的乘積，即 或改寫為2yyAiI2zzAiIAIiyyAIizzyizi式中， 、 分別稱為圖形對y軸和z軸的慣性半徑，其量綱為長度。AAId2oyzyzdA 平面圖形對坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩：zyAAAAII AdyAdz AdzyAdI22222 圖形對于任意一對互相垂直軸的慣性矩

6、之和，等于它對該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。 二、慣性積二、慣性積 oyzyzdA 平面圖形對y、z兩軸的慣性積：AyzAyIzd量綱：長度四次方量綱：長度四次方y(tǒng)z兩個坐標(biāo)軸中只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形對這一對坐標(biāo)軸的慣性積等于零 例例2 2 求圖示矩形的zyyzyzi ,i ,I ,I ,IyzbhzdzcdAzIAy22233hhzb3121bhdAyIAz23121hbAIiyyAIizzh63b63AyzyzdAI0思考：bhyyI3121bh例例3 3 求圖示圓形的zyyzyzi ,i ,I ,I ,IyzdAPdAI24321dpzyIIIzyII zyII pI214641d例

7、例4 4 求圓環(huán)圓形的yzI ,I小大PPPIII44321321dD)(D441321Dd小大zzzyIIII)1 (64144DdDyz三、組合圖形的慣性矩及慣性積三、組合圖形的慣性矩及慣性積 根據(jù)定義可知，組合圖形對某坐標(biāo)軸的慣性矩等于各個簡單圖形對同一軸的慣性矩之和；組合圖形對于某一對正交坐標(biāo)軸的慣性積等于各個簡單圖形對同一對軸的慣性積之和。用公式可表示為 niiyzyzniizzniiyyIIIIII111式中， 、 、 分別為第個i簡單圖形對y軸和z軸的慣性矩和慣性積。 iyIizIiyzI1-3 1-3 平行移軸公式平行移軸公式 yczcyczcOyzzy求求: :,yzyzII

8、I已知：已知：CzyyzCCCI ,I ,I解：解：, zzzC, yyyCdAyzCdAzIAy2dA)zz(AC2dAzdAzzdAzAACAC222CyIycSz2Az2CyIAz20AzIICyy2AyIICzz2dAyzIAyzdA)yy)(zz(ACCdAzydAyzdAzydAzyAACACACC0AzyICCzyyczcyczcOyzzydAyzC0平行移軸公式平行移軸公式AzIICyy2AyIICzz2AzyIICCzyyz注意：注意：例例5 5：T T字形截面字形截面, ,求其對形心軸的慣矩求其對形心軸的慣矩。212211AAzAzAz0201002014000201008

9、0020140. m04670.46231m1069714002004670080140020121.ICy464232m10434m020100467002010121.ICyz4666m1012121043410697.ICy1-4 1-4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 oyzdAyzzyyzOyzzOy規(guī)定:角 從 到 逆時針為正。2221cosIsin)II(Iyzzyzy2222sinIcosIIIIIyzzyzyz2222sinIcosIIIIIyzzyzyy轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式: :constIIIIzyzysinzcosyysinycoszz解解:oyzAdAyzzyyzAydAzI2AdAy

10、z2)sincos(AdAz22cosAyzdAcossin2AdAy22sin222sinIsinIcosIzyzy三角函數(shù)關(guān)系: 2cos121cos22cos121sin22sincossin22222sinIcosIIIIIyzzyzyyAzydAzyIAdAyzzy)sincos)(sincos(AdAyzcossin)(22AyzdA)sin(cos222cos2sin)(21yzzyIII例例6 6：求矩形對軸：求矩形對軸 、 的慣性矩和慣性積的慣性矩和慣性積 0y0z解:矩形對y、z軸的慣性矩和慣性積分別為 yz0y0z0ab123abIy123baIz0yzI 0222200

11、2242422220cosababbaab sinIcosIIIIIyzzyzyy 02222002242422220cosababbaab sinIcosIIIIIyzzyzyz022002242220sinababcosIsinIIIyzzyyzO 從本例的結(jié)果可知，當(dāng)矩形變?yōu)檎叫螘r，即在a=b時，慣性矩與角 無關(guān)，其值為常量，而慣性積為零。這個結(jié)論可推廣于一般的正多邊形，即正多邊形對形心軸的慣性矩的數(shù)值恒為常量，與形心軸的方向無關(guān)，并且對以形心為原點(diǎn)的任一對直角坐標(biāo)軸的慣性積為零。 0討論：當(dāng)討論：當(dāng)a ab b時，結(jié)果如何？時，結(jié)果如何？ zyzyIIII0000yzI1-5 1-5

12、 主慣性軸主慣性軸 主慣性矩主慣性矩 形心主形心主慣性軸及形心主慣性矩慣性軸及形心主慣性矩2221cosIsin)II(Iyzzyzy2222sinIcosIIIIIyzzyzyz2222sinIcosIIIIIyzzyzyy2222sinIcosIIIIIyzzyzyy02222cosIsinIIdIdyzzyyzyyzIIItg2202222yzzyzyminmaxIIIIIII確定兩個相差90度的角度9000,022210000cosIsin)II(Iyzzyzy主慣性軸：主慣性矩：慣性矩有極值，慣性積為零的軸。對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。形心主慣性軸：形心主慣性矩：通過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸。對形心主慣性軸的慣性矩。例例7 7：確定形心主慣性軸的位置，并計算形心主慣性矩確定形心主慣性軸的位置，并計算形心主慣性矩 120801010一、確定形心坐標(biāo)zyO20mmy40mmz形心C坐標(biāo)CzCyC二、確定圖形對形心坐標(biāo)yC、zC的慣性矩和慣性積45mm107832 .Icy45mm100031 .Icz45mm10739.Icczy三、求形心主軸位置及形心主慣性矩 cccczyzyIIItg220555100031107832107392.0931.6 .47206 .227或8 .2308 .113或確定兩