最小二乘法應(yīng)用實(shí)例

1、數(shù)值計(jì)算方法 實(shí)際應(yīng)用（論文） 題目 最小二乘法原理實(shí)際生活應(yīng)用 學(xué)院 信息工程學(xué)院 專業(yè) 軟件工程 姓名 張同 班級(jí) 13級(jí)2班 學(xué)號(hào) 1402130235 7摘要最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，是利用最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配的一種計(jì)算方法1，目前在測(cè)量學(xué)、城市道路規(guī)劃、物理學(xué)、地質(zhì)勘探學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文對(duì)最小二乘法進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，利用Visual C+編制程序?qū)崿F(xiàn)最小二乘法的界面化設(shè)計(jì)，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的輸入，實(shí)現(xiàn)線性和二次擬合曲線的輸出，并利用設(shè)計(jì)的程序?qū)崿F(xiàn)了一些實(shí)際問題的求解和處理。朗讀顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音 字典

2、關(guān)鍵詞：最小二乘法 曲線擬合 Visual C+最小二乘法在實(shí)際生活中的應(yīng)用一實(shí)際問題描述：早在19世紀(jì)后期，英國生物學(xué)家Galton在研究父母身高與子女身高關(guān)系時(shí)，觀察了1078個(gè)家庭中父親、母親身高的平均值x和其中一個(gè)成年兒子身高y,建立了x與y之間的線性關(guān)系。二提出問題：通過父母平均身高推算出成年兒子身高三分析問題：平時(shí)我們?cè)趯?shí)驗(yàn)過程中會(huì)遇到兩量如果存在的線性關(guān)系時(shí)，其中為線性函數(shù)的參數(shù)。當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在這種線性關(guān)系時(shí)，通常我們運(yùn)用作圖法對(duì)其參數(shù)進(jìn)行處理運(yùn)算、進(jìn)而求出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。但是作圖法很難得到好的結(jié)果，而運(yùn)用最小二乘法可以得到比較好的線性擬合19。對(duì)其兩種方法比較可以最小二乘法的數(shù)據(jù)處理

3、方法是比較理想的辦法。四實(shí)驗(yàn)原理:最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達(dá)。最小二乘法擬合:對(duì)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(Xi，Yi)(i=0,1,，m)，在取定的函數(shù)類 中，求p(x) ,使誤差的平方和E2最小，E2=p(Xi)-Yi2。從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn) (Xi，Yi)(i=0,1,，m)的距離平方和為最小的曲線y=p(x)。函數(shù)p(x)稱為擬合函數(shù)或最小

4、二乘解，求擬合函數(shù)p(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。五解決方案：運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法中的最小二乘法處理數(shù)據(jù)，計(jì)算出a與b，得到y(tǒng)=a+bx關(guān)系式。1.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列以下表格：表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)收集父母平均身高x（cm）155160165170175180成年兒子身高y（cm）1581641681751781882. 主要程序代碼：#include<stdio.h>#include<math.h> void main() int i;float a2;float x6 = 155,160,165,170,175,180;float y6 = 158,164,168,175,

5、178,188;void Approx(float,float,int,int,float);Approx(x,y,6,1,a);for(i=0;i<=1;i+)printf("a%d=%fn",i,ai);void Approx(float x,float y,int m,int n,float a) int i,j,t;float *c=new float(n+1)*(n+2);float power(int,float);void ColPivot(float *,int,float);for(i=0;i<=n;i+) for(j=0;j<=n;j+

6、) *(c+i*(n+2)+j)=0;for(t=0;t<m-1;t+)*(c+i*(n+2)*j)+=power(i+j,xt);*(c+i*(n+2)+n+1)=0;for(j=0;j<m-1;j+)*(c+i*(n+2)+n+1)+=yj*power(i,xj);ColPivot(c,n+1,a);delete c;void ColPivot(float *c,int n,float x) int i,j,t,k;float p;for(i=0;i<n-2;i+) k=i;for(j=i+1;j<n-1;j+)if(fabs(*(c+j*(n+1)+i)>&

7、gt;(fabs(*(c+k*(n+1)+i)k=j;if(k!=i)for(j=i;j<=n;j+) p=*(c+i*(n+1)+j);*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);*(c+k*(n+1)+j)=p;for(j=j+1;j<n-1;j+) p=(*(c+j*(n+1)+i)/(*(c+i*(n+1)+i);for(t=i;t<=n;t+)*(c+j*(n+1)+t)-=p*(*(c+i*(n+1)+t);for(i=n-1;i>=0;i-) for(j=n-1;j>=i+1;j-) (*(c+i*(n+1)+n)-=xj*(*(c+

8、i*(n+1)+j); xi=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i); float power(int i,float v) float a=1;while(i-)a*=v;return a;3.運(yùn)算截圖：圖2 將所求得數(shù)據(jù)代入公式可以求出 和，得到y(tǒng)=33.73+0.516x. 4.結(jié)果分析 我們通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出了y與x之間的線性關(guān)系式，這樣我們就可以通過觀察父母雙方身高，得出父母親平均身高，來預(yù)測(cè)未來成年兒子的身高。5.總結(jié)反思： 在完成論文的過程中遇到了許許多多的困難，比如程序上的不完善，算法中的疑惑。經(jīng)過了一次次的更改，才逐漸的完成了這篇論文。在畢業(yè)設(shè)計(jì)的過程中，

9、學(xué)到了許多新的知識(shí)，在查閱資料的過程中獲得了不少的收獲：1對(duì)于最小二乘法了解，嘗試著用最小二乘法手工計(jì)算數(shù)據(jù)的時(shí)候，明顯的感覺到其中的繁瑣及復(fù)雜。但是通過計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)算法的時(shí)候，不管是從計(jì)算量上還是時(shí)間上，都深切的體會(huì)到了編程實(shí)現(xiàn)算法的效率性和實(shí)用性。2在使用Visual C+的時(shí)候，開始對(duì)其一無所知。在設(shè)計(jì)程序的過程中，許多操作無 法實(shí)現(xiàn)。于是開始查閱資料，從圖書館借書或者詢問同學(xué)。在此過程中，提高了自己對(duì)VC+編程的理解。3對(duì)Word及Excel的使用變得更加的熟練，在設(shè)計(jì)文體結(jié)構(gòu)以及布局方面上有了新的認(rèn)識(shí)。 但是其中還是有許多的不足之處，由于對(duì)于VC+編程的不熟練使用，在對(duì)某些特定形式的函數(shù)曲線進(jìn)行擬合這一過程中無法實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致程序不是很完善。在今后，還是要更加的努力，爭(zhēng)取將此部分在不久之后實(shí)現(xiàn)出來。最小二乘法與實(shí)際問題聯(lián)系和意義：當(dāng)今最小二乘法已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于各類學(xué)科，成為了不可缺少的重要工具。目前在物理學(xué)、地質(zhì)勘探學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。而最小二乘法