正文(摘要+目錄+正文+參考文獻(xiàn)+致謝)

1、 幾類特殊矩陣的性質(zhì)的探討幾類特殊矩陣的性質(zhì)的探討摘要 隨著特殊矩陣的應(yīng)用越來越廣泛，人們對(duì)特殊矩陣的性質(zhì)的研究也越來越深入。相應(yīng)的，越來越多有關(guān)特殊矩陣的論文和期刊也層出不窮的發(fā)表。 本文主要具體分析了四種特殊矩陣：伴隨矩陣、型矩陣、正交矩陣、冪零矩陣。論文的具體展開如下： 第一章主要介紹特殊矩陣的背景以及發(fā)展?fàn)顩r，加深了我對(duì)特殊矩陣的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)；第二章講述了一些預(yù)備知識(shí)，為下文的展開打下基礎(chǔ)；第三章到第六章主要具體的介紹四類特殊矩陣：通過對(duì)它們的基本定義和基本性質(zhì)進(jìn)行深入研究并加以證明，我得到了很多有意義的結(jié)論，并將有些結(jié)論加以推廣，以加深我對(duì)特殊矩陣更深層次的認(rèn)識(shí)，最后對(duì)部分性質(zhì)加以應(yīng)用

2、，使我對(duì)這些性質(zhì)有了更好的掌握；最后一章對(duì)本文做了小結(jié)，并對(duì)特殊矩陣的研究加以展望。 特殊矩陣的研究是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程。對(duì)于特殊矩陣的研究只有通過大家的共同努力才能使特殊矩陣的理論更加完善，知識(shí)更加系統(tǒng)。關(guān)鍵詞：特殊矩陣；伴隨矩陣；型矩陣；正交矩陣；冪零矩陣THE DISCUSSION OF THE PROPERTIES ABOUT SEVERAL KINDS OF SPECIAL MATRIX ABSTRACTThe study on the properties of special matrix is becoming more and more deeply with the appli

3、cation of special matrix becoming more and more widely.Accordingly, more and more papers and journals about the special matrix has been also published.This article mainly analyzes four kinds of special matrix: adjoint matrix, matrix,orthogonal matrix and nilpotent matrix.paper elaborated on the foll

4、owing:The first chapter mainly introduced the background and development status of special matrix.It deepened my further understanding of special matrix;The second chapter told the story of some preliminary knowledge in order to lay a foundation for the rest of the article.From the third chapter to

5、the sixth chapter, I mainly introduced the four types of special matrix in detail:I got a lot of meaningful conclusion based on the in-depth study and proving about the basic definition and properties.I extended some conclusions to deepen my understanding of special matrix.To have a better master of

6、 these properties,I applied some natures finally.In the last chapter of this article,I made a summary, and I also did a research about the study of special matrix.The study of special matrix is a long process.In order to make special matrix theory be more perfect and the knowledge be more systematic

7、,the only way is that we have to combine all of the efforts of the research on the special matrix.Key words: special matrix; adjoint matrix; matrix; orthogonal matrix; nilpotent matrix目錄1 緒論.1 1.1 課題背景.1 1.2 研究?jī)?nèi)容及構(gòu)成.12 預(yù)備知識(shí).3 2.1 符號(hào)說明.3 2.2 基本定義.33 伴隨矩陣.5 3.1 伴隨矩陣的性質(zhì).5 3.2伴隨矩陣的應(yīng)用.94 型矩陣.11 4.1 型矩陣的性

8、質(zhì).11 4.2 型矩陣的應(yīng)用.165 正交矩陣.19 5.1 正交矩陣的充要條件.19 5.2 正交矩陣的基本性質(zhì).19 5.3 正交矩陣的應(yīng)用.236 冪等矩陣.24 6.1 冪等矩陣的基本性質(zhì).24 6.2 冪等矩陣的秩等式及其推廣.257 小結(jié)與展望.28參考文獻(xiàn).29致謝.301 緒論1.1 課題背景特殊矩陣作為數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，不僅在高等代數(shù)的研究中占據(jù)了一個(gè)相當(dāng)重要的位置 ，當(dāng)然也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域與其它相關(guān)研究領(lǐng)域與應(yīng)用的一個(gè)非常重要的工具.它在各個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域和重要應(yīng)用課題中都起著不可替代的作用，并且計(jì)算機(jī)在數(shù)值計(jì)算方面的使用中，矩陣的計(jì)算也占據(jù)著大部分時(shí)間和精力，因此

9、對(duì)矩陣的基本概念、性質(zhì)和方法的研究對(duì)于培育新的高素質(zhì)科學(xué)技術(shù)人才來說是非常重要而且相當(dāng)基礎(chǔ)的.矩陣的思想很早之前就已經(jīng)有了.而到目前為止，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有許許多多關(guān)于矩陣的著作.雖然關(guān)于矩陣論的著作已經(jīng)有很多了，但是對(duì)矩陣的研究熱人在繼續(xù)，不斷有新的著作相繼發(fā)表，因?yàn)榫仃嚪植急容^廣泛，涉及到的領(lǐng)域也很多，所以想要透徹的研究出摸個(gè)矩陣的完整的性質(zhì)已經(jīng)越來越難.即使如此，在數(shù)值分析中一些階數(shù)很高的矩陣還是會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，同時(shí)在矩陣中會(huì)有許多價(jià)值相同的零元素或元素.有時(shí)我們存儲(chǔ)空間不夠，所以我們不得不考慮空間的節(jié)省，所以對(duì)這類矩陣的存儲(chǔ)進(jìn)行壓縮就變得尤為必要.所謂壓縮存儲(chǔ)就是指：使得相同的元分配在同一個(gè)存儲(chǔ)

10、空間之內(nèi)，而對(duì)與零元素而言并不分配空間，久而久之便形成了我們?nèi)缃袼懻摰奶厥饩仃嚨母拍?特殊矩陣有很多特殊的性質(zhì)，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算，在實(shí)際處理問題時(shí)往往會(huì)把一般矩陣轉(zhuǎn)化為特殊矩陣進(jìn)行計(jì)算，所以研究特殊矩陣的性質(zhì)十分的重要！1.2 研究?jī)?nèi)容及構(gòu)成伴隨矩陣、對(duì)合矩陣、正交矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣等特殊矩陣是我們比較常見的幾類特殊矩陣，我們通過研究其性質(zhì)和方法從而可以得到非常重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.在高等代數(shù)矩陣?yán)碚摵蛣e的數(shù)學(xué)分支中有一個(gè)非常重要的研究工具，那就是伴隨矩陣.伴隨矩陣的特殊性不言而喻，當(dāng)然它自身也散發(fā)出誘人的性質(zhì).而在大學(xué)的有關(guān)矩陣基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)中，我們用伴隨矩陣多數(shù)是用來求矩陣的逆矩

11、陣，這就導(dǎo)致伴隨矩陣的許多特殊性質(zhì)一時(shí)間還不能被我們發(fā)現(xiàn).本文將分類對(duì)伴隨矩陣的性質(zhì)進(jìn)行研究，同時(shí)會(huì)討論其部分定理的證明過程，并會(huì)對(duì)相應(yīng)的定理加以應(yīng)用，從而可以更加清楚地了解伴隨矩陣的新性質(zhì).在特殊矩陣?yán)碚撝?，具有良好的性質(zhì)的正交矩陣的作用在整個(gè)特殊矩陣?yán)碚擉w系中是不言而喻的.正交矩陣的特征根及特征多項(xiàng)式具有某些獨(dú)特的規(guī)律，同時(shí)正交矩陣與矩陣運(yùn)算的關(guān)系、正交矩陣與特殊矩陣的關(guān)系都體現(xiàn)出了正交矩陣的良好性質(zhì).并且在矩陣分解中、數(shù)值分析與方程組求解中都有廣泛的應(yīng)用.所以對(duì)于正交矩陣以及其相應(yīng)領(lǐng)域的研究?jī)r(jià)值將會(huì)很高.本文深入研究了正交矩陣，概括了正交矩陣的一部分性質(zhì)，并作出部分的改進(jìn)和推廣.另外國(guó)內(nèi)

12、外有很多學(xué)者也研究了酉矩陣和正交矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用，所以說正交矩陣在線性代數(shù)系統(tǒng)理論中的應(yīng)用將會(huì)非常之廣泛.特殊矩陣?yán)碚撝校瑑绲染仃囍饕谮呄蛴趹?yīng)用.當(dāng)然，在本文中將會(huì)有部分的良好興致會(huì)被發(fā)現(xiàn).由于特殊矩陣的應(yīng)用越來越廣泛，所以就引發(fā)更多的研究者對(duì)其進(jìn)行透徹的研究.國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究得出這些特殊矩陣在矩陣分解、數(shù)值分析、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等相關(guān)方面的應(yīng)用非常的廣泛.他們對(duì)矩陣?yán)碚撗芯孔隽酥卮蟮呢暙I(xiàn)，對(duì)于高等代數(shù)的深入研究學(xué)習(xí)有重大的理論和現(xiàn)實(shí)意義. 2 預(yù)備知識(shí)2.1 符號(hào)說明 為矩陣 的轉(zhuǎn)置 的共軛 的伴隨矩陣 的行列式 的逆矩陣 元素與的內(nèi)積 線性空間的零元素或零向量 其余分量為0第個(gè)分量為1

13、的跡 的行列式 的秩 標(biāo)準(zhǔn)型矩陣 屬于2.2 基本定義為了迎合下文的需要，我們首先引入伴隨矩陣、對(duì)合矩陣、正交矩陣、冪等矩陣的有關(guān)基本概念. 定義1 伴隨矩陣：設(shè)n階方陣，則稱為矩陣的伴隨矩陣，其中是的代數(shù)余子式. 定義2 正交矩陣：如果對(duì)于實(shí)數(shù)域上的矩陣來說，如果滿足,那么就稱為正交矩陣. 定義3 冪等矩陣：定義4 冪零矩陣：對(duì)于矩陣來說，如果有一個(gè)正整數(shù)，并能使等式成立，那么就稱是冪零矩陣.3 伴隨矩陣3.1 伴隨矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1 假設(shè)的伴隨矩陣是，那么，并且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有證明：設(shè)，那么于是；同樣，由此可見，當(dāng)時(shí)，可逆，則由可以得到也就是說所以 .性質(zhì)2 等式都成立，無論是否為奇異陣. 證

14、明：（1）當(dāng)為非奇異陣時(shí)，因?yàn)?，得?所以. （2）當(dāng)為奇異陣時(shí)，因?yàn)?，所以，從而有等式成? 性質(zhì)3 設(shè)均為階可逆矩陣，那么 證明：因?yàn)?，所以也可逆，并且；又因?yàn)?，由，可以得到?性質(zhì)4 如果是階方陣，那么. 證明：（1）如果是非奇異陣時(shí)，則有也就是說也是非奇異陣.因?yàn)?，所以有又因?yàn)?，所以，? （2）如果是奇異陣，設(shè)，那么的第行第列元素則為.的第行第列元素則為，所以. 推論：（1）如果矩陣是非奇異矩陣，且是常數(shù)，那么. （2）設(shè)是階方陣，那么有.同理，設(shè)都是階方陣，那么當(dāng)然會(huì)有 . （3）設(shè)都為階方陣，那么. （4）設(shè)都為階可逆方陣，那么 （5）設(shè)是階非奇異矩陣，那么. 注：上述推論均可以

15、通過定理進(jìn)行論證，有興趣的同學(xué)不妨一試.性質(zhì)4 設(shè)是階方陣，是的伴隨矩陣，那么對(duì)于任意的來講，它的特征向量也是的特征向量.證明：（1），則有.假設(shè)是的屬于特征值的任 一特征向量，也就是說，則成立.又由于，則，等價(jià)于.由于，所以有，從而成立.我們可以得到，是的屬于特征值的特征向量. （2），則有，這種情況下就可以表示成，(其中是維非零列向量). （i）如果的屬于特征值的特征向量是，就會(huì)有存在，因此就有.由題意知，那么，又因?yàn)?，故而成立，因此的屬于特征?的特征向量同時(shí)也是的屬于非零特征值的特征向量. （ii）如果的屬于特征值0的任一特征向量是，就會(huì)有存在，在的情況下，的各列都是的屬于特征值0的特

16、征向量，又因?yàn)榭梢员硎緸?，那么自然而然就成?又因?yàn)槌闪?，所以同樣可以說明的屬于特征值的特征向量同時(shí)也是的屬于特征值0的特征向量. （3）時(shí)，則有，也就是說，那么顯然的特征值都為0. 設(shè)的屬于任意特征值的一個(gè)特征向量是，那么恒成立.那么再一次證明，的屬于特征值0的特征向量同時(shí)也是的特征向量. 綜其（1）（2）（3）可知，對(duì)于任意階方陣來講，其伴隨矩陣的特征向 量同時(shí)也是的特征向量. 性質(zhì)5 對(duì)于任意階方陣，其伴隨矩陣為，那么都可以表示成方陣的多項(xiàng)式. 證明：（1）在的情況下，根據(jù)哈密頓凱萊定理，如果的特征多項(xiàng)式為那么 . 因?yàn)槭强赡婢仃嚕?由，可得.即.又因?yàn)椋虼? （2）當(dāng)時(shí)，令. 因

17、為，所以.任取，則，易得.另外，任取，那么.因此，集合是數(shù)域上方陣空間的子空間.對(duì)任取的，都有，那么，又，所以.因?yàn)?，可?又，則有與的解空間都是一維的，令是解空間的一組基，是解空間的一組基，（其中），則中的任一元素都可以寫成的形式，其中為上的任意常數(shù).因此，是一維的線性空間. 設(shè)的最小多項(xiàng)式為，則有.易得，所以.由最小多項(xiàng)式的定義可知，因，所以.而是一維的線性空間，則一定存在非零常數(shù)，使得，也就是說是的多項(xiàng)式.（3）當(dāng)時(shí)，則.此時(shí)，顯然可表示為的多項(xiàng)式.綜上可知，任意階方陣的伴隨矩陣都可以表示成方陣的多項(xiàng)式. 推論 如果是循環(huán)矩陣，是的伴隨矩陣，那么也是循環(huán)矩陣.證：由上述定理知，伴隨矩陣可

18、以表示成矩陣的多項(xiàng)式，因?yàn)橛啥ɡ硪字獌蓚€(gè)循環(huán)陣的和是循環(huán)陣，任意兩個(gè)循環(huán)矩陣的積同樣也是循環(huán)矩陣，所以也是循環(huán)矩陣.3.2 伴隨矩陣的應(yīng)用例1 假設(shè)是的伴隨矩陣，為4階，且是一個(gè)可逆矩陣，如果說符合條件，那么解： 法1 針對(duì)，我們將同時(shí)右乘其兩邊，于是，又根據(jù)，所以，從而有，再將左乘在等式的兩側(cè)，通過，于是有，通過計(jì)算簡(jiǎn)化可得：，.所以綜上可知，是一個(gè)可逆矩陣，所以將同時(shí)左乘在的兩邊，于是有.法2 根據(jù)上面的計(jì)算方式，我們可以得到，所以.于是得到可逆，我們將同時(shí)乘在的兩邊，所以有.而根據(jù)，將其簡(jiǎn)化，于是，.所以可知也可逆，將和同時(shí)乘在的左側(cè)和右側(cè)，于是可知.4 型矩陣4.1 型矩陣的性質(zhì) 對(duì)于

19、矩陣和兩個(gè)維列向量、，另設(shè)的轉(zhuǎn)置為. 在研究形如的矩陣的時(shí)候我們用到了分塊矩陣的初等變換思想，并舉例說明了部分性質(zhì)在行列式的計(jì)算中的重要作用.我們得到了下面的一些結(jié)果.性質(zhì)1 對(duì)于矩陣和兩個(gè)維列向量、，另設(shè)的轉(zhuǎn)置為，我們可以得到這些性質(zhì)： （1）； （2）時(shí)，矩陣和均可逆，且；.證明：假設(shè)是階單位矩陣. （1）根據(jù)分塊矩陣的乘法法則，我們有如下結(jié)論.則 ；.故 . （2）時(shí)，由（1）知矩陣和都可逆. 因?yàn)榈玫?.又因?yàn)?，那么可?.對(duì)比兩式，由逆矩陣的唯一性可知，與之相對(duì)應(yīng)分量相等，可得.性質(zhì)2和性質(zhì)3都可以通過定理1論證得到. 性質(zhì)2 對(duì)于矩陣和兩個(gè)維列向量、，另設(shè)的轉(zhuǎn)置為，且用表示的伴隨矩

20、陣, 則有 . 證明：（1）時(shí)，由定理1可得. （2）時(shí)，令，則存在，使得時(shí)，有，則.因?yàn)閮蛇吘鶠殛P(guān)于的多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式是連續(xù)函數(shù)，則令，得到 .綜上可得定理2成立. 性質(zhì)3 對(duì)于矩陣，和均為階矩陣，的轉(zhuǎn)置為，那么 （1）； （2）當(dāng)可逆，即時(shí)，和均可逆且；.其中表示階單位矩陣. 證明：（1） . （2）若，因?yàn)?，由?）可知，故可逆.因?yàn)?則 . 又，則. 對(duì)比兩式，可得 . 性質(zhì)4 對(duì)于矩陣和兩個(gè)維列向量、，另設(shè)的轉(zhuǎn)置為，的伴隨矩陣為，那么 （1）；（2）為1或，且當(dāng)且僅當(dāng). 證明：（1）(i)當(dāng)時(shí)，由定理1知. (ii) 首先證明：若為階冪等矩陣且，那么有.因?yàn)槭请A冪等矩陣，也就是說恒成

21、立，所以有，等價(jià)于，因此也是冪等矩陣.由于，則 ，于是 ，那么同樣也有也是冪等矩陣.由于，故而，又因?yàn)閮绲染仃囎陨淼奶攸c(diǎn)：它的秩等于它的跡，所以有，因此成立.在冪等矩陣的前提下，根據(jù)其自身特點(diǎn)冪等矩陣一定可以對(duì)角化，并且冪等矩陣的特征值只能是1或0，所以一定會(huì)有一個(gè)可逆矩陣，滿足，因此有.當(dāng)時(shí)，即，矩陣不可逆，即.因?yàn)椋瑒t為冪等矩陣，那么.所以，則，兩邊同時(shí)右乘，得.綜上所述：. （2）因.又因?yàn)槭强赡婢仃嚕跃陀?，在初等變換并不會(huì)使矩陣的秩有任何變化，因此就有下式成立 ，所以有 .因?yàn)榫仃嚤旧淼闹群退陌殡S矩陣之間的內(nèi)在關(guān)系，所以有 等于1或.注意到：當(dāng)且僅當(dāng).因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，又且，所以當(dāng)且

22、僅當(dāng).故 當(dāng)且僅當(dāng). 性質(zhì)5 對(duì)于階單位矩陣，實(shí)數(shù)，和維列向量、，那么矩陣 的全部特征值只有兩個(gè)，一個(gè)為(重)，而另一個(gè)是，同時(shí)還有它的跡是，進(jìn)而可以算出它的行列式是. 證明： 矩陣的特征多項(xiàng)式為.（1）當(dāng)時(shí)，則由定理1得.（2）當(dāng)時(shí)，仍然適合上式.綜上可得 .在時(shí)，矩陣的重特征值是，其另一個(gè)特征值是，矩陣的跡是，它的行列式是. 性質(zhì)6 設(shè)為階可逆矩陣，和是兩個(gè)維非零列向量，表示的轉(zhuǎn)置，則多項(xiàng)式有一個(gè)根為，其余的根全為0.證明：令，則，則. 當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由定理1可知.因?yàn)橥瑯舆m合，所以由可以推出. 因此 單根是，同時(shí)重根是.4.2 型矩陣的應(yīng)用 例1 計(jì)算下面的行列式 解：（1）當(dāng)時(shí)

23、，令由定理3知，（2） 若，則存在，（3） 此時(shí)易求 ，這時(shí)同樣適合. 綜上所述，行列式的計(jì)算結(jié)果就是式. 例2 假設(shè)稱為的代數(shù)余子式，試證明： 證：令 .由定理2可知 ，故.5 正交矩陣5.1 正交矩陣的充要條件 對(duì)于矩陣來講，它是正交矩陣的充分必要條件有如下幾個(gè)： 條件1 的行（列) 向量組是單位正交向量組； 條件2 的個(gè)行（列)向量是維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；條件3 的行向量組兩兩正交并且都是單位向量；5.2 正交矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)1 也是正交矩陣； 性質(zhì)2 （是單位矩陣）； 性質(zhì)3 對(duì)于矩陣，它的各行是單位向量并且兩兩正交； 性質(zhì)4 對(duì)于矩陣，它的各列也是單位向量并且兩兩正交； 性質(zhì)5

24、 ； 性質(zhì)6 ； 性質(zhì)7 對(duì)于階的非零實(shí)方陣，假設(shè)的代數(shù)余子式是，那么有如下結(jié)論成立： （1）是行列式為1的正交矩陣的充要條件為：； （2）是行列式為-1的正交矩陣的充要條件為：. 證明：（1）必要性：如果是正交矩陣并且它的行列式為1，那么就有成立，因?yàn)槭钦痪仃?，那么由正交矩陣的定義可知 ，所以都是的逆矩陣，而矩陣的逆矩陣是唯一的，所以根據(jù)這一性質(zhì)可知 ，所以. 充分性：由，可知，則，即.由于且，則，即.因?yàn)?，所以，又，所? 于是，因此，是行列式為1的正交矩陣. （2）的證明方法與（1）完全相同. 注：定理3表明可以用矩陣的元素與其代數(shù)余子式之間的關(guān)系來刻化了正交矩陣的特性. 性質(zhì)8 對(duì)于

25、階正交矩陣來說，任何的階子式和它的代數(shù)余子式最多只相差一個(gè)負(fù)號(hào). 證明：我們選取作為維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組，也就是說，那么，于.由引理2及是正交陣. 我們使，可以通過互相交換相鄰兩行與兩列的辦法，使得階行列式的前列中的第列調(diào)到前列，同樣的方法再將它的前行中的第行調(diào)到前行，在這種調(diào)動(dòng)情況下我們可以得到一個(gè)新的階行列式.，其中.由于，. 因，所又，且，則. 推論： 設(shè)是階正交陣，則對(duì)于滿足的任何以及滿足的任意正整數(shù)，恒有證明：根據(jù)拉普拉斯定理，又因?yàn)槭请A正交陣并且我們結(jié)合定理4的證明過程可以得到.則，故. 性質(zhì)9 對(duì)于階可逆矩陣，那么對(duì)滿足的任何正整數(shù)和，的任何與，恒有（1）；（2）. 證明：（1）因可

26、逆，所以，則.由定理4 的證明過程可知，.并且，故（1）得證.(2) 由定理4的證明過程，易知 .5.3 正交矩陣的應(yīng)用例1 對(duì)于任何一個(gè)矩陣來講，設(shè)向的投影矩陣（正交）是，那么會(huì)有.證明：對(duì)于矩陣，假設(shè)滿足，那么我們選取的任何一個(gè)向量，我們可以把進(jìn)行分解，可得到如下式子.（其中和是恰當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)向量）.根據(jù)可得，對(duì)于任何的和都成立.如此，即符合如下方程，所以有.所以，必然有（為一矩陣），滿足.根據(jù)上式，從而有，也就是.所以，根據(jù)以上定理我們可以得到上式的解為.將其帶入中，則有，所以上式得證.6 冪等矩陣6.1 冪等矩陣的性質(zhì) 冪等矩陣的定義：假設(shè)為方陣，如果有，那么稱為冪等矩陣. 冪等矩陣的基本

27、性質(zhì)： 性質(zhì)1 對(duì)于冪等矩陣，的轉(zhuǎn)置是矩陣，可以證明同樣也是冪等矩陣. 證明：根據(jù)冪等矩陣的定義，我們有成立，又因?yàn)榈霓D(zhuǎn)置矩陣是，所以有，因此也是冪等矩陣. 性質(zhì)2 對(duì)于冪等矩陣，的相似矩陣是，可以證明也是冪等矩陣. 證明：假設(shè)、都是階方陣，因?yàn)槭莾绲染仃?，所以有，并且因?yàn)榕c相似，所以必然有（為可逆矩陣）滿足，因此 性質(zhì)3 對(duì)于冪等矩陣，的伴隨矩陣是，則可以證明也是冪等矩陣. 證明：根據(jù)冪等矩陣的定義，因?yàn)槭莾绲染仃嚕杂校⑶业陌殡S矩陣是，所以. 性質(zhì)4 對(duì)于冪等矩陣，假設(shè)并不是單位矩陣，則有如下理論成立，即是奇異矩陣，也就是說的行列式等于0. 證明：設(shè)為階冪等矩陣，則由冪等矩陣的定義可知

28、，假設(shè)存在單位矩陣，且，如果是非奇異矩陣，那么是可逆矩陣，即存在，因?yàn)橛深}可知，在其兩邊同時(shí)乘以，則有,與題設(shè)矛盾，所以，即是奇異矩陣. 性質(zhì)5 對(duì)于階單位矩陣，維非零列向量，我們?cè)O(shè)的轉(zhuǎn)置是，同時(shí)使得，那么要想使是冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng). 證明：因?yàn)?，那么，我們首先假設(shè)是冪等矩陣，在這個(gè)前提之下，根據(jù)冪等矩陣的定義，我們可以知道恒存在，故而，因?yàn)椋?，? 反之，如果，那么有，即是冪等矩陣. 性質(zhì)6 設(shè)是階矩陣，同時(shí)假設(shè)的秩是，則如果是的是冪等矩陣，那么當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)矩陣，滿足. 證明：（i）充分性：因?yàn)椋瑒t.（ii）必要性：假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)型是，因?yàn)椋矣?，是塊. 因?yàn)?，那么必有如果滿足此條件，則必

29、有.所以是一個(gè)對(duì)角矩陣.由可得或0，所以.6.2 冪等矩陣的秩等式及其推廣： 秩等式：設(shè)為階冪等矩陣，則有. 推廣：設(shè)為階冪等矩陣，則有，對(duì)任意常數(shù)都成立. 證明：由題意可知是冪等矩陣，所以對(duì)于矩陣，必然和兩個(gè)可逆矩陣的存在，滿足，為的秩.我們記，則有，（分別為相應(yīng)的分塊矩陣）.所以有.所以下式成立：.由題意知，因?yàn)椋杂?，也就是說，故而有.又由于是行滿秩矩陣可知，所以.所以.由可知，且有如下成立：.根據(jù)初等行變換的變換原理，將此式進(jìn)行初等行變換可以轉(zhuǎn)化得到.根據(jù)初等行變換的性質(zhì)：初等行變換并不會(huì)改變矩陣的秩這一原理，同時(shí)根據(jù)的逆同時(shí)也是可逆矩陣，所以有.因?yàn)楹投际菨M秩矩陣，所以根據(jù)這兩個(gè)條

30、件，顯然成立.所以，綜上可知.7 小結(jié)與展望本文對(duì)伴隨矩陣、正交矩陣等四類特殊矩陣的性質(zhì)做了較為深入的探討.在前輩探討的基礎(chǔ)上將其性質(zhì)加以引申，相互聯(lián)系，得出很多有意義的推論，又將這些推論加以證明，學(xué)以致用，為特殊矩陣的探究又注入了一股新鮮的血液.而對(duì)于特殊矩陣的研究?jī)H僅這些還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，需要我們進(jìn)行恩家深入的探討，因?yàn)樘厥饩仃嚨膽?yīng)用廣泛，這些探究也顯得尤為重要，所以希望接下來探究特殊矩陣的學(xué)者能以學(xué)術(shù)研究為目的來對(duì)特殊矩陣進(jìn)行探討，發(fā)散特殊矩陣的性質(zhì)，開拓我們的視野的同時(shí)拓寬自己的學(xué)術(shù)功底.參考文獻(xiàn)1 毛綱源. 線性代數(shù)解題方法技巧與歸納M. 武漢:華中理工大學(xué)出版社,2000：1-150.2 何旭初，孫文瑜.廣義逆矩陣引論M. 江蘇：江蘇科學(xué)出版社，1991.3 張禾瑞，近世代數(shù)基礎(chǔ)M. 修訂版，北京:高等教育出版社，1978:1-124.4 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，高等代數(shù)M. 北京:高等教育出版社，1978：1-277.5 北大數(shù)學(xué)系.