線性代數(shù)5-3 方陣相似于對角矩陣的條ppt課件

1、3 3 方陣類似于對角矩陣的條件方陣類似于對角矩陣的條件一、類似矩陣的概念一、類似矩陣的概念定義定義3.1.3.1.設(shè)設(shè)A A、B B都是都是n n階方陣階方陣, ,假設(shè)存在可逆矩陣假設(shè)存在可逆矩陣P P使使那么稱那么稱B是是A的類似矩陣的類似矩陣,或說或說B與與A類類似似.可逆矩陣可逆矩陣P稱為把稱為把A變成變成B的類似變換矩陣的類似變換矩陣.記作記作AB.BAPP1APPA1進行運算對,稱為對稱為對A進展類似變換進展類似變換,二二 、類似矩陣的性質(zhì)、類似矩陣的性質(zhì)類似是矩陣之間的一種關(guān)系類似是矩陣之間的一種關(guān)系,這種關(guān)系具有以下性質(zhì)這種關(guān)系具有以下性質(zhì): 性質(zhì)1 類似矩陣具有1) 反身性

2、:恣意方陣A,都有AA；2) 對稱性 :假設(shè)AB,那么B A；3) 傳送性:假設(shè)AB,BC,那么 A C。 性質(zhì)性質(zhì)2 假設(shè)假設(shè)AB，那么，那么R(A)=R(B ). 性質(zhì)性質(zhì)3 假設(shè)假設(shè)AB，那么，那么|A|=|B |.即即A、B同時可逆或同時可逆或同時不可逆。同時不可逆。 性質(zhì)性質(zhì)4 假設(shè)假設(shè)AB，那么，那么ATBT. 性質(zhì)性質(zhì)5 假設(shè)可逆矩陣假設(shè)可逆矩陣AB，那么，那么B也可逆，且也可逆，且A-1B-1.性質(zhì)性質(zhì)6 6 假設(shè)假設(shè)AB,AB,那么對于恣意的多項式那么對于恣意的多項式f(),f(),必有必有 f(A) f(B). f(A) f(B). 性質(zhì)7 假設(shè)AB,那么A與B的特征多項式

3、一樣,從而A與B的 特征值一樣從而跡一樣.值得留意的是，特征多項式一樣的矩陣未必類似值得留意的是，特征多項式一樣的矩陣未必類似.例如例如11,01A10,01E 顯然顯然A與與E的特征多項式都是的特征多項式都是(-1)2,但可以證但可以證明它們并不類似明它們并不類似.由于與由于與E的矩陣只需它本身。的矩陣只需它本身。 性質(zhì)性質(zhì)8 假設(shè)假設(shè)n階矩陣階矩陣A與對角矩陣與對角矩陣12n 類似類似,那么那么1，2，, n是是A的的n個特征值個特征值.定理定理3.1 n3.1 n階方陣階方陣A A與對角矩陣類似與對角矩陣類似 (A (A能對能對角化角化) )的充分必要條件是的充分必要條件是A A有有n

4、n個線性無關(guān)的特征個線性無關(guān)的特征向量向量. .三、類似矩陣的定理三、類似矩陣的定理 定理定理3.4 假設(shè)假設(shè)n階矩陣階矩陣A(在數(shù)域在數(shù)域F上上)存在存在n個互個互異特征值異特征值,那么那么A必可必可(在數(shù)域在數(shù)域F上上)類似于對角矩陣類似于對角矩陣.補充補充 n n階方陣階方陣A A與對角矩陣類似與對角矩陣類似 的充分必要條件是的充分必要條件是A A的每個的每個k k重特征值重特征值 的特征矩陣的特征矩陣A- EA- E的秩為的秩為 n-k.n-k.k k 下面我們舉例闡明,對于可以類似對角化的方陣,其高次冪的計算可以得到簡化. 例例3.1 知知22,13A計算計算A100 解解 22(1

5、)(4).13 EAA有兩個互異的特征值。有兩個互異的特征值。 1=1, 2=4.故故A可類似對角化可類似對角化.分別求得分別求得A對應(yīng)對應(yīng)于于1, 2的特征的特征 向量向量1, 2為為書書P13212,1 21.1 令令21,1 1P那么應(yīng)那么應(yīng)有有-11 0.0 4 P AP由由A=PP-1可得可得21121.APP PPPP類推可得類推可得1001001. APP經(jīng)計算可得經(jīng)計算可得1111,123P于是于是10010021101111104123 A1001001001002422 41.31412 4 例例3.2 3.2 求一可逆矩陣求一可逆矩陣P,P,把把211020413A化成對

6、角矩陣化成對角矩陣. 解 由|AE|=0,求A的全部特征值.211020413 AE21(2)43 1231,2. A所以 的特征值是2(1)(2) . 2(2)(2) ()0,.AE xA由求 的特征向量當(dāng)當(dāng)1=-1時，解方程時，解方程(A+E)x=0,由于由于AE111030414 101010000 AE4112000411 411000000 ，110 .1 P得根底解系得根底解系當(dāng)當(dāng)2= 3= 2時，解方程時，解方程(A-2E)x=0,由由2301 1,0 .14 PP把P1，P2，P3拼成矩陣P，即101010 ,114P1100020 .002P AP得根底解系為得根底解系為故故

7、 例例3.3 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A與與B類似類似,其中其中20022 ,311Ax100020 .00yB1求求x和和y的值的值, .,21BAPPP使求可逆矩陣同型題：習(xí)題課教程同型題：習(xí)題課教程P132第第11題題 解 (1)由于AB,所以B的主對角線元素是A的特 征值.因此有21120.y, xAEAE2,0, xyx整理得0,2. xy解得(2) 由于由于AB,所以所以A的特征值為的特征值為1231,2,2. ,.AE xA由求 的特征值01 00212312AE100012000得根底解系得根底解系:102 ,1P當(dāng)當(dāng)1=-1時，由時，由100011 ,000得根底解系得根底解系:201

8、,1 P4002222311AE當(dāng)當(dāng)2 2時，時，0002222313AE101010 ,000310 ,1P得根底解系得根底解系:當(dāng)當(dāng)3 -2時，時，令可逆矩陣令可逆矩陣123001(,)210 .111PP P P即為所求即為所求.問當(dāng)問當(dāng)k為何值時為何值時,存在可逆矩陣存在可逆矩陣P,使得使得P-1AP為對角為對角陣，并求出陣，并求出 P和相應(yīng)的對角陣。和相應(yīng)的對角陣。 解解 由由3221423kkAE 例例3.4 設(shè)矩陣設(shè)矩陣322,1423kkA 4220000 ,kk422()0422 kkAE 對于對于1= 2=-1時，有時，有12201001k2(1) (1)0.得得A的特征值

9、為：的特征值為： 1= 2=-1， 3=1.222()2424 kkAE 對于對于3=1時，有時，有 當(dāng)k = 0 時,上式變?yōu)?22000000 11122000,000 對應(yīng)特征向量可取為對應(yīng)特征向量可取為:1211,.2002pp 因此因此,當(dāng)當(dāng) k = 0 時時,令令1111100200010 .021001PPAP，故對應(yīng)特征向量可取為對應(yīng)特征向量可取為: :310 .1P 1112020 kk110100000 ， 從上面的討論和例題可知從上面的討論和例題可知, A有有n個單特征值個單特征值,那么那么A必可對角化必可對角化,而當(dāng)而當(dāng) A有重特征值時有重特征值時, 就不一定有就不一定

10、有n 個線性個線性無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量 ,從而不一定能對角化從而不一定能對角化 .上次課講例上次課講例2.3的二重特征值不能對應(yīng)兩個線性無關(guān)的特征向量的二重特征值不能對應(yīng)兩個線性無關(guān)的特征向量 ,所以所以該方陣不能對角化該方陣不能對角化. 而在本節(jié)例而在本節(jié)例1中中A也有二重特征值也有二重特征值,但但卻能找到卻能找到 3個線性無關(guān)特征向量個線性無關(guān)特征向量.所以例所以例1中中A能對角化能對角化.例例3的討論也闡明不是一切方陣都能對角化的討論也闡明不是一切方陣都能對角化. 一個方陣詳細(xì)什么條件才干對角化？這是一個比較一個方陣詳細(xì)什么條件才干對角化？這是一個比較復(fù)雜的問題復(fù)雜的問題,我們對

11、此不作普通性的討論我們對此不作普通性的討論,而僅討論當(dāng)而僅討論當(dāng) A為實對稱矩陣的情形為實對稱矩陣的情形.);det()det(,)1(BABA 則則相相似似與與;,)2( 11相相似似與與且且也也可可逆逆則則可可逆逆且且相相似似與與若若 BABABA;,)3( 為為常常數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與kkBkABA.)()(,)(,)4( 相相似似與與則則是是一一多多項項式式而而相相似似與與若若BfAfxfBA小結(jié)小結(jié)類似矩陣類似矩陣 類似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好類似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)引見的以外，還有：的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)引見的以外，還有：類似變

12、換與類似變換矩陣類似變換與類似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算，其方法是先經(jīng)過類似變換，將矩陣變成與運算，其方法是先經(jīng)過類似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進展運算，從之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進展運算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對而將比較復(fù)雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運算角矩陣的運算類似變換是對方陣進展的一種運算，它把類似變換是對方陣進展的一種運算，它把A變成，而可逆矩陣變成，而可逆矩陣 稱為進展這一變換的稱為進展這一變換的類似變換矩陣類似變換矩陣APP1 P3 3矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件 2 2可逆的類似變換矩陣的構(gòu)成就是可逆的類似變換矩陣的構(gòu)成就是n n個線性無個線性無 關(guān)的特征向量。關(guān)的特征向量。4 4矩陣對角化的過程矩陣對角化的過程 1 1計算特征根和特征向量，看