第四講晶體對(duì)稱規(guī)律

1、第四講第四講 晶體宏觀對(duì)稱（二）晶體宏觀對(duì)稱（二）對(duì)稱組合定律及空間格子類型對(duì)稱組合定律及空間格子類型1 1 對(duì)稱要素組合定理對(duì)稱要素組合定理 定理一：定理一： L Ln n P PLLn nnPnP 定理二：定理二： L Ln nL L2 2=L=Ln nnLnL2 2 定理三：定理三： L Ln n（偶次）（偶次）PLPLn nP P C C 定理四：當(dāng)定理四：當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)：為奇數(shù)時(shí)： L Li in nL L2 2 （或（或P P）L Li in nnLnL2 2nP nP 當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)：為偶數(shù)時(shí)：L Li in nL L2 2 （或（或P P ）L Li in nn/2Ln/

2、2L2 2 n/2 P n/2 P 定理五：定理五：L Ln n L Lm m mLmLn nnLnLm m （當(dāng)（當(dāng)L3 L3 與與L4 L4 斜交時(shí)）斜交時(shí)） 2 2 空間格子類型與晶體常數(shù)特點(diǎn)空間格子類型與晶體常數(shù)特點(diǎn) （一）空間格子的劃分（一）空間格子的劃分 （二）空間格子類型（二）空間格子類型 （三）十四種布拉維格子（三）十四種布拉維格子 3 3 對(duì)稱型（點(diǎn)群）的國(guó)際符號(hào)對(duì)稱型（點(diǎn)群）的國(guó)際符號(hào)1 1 對(duì)稱要素組合定理對(duì)稱要素組合定理 回顧上次講課用到的模型： 綠柱石： L L6 66L6L2 27PC7PC 鋯石：L L4 44L4L2 25PC5PC 螢石：3L3L4 44L4L

3、3 36L6L2 29PC9PC從上面的結(jié)果可以看出什么規(guī)律？從上面的結(jié)果可以看出什么規(guī)律？ 對(duì)稱要素組合不是任意的，必須符合對(duì)稱要素的組合對(duì)稱要素組合不是任意的，必須符合對(duì)稱要素的組合定律；定律； 當(dāng)對(duì)稱要素共存時(shí)，也可導(dǎo)出新的對(duì)稱要素。當(dāng)對(duì)稱要素共存時(shí)，也可導(dǎo)出新的對(duì)稱要素。對(duì)稱要素組合定理：對(duì)稱要素組合定理：定理一：定理一：L Ln n L L2 2 L Ln nnLnL2 2 ( (L L2 2與與L L2 2的夾角是的夾角是L Ln n基轉(zhuǎn)角的一半基轉(zhuǎn)角的一半) )逆定理：逆定理： L L2 2與與L L2 2相交，在其交點(diǎn)且垂直兩相交，在其交點(diǎn)且垂直兩L L2 2會(huì)產(chǎn)生會(huì)產(chǎn)生L L

4、n n，其基，其基轉(zhuǎn)角是兩轉(zhuǎn)角是兩L L2 2夾角的兩倍。并導(dǎo)出其他夾角的兩倍。并導(dǎo)出其他n n個(gè)在垂直個(gè)在垂直L Ln n平面內(nèi)的平面內(nèi)的L L2 2。例如例如: : L L4 4 L L2 2 L L4 44 4L L2 2 , , L L3 3 L L2 2 L L3 33L3L2 2思考思考: : 兩個(gè)兩個(gè)L L2 2相交相交3030, ,交點(diǎn)處并垂直交點(diǎn)處并垂直L L2 2所在平面會(huì)產(chǎn)生什么所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸對(duì)稱軸? ?定理二：定理二：L Ln n P P L Ln nP P C C ( (n n為偶數(shù)為偶數(shù)) )逆定理：逆定理： L Ln n C C L Ln nP P C

5、C ( (n n為偶數(shù)為偶數(shù)) ) P P C C L Ln nP P C ( C (n n為為偶數(shù)偶數(shù)) )這一定理說(shuō)明了這一定理說(shuō)明了L L2 2、P P、C C三者中任兩個(gè)可以三者中任兩個(gè)可以產(chǎn)生第三者。產(chǎn)生第三者。因?yàn)榕即屋S包含因?yàn)榕即屋S包含L L2 2 。 定理定理3 3：L Ln n P P/ L Ln nnPnP/（P P與與P P夾角夾角為為L(zhǎng) Ln n基轉(zhuǎn)角的一基轉(zhuǎn)角的一半）；半）；逆定理：逆定理：兩個(gè)兩個(gè)P P相交，其交線必為相交，其交線必為一一L Ln n，其基轉(zhuǎn)角為，其基轉(zhuǎn)角為P P夾夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他角的兩倍，并導(dǎo)出其他n n個(gè)包含個(gè)包含L Ln n的的P P。

6、（定理（定理3 3與定理與定理2 2對(duì)應(yīng)）對(duì)應(yīng)）思考思考: :兩個(gè)對(duì)稱面相交兩個(gè)對(duì)稱面相交6060, ,交線處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸交線處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸? ?定理定理4 4：L Li in n P P/ =L =Li in n L L2 2 L Li in nn/2 Ln/2 L2 2 n/2 Pn/2 P/ （n n為偶數(shù)）為偶數(shù)） L Li in nn Ln L2 2 nPnP/（n n為奇數(shù)）為奇數(shù)） 圖示說(shuō)明圖示說(shuō)明 例例1 1：方解石：方解石：L L3 33L3L2 23PC3PC，此，此L L3 3為為L(zhǎng) Li i3 3（有對(duì)稱中心）（有對(duì)稱中心） 有一個(gè)有一個(gè)L L2 2是垂直是垂直

7、L Li i3 3的（或有一個(gè)的（或有一個(gè)P P是包含是包含L Li i3 3的）的） 則：則：L Li i3 33L3L2 23P3PL L3 33L3L2 23PC3PC 例例2 2：四方四面體：有一個(gè)：四方四面體：有一個(gè)L Li i4 4，有，有P P包含包含L Li i4 4 （或（或L L2 2垂直于垂直于 L Li i4 4） 則其對(duì)稱型為則其對(duì)稱型為：L Li i4 42L2L2 22P 2P 定理五定理五：L Ln n L Lm m mLmLn nnLnLm m （當(dāng)（當(dāng)L L3 3 與與L L4 4 斜交斜交時(shí)）時(shí)） 舉例：螢石晶體模型：舉例：螢石晶體模型：3L3L4 44L

8、4L3 36L6L2 29PC9PC32種對(duì)稱型推導(dǎo)表 對(duì)對(duì) 稱稱 型型共共 同同 式式 LnLnnL2 LnP (C) LnnP LnnL2 (n+1)PC Lin Lin nL2nP(*1)Lin (n/2) L2 (n/2) P(*2) 晶系晶系 A 類類n =1L1 Li1=C 三斜三斜n=2L23 L2 L2 PCL22P 3 L2 3PC Li2=P單斜單斜斜方斜方n=3L3 L3 3 L2 L3 3P Li3=Li3C Li33 L2 3P= L3 3 L2 3PC 三方三方n=4L4L4 4L2 L4 PC L4 4P L4 4L2 5PC Li4Li42 L2 2P 四方四方

9、n=6L6 L6 6 L2 L6 PC L6 6P L6 6 L2 7PC Li6=Li6P Li63 L2 3P= L3 3 L2 4P 六方六方 B 類類 3 L2 4 L3 3 L4 4 L3 6 L2 3 L2 4 L3 3PC3Li44L36P 3 L4 4 L3 6 L2 9PC 等軸等軸2 2 空間格子類型與晶體常數(shù)特點(diǎn)空間格子類型與晶體常數(shù)特點(diǎn) 2.1空間格子的劃分空間格子的劃分 2.1.12.1.1平行六面體的選擇平行六面體的選擇對(duì)于每一種晶體結(jié)構(gòu)而言，其結(jié)點(diǎn)對(duì)于每一種晶體結(jié)構(gòu)而言，其結(jié)點(diǎn)( (相當(dāng)點(diǎn)相當(dāng)點(diǎn)) )的分布是客的分布是客觀存在的，但平行六面體的選擇是人為的。觀存在

10、的，但平行六面體的選擇是人為的。 對(duì)于一個(gè)空間點(diǎn)陣，可以劃分出一個(gè)平行六面體作為一個(gè)基本單位，整個(gè)空間點(diǎn)陣可以由這個(gè)單位平行六面體在三維空間的平移而產(chǎn)生。劃分平行六面體的方式有很多，但應(yīng)遵循以下原則： 1）所選平行六面體的對(duì)稱性應(yīng)符合整個(gè)空間點(diǎn)陣的對(duì)稱）所選平行六面體的對(duì)稱性應(yīng)符合整個(gè)空間點(diǎn)陣的對(duì)稱 性；性； 2）在不違反對(duì)稱的前提下，應(yīng)選擇棱與棱之間直角關(guān)系）在不違反對(duì)稱的前提下，應(yīng)選擇棱與棱之間直角關(guān)系 為最多的平行六面體；為最多的平行六面體； 3）在遵循前二條件的前提下，所選平行六面體的體積應(yīng)）在遵循前二條件的前提下，所選平行六面體的體積應(yīng) 為最?。粸樽钚。?4）當(dāng)對(duì)稱性規(guī)定棱間的交角不

11、為直角時(shí)，則在遵循前三）當(dāng)對(duì)稱性規(guī)定棱間的交角不為直角時(shí)，則在遵循前三 個(gè)條件的前提下，應(yīng)選擇結(jié)點(diǎn)間距小的行列作為平行個(gè)條件的前提下，應(yīng)選擇結(jié)點(diǎn)間距小的行列作為平行 六面體的棱，且棱間交角近于直角的平行六面體。六面體的棱，且棱間交角近于直角的平行六面體。下面兩個(gè)平面點(diǎn)陣圖案中，請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出其空間格子：下面兩個(gè)平面點(diǎn)陣圖案中，請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出其空間格子： 4mm mm24mm mm24mm mm2引出一個(gè)問(wèn)題：空間格子可以有帶心的格子；引出一個(gè)問(wèn)題：空間格子可以有帶心的格子；另外請(qǐng)思考：如果上面的圖案對(duì)稱為另外請(qǐng)思考：如果上面的圖案對(duì)稱為3m，該怎么畫(huà)？，該怎么畫(huà)？a0c0b0平行六面體參數(shù)：平行六

12、面體參數(shù)： a0、 b0、 c0和、對(duì)比晶體幾何常數(shù)劃分7種平行六面體，對(duì)應(yīng)于7個(gè)晶系 形狀及參數(shù)？(七種形態(tài))空間格子的劃分空間格子的劃分 2.1.2晶體常數(shù)特點(diǎn) 依據(jù)晶體對(duì)稱特點(diǎn)、高次對(duì)稱軸及對(duì)稱軸的數(shù)量進(jìn)行分依據(jù)晶體對(duì)稱特點(diǎn)、高次對(duì)稱軸及對(duì)稱軸的數(shù)量進(jìn)行分類，各晶系晶體常數(shù)類，各晶系晶體常數(shù)a a、b b、c c及其夾角及其夾角、的相的相互關(guān)系如下：互關(guān)系如下： 1 1）等軸晶系：）等軸晶系：a=b=ca=b=c，；，；=90=90； 2 2）四方晶系：）四方晶系：a=bca=bc，=90=90； 3 3）六方晶系：）六方晶系：a=bca=bc，=90=90，=120=120； 4 4）

13、三方晶系：）三方晶系：a=b=ca=b=c，=90=90； 5 5）斜方晶系：）斜方晶系：abcabc，=90=90； 6 6）單斜晶系：）單斜晶系：abcabc，= =90= =90、9090 7 7）三斜晶系：）三斜晶系：abcabc，9090三十二種對(duì)稱型及對(duì)稱分類三十二種對(duì)稱型及對(duì)稱分類晶族名稱晶族名稱晶系名稱晶系名稱晶體常數(shù)特點(diǎn)晶體常數(shù)特點(diǎn)對(duì)稱特對(duì)稱特點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱型種類對(duì)稱型種類低級(jí)晶族低級(jí)晶族 （無(wú)高次軸）（無(wú)高次軸）三斜晶系三斜晶系a ab b c c 9090 無(wú)對(duì)稱面無(wú)對(duì)稱面 無(wú)對(duì)稱軸無(wú)對(duì)稱軸1.L1.L1 1 2 2.C.C單斜晶系單斜晶系a ab b c c = = =90=

14、90 9090 L L2 2 或或 P P 不多于不多于1 1個(gè)個(gè)3.L3.L2 2 4.P 4.P 5 5.L.L2 2PCPC斜方晶系斜方晶系 ( (正交晶系正交晶系) )a ab b c c = = = = = = 9090 L L2 2 或或 P P 多于多于1 1個(gè)個(gè)6.3L6.3L2 2 7.L7.L2 22P 2P 8 8.3L.3L2 23PC3PC中級(jí)晶族中級(jí)晶族 （只有一個(gè)高次軸）（只有一個(gè)高次軸）四方晶系四方晶系a a= =b b c c = = = = = = 9090 有一個(gè)有一個(gè)L L4 4 或或L Li i4 49.L9.L4 4 ; 10. L ; 10. L4

15、 44L4L2 2 ; 11. L; 11. L4 4PC PC 12. L12. L4 44P ; 4P ; 1313. L. L4 44L4L2 25PC 5PC 14.L14.Li i4 4 ; 15. L; 15. Li i4 42L2L2 22P2P三方晶系三方晶系a a= =b b c c = = = =9090; ; =120=120 有一個(gè)有一個(gè)L L3 316.L16.L3 3 ; 17. L ; 17. L3 33L3L2 2 ; 18. L ; 18. L3 33P 3P 19.L19.L3 3C ; C ; 2020. L. L3 33L3L2 23PC3PC六方晶系六

16、方晶系有一個(gè)有一個(gè)L L6 6 或或L Li i6 621. L21. Li i6 6 ; 22.L; 22.Li i6 63L3L2 23P ; 23. 3P ; 23. L L6 6 24. L24. L6 66L6L2 2 ; 25. L; 25. L6 6PC ; 26. PC ; 26. L L6 66P 6P 2727. L. L6 66L6L2 27PC7PC高級(jí)晶族高級(jí)晶族 （有多個(gè)高次軸）（有多個(gè)高次軸）等軸晶系等軸晶系a a= =b b = = c c = = = = = = 9090 有四個(gè)有四個(gè)L L3 328. 3L28. 3L2 24L4L3 3 ; ; 2929.

17、 3L. 3L2 24L4L3 33PC 3PC 3030. 3L. 3Li i4 44L4L3 36P6P ; 31. 3L ; 31. 3L4 44L4L3 36L6L2 2 3232. 3L. 3L4 44L4L3 36L6L2 29PC9PC2.22.2平行六面體中結(jié)點(diǎn)的分布（即格子類型）平行六面體中結(jié)點(diǎn)的分布（即格子類型）1 1）原始格子）原始格子（P P）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的八個(gè)角頂上。：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的八個(gè)角頂上。2 2）底心格子）底心格子（C C、A A、B B）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂及：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂及某一對(duì)面的中心。某一對(duì)面的中心。3 3）體心格

18、子）體心格子（I I）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂和體中心。：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂和體中心。4 4）面心格子）面心格子（F F）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂和三對(duì)面：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂和三對(duì)面的中心。的中心。 其中底心、體心、面心格子稱帶心的其中底心、體心、面心格子稱帶心的格子，我們?cè)谇懊娈?huà)格子的例子中已經(jīng)知格子，我們?cè)谇懊娈?huà)格子的例子中已經(jīng)知道有帶心格子的存在，這是因?yàn)橛行┚w道有帶心格子的存在，這是因?yàn)橛行┚w結(jié)構(gòu)在符合其對(duì)稱的前提下不能畫(huà)出原始結(jié)構(gòu)在符合其對(duì)稱的前提下不能畫(huà)出原始格子，只能畫(huà)出帶心的格子。格子，只能畫(huà)出帶心的格子。2.3 2.3 十四種布拉維格子十四種布拉維

19、格子 七個(gè)晶系七個(gè)晶系-七套晶體常數(shù)七套晶體常數(shù)七種平行六面體種形七種平行六面體種形狀。每種形狀有四種類型，那么就有狀。每種形狀有四種類型，那么就有7 74=284=28種空間格種空間格子？子？ 但在這但在這2828種中，某些類型的格子彼此重復(fù)并可轉(zhuǎn)換，種中，某些類型的格子彼此重復(fù)并可轉(zhuǎn)換，還有一些不符合某晶系的對(duì)稱特點(diǎn)而不能在該晶系中存還有一些不符合某晶系的對(duì)稱特點(diǎn)而不能在該晶系中存在，因此在，因此, ,只有只有1414種空間格子，也叫種空間格子，也叫1414種布拉維格子。種布拉維格子。（A.BravaisA.Bravais于于18481848年最先推導(dǎo)出來(lái)的）年最先推導(dǎo)出來(lái)的） 舉例說(shuō)明：

20、舉例說(shuō)明： 1 1、四方底心格子四方底心格子可轉(zhuǎn)變?yōu)轶w積更小的四可轉(zhuǎn)變?yōu)轶w積更小的四方原始格子方原始格子 ； 2 2、在等軸晶系中，若在立方格子中的一在等軸晶系中，若在立方格子中的一對(duì)面的中心安置結(jié)點(diǎn)，則完全不符合等對(duì)面的中心安置結(jié)點(diǎn)，則完全不符合等軸晶系具有軸晶系具有4 4L L3 3的對(duì)稱特點(diǎn)，故不可能存的對(duì)稱特點(diǎn)，故不可能存在在立方底心格子立方底心格子。例例1 1：四方底心格子：四方底心格子 四方原始格子四方原始格子例例2 2：立方底心格子不符合等軸晶系對(duì)稱：立方底心格子不符合等軸晶系對(duì)稱思考：立方底心格子符合什么晶系的對(duì)稱？思考：立方底心格子符合什么晶系的對(duì)稱？晶系原始格子（P）底心格

21、子（C）體心格子（I）面心格子（F）三斜 C=II=FF=P單斜 I=FF=C斜方 四方C=PF=I三方與本晶系對(duì)稱不符I=FF=P六方與本晶系對(duì)稱不符與空間格子的條件不符與空間格子的條件不符等軸與本晶系對(duì)稱不符小結(jié)：平行六面體中4種結(jié)點(diǎn)類型： 原始格子原始格子(primitive, P) 體心格子體心格子(body-centered, I) 面心格子面心格子(face-centered, F) 底心格子底心格子(end-centered, C, A, B)3 3 對(duì)稱型（點(diǎn)群）的國(guó)際符號(hào)對(duì)稱型（點(diǎn)群）的國(guó)際符號(hào) 對(duì)稱型相當(dāng)于一個(gè)公式法，將所有的對(duì)稱要素按一對(duì)稱型相當(dāng)于一個(gè)公式法，將所有的對(duì)稱

22、要素按一定規(guī)則羅列起來(lái)；而國(guó)際符號(hào)就是將對(duì)稱型的表示加定規(guī)則羅列起來(lái)；而國(guó)際符號(hào)就是將對(duì)稱型的表示加以簡(jiǎn)化，只寫(xiě)其中的基礎(chǔ)對(duì)稱要素；因?yàn)榭梢愿鶕?jù)這以簡(jiǎn)化，只寫(xiě)其中的基礎(chǔ)對(duì)稱要素；因?yàn)榭梢愿鶕?jù)這些基礎(chǔ)對(duì)稱要素，通過(guò)對(duì)稱要素組合定理將其所有的些基礎(chǔ)對(duì)稱要素，通過(guò)對(duì)稱要素組合定理將其所有的對(duì)稱要素推導(dǎo)出來(lái)；各晶系晶體的國(guó)際符號(hào)組成分別對(duì)稱要素推導(dǎo)出來(lái)；各晶系晶體的國(guó)際符號(hào)組成分別有有1 13 3個(gè)規(guī)定的方向，即：個(gè)規(guī)定的方向，即： 對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)很簡(jiǎn)明，對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)很簡(jiǎn)明， 1 1）它不將所有的對(duì)稱要素都寫(xiě)出來(lái)）它不將所有的對(duì)稱要素都寫(xiě)出來(lái), , 2 2）并且可以表示出對(duì)稱要素的方向性）并且可以表示出對(duì)稱要素的方向性, , 3 3）但它不容易看懂）但它不容易看懂. . 特點(diǎn)是特點(diǎn)是: :凡是可以派生出來(lái)的對(duì)稱要素都省略了凡是可以派生出來(lái)的對(duì)稱要素都省略了. . 對(duì)稱要素的標(biāo)記：對(duì)稱要素的標(biāo)記： 在國(guó)際符號(hào)中，以在國(guó)際符號(hào)